Методические приемы, используемые при работе над простыми арифметическими задачами

СОДЕРЖАНИЕ Введение ГЛАВА I. Теория обучения младших школьников решению математических задач

1.1 Непростые простые задачи. Логическое и психологическое понятие задачи

1.2 Понятие задача с позиции ребенка

1.3 Развивающее обучение решение математических задач ГЛАВА II. Методические приемы работы над простой арифметической задачей

2.1 Подготовительная работа к обучению детей решению задач

2.1.1 Процесс подготовки к правильному восприятию смысла арифметических действий сложения

2.1.2 Процесс подготовки к правильному восприятию смысла арифметических действий вычитания

2.1.3 Знакомство со знаками действий

2.2 Знакомство с простой задачей

2.3 Особенности традиционной методики обучения решению задач

2.4 Новые подходы в обучение. Первые шаги в формирование умения решать задачи

2.5 Вопросы семантического анализа текста задачи ГЛАВА III. Опытно — экспериментальная часть

3.1 Первичная диагностика

3.2 Работа над развитием умений решать простые задачи

3.3 Контрольная диагностика Заключение Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, одна из важнейших обязанностей начальной школы — научить решать текстовые арифметические задачи, т. е. задачи, ответ на вопрос которых может быть получен с помощью арифметических действий. С начала ХХ века и до настоящего времени в Российской методике обучения математике принято разделение арифметических задач на простые и составные. Также с начала прошлого века советской и российской теории и практике обучения математике укоренился педагогический подход, согласно которому детей в начале учат решать простые задачи, а затем составные.

Решению текстовых задач в курсе математики придается большое значение. Однако традиционно задачи рассматриваются как средство формирования у детей новых математических знаний. Мы считаем, что решение задач необходимо рассматривать не только как средство формирования математических знаний, но и как одно из целей обучения и как средство развития общеучебного умения рассуждать.

В дочисловом периоде, когда дети работают с предметами, сравнивая их по разным признакам, фактически и начинается работа над задачей.

Решение задач — это особое направление в обучении математике. Мы можем выделить основную ошибку учителя в обучении детей решению задач.

Она связана с тем, что ученики воспринимают задачу через число, а не логически, т. е. решение первично, рассуждение вторично. В связи с этим дети испытывают трудности при решении задач.

Объектом данного исследования является обучение младших школьников решению простых арифметических задач.

В качестве предмета исследования рассматривается сравнение методических приемов, используемых при работе над простыми арифметическими задачами.

Гипотеза: если в педагогический процесс включать обязательное использование методов и приемов развивающего обучения в методике обучения простых задач, то возможно обеспечить более высокий уровень знаний учащихся.

Проблема исследования: для эффективности использования развивающего обучения на уроках математики в начальных классах, какова должна быть структура и содержание урока при работе над простыми задачами.

Цель: исследование методических приемов на уроках математики для более успешной деятельности учителя по обучению решению текстовых задач и деятельности учащихся по овладению умением решать задачи.

Задачи исследования:

1. Изучить структуру и содержание урока при работе над простыми задачами.

2. Рассмотреть проблему традиционной методики обучения решению задач.

3. Рассмотреть имеющиеся в настоящее время методические приемы работы над простой арифметической задачей и рассмотреть способы ее использования на уроках математики.

4. Апробировать теорию на практике. Провести экспериментальную работу по данному вопросу.

5. Сделать выводы по проведенной экспериментальной работе.

6. Разработать сборник простых задач, составленных учащимися 1- 2 классов.

ГЛАВА I Теория о преподавании простых задач

1.1 Непростые простые задачи. Логическое и психологическое понятие задачи Традиция рассмотрения вначале простых, а затем составных задач настолько прочно вошла в практику нашей школы, что, насколько нам известно, никто из специалистов в области методики обучения математике начиная с 30-х годов прошлого века не ставил под сомнение сложившийся порядок. Между тем нет такого учителя, в практике которого не возникали бы трудности как в целом при обучении решению задач, так и при переходе от простых задач к составным. Однако стереотипы и традиции так сильны, что сохраняются до сих пор.

Высказанные выше соображения привели нас к убеждению в том, что формирование представлений о решении задач как о выборе и выполнении арифметических действий и разделение в процессе обучения решению задач текстовых сюжетных задач на простые и составные. А составных задач, в свою очередь, на задачи в два, три, четыре и т. д. действия являются теми трудностями, мешающими формированию умения решать задачи, которые мы сами создаем, чтобы потом «героически» их преодолевать.

Наша убежденность подтверждена как логикой анализа процессов решения задач и процессов обучения решению задач, так и педагогической практикой ряда учителей Новосибирска и Новосибирской области, которые приняли высказанную точку зрения либо пришли к ней самостоятельно.

Цель — сделать более успешной деятельность учителя по обучению решению текстовых задач и деятельность учащихся по овладению умением решать задачи.

Методику обучения решению задач и использования задач как средства обучения математике определяет понимание учителем понятий задача, простая арифметическая задача, составная арифметическая задача, решение задачи, обучение решению задач, формирование представлений об арифметических действиях с помощью текстовых задач. Неверное понимание названных понятий, неправомерное отождествление понятий, характеризующих решение задач и обучение решению задач, — вот те основные причины, приведшие к длительному сохранению в теории и практике обучения методического подхода, искажающего представления учащихся о процессе решения задач и создающего трудности в овладении умением решать задачи.

Понятие задача — широкое общенаучное понятие. Его используют практически во всех областях знания, однако лишь в психологии и методике обучения математике специально обсуждаются вопросы: что такое задача? Что такое решение задачи? Что значит решить задачу? Что такое умение решать задачи? Что такое обучение решению задач? Каковы признаки и условия эффективного формирования умения решать задачи? и др.

Слово задача является достаточно частотным в русском языке. Оно используется в речи в повседневном и профессиональном общении в самых разных сферах производства, культуры, образования, управления.

Дети даже в дошкольном возрасте вполне могут слышать это слово и использовать в своей речи. В психологии различают логическое и психологическое понятия задачи.

Задача в первом смысле — это некоторый текст или наличная ситуация, содержащие информацию о каких либо объектах и явно выраженное в тексте требование либо получить новую информацию об этих объектах, либо описать способ построения новых объектов по заданным в тексте признакам, либо установить истинность данной в тексте информации. Требование зачастую выражается вопросительным предложением. При этом не берется во внимание, известны или неизвестны читающему или слышащему этот текст требуемая информация (ответ на вопрос задачи), способ построения новых объектов по заданным в тексте признакам. Если есть формальные признаки задачи — условие и требование, — то это задача.

В психологическом смысле задачей для конкретного человека считается лишь тот текст или ситуация, содержащие требование (вопрос), относительно которого (ой) он не знает способа выполнения этого требования (не знает ответа на вопрос). Ситуация, содержащая условие и вопрос, в которой ответ на вопрос, человеку известен, в психологическом смысле не является для него задачей. Решить задачу (в психологическом плане) — значит выполнить ее требование, ответить на ее вопрос. В учебном же процессе и в различных областях науки решить задачу — значит не только ответить на ее вопрос, но и описать процесс перехода от условия задачи к выполнению требования (к ответу на вопрос задачи) так, чтобы в этом процессе не было противоречий и логических пробелов. Чтобы он был понятен и убедителен не только для решающего, но и для других людей.

1.2 Понятие задача с позиции ребенка Посмотрим на понятие задача, на процесс решения задачи с позиций ребенка, начинающего свой школьный путь. Как уже было сказано, любая задача содержит требование, выраженное вопросительным или побудительным предложением. Ребенок, поступающий в первый класс, умеет сам задавать вопросы и давать ответы на вопросы, поставленные другими. Он умеет также выполнять требования других людей — взрослых или детей. Свои ответы или действия по выполнению требований первоклассник всегда строит на основе информации, которая уже есть у него о соответствующей ситуации или которая сообщена ему человеком, задающим вопрос (высказывающим требования), т. е. первоклассник уже реально умеет решать некоторые задачи, не осознавая этого.

Отличие детского решения от того, что принято считать решением в математике, состоит в том, что в математике задача считается решенной не тогда, когда известен ответ на вопрос задачи, а когда описан (на языке математики) путь получения ответа или доказано (также на языке математики) соответствие ответа условию задачи. В этих различиях кроются трудности, которые испытывают первоклассники, если учитель не признает ответ на вопрос задачи, не сопровождаемый разъяснениями того, «как узнал» ответ на вопрос задачи или, что еще хуже, «каким действием узнал ответ (решил) задачу». Они служат причиной непонимания между учеником и учителем, учеником и автором учебника, учеником и математикой.

Слово задача с этого времени начинает восприниматься детьми как сигнал к выполнению обязательных действий, в том числе и арифметических действий с числами, названными в процессе чтения задачи или записанными цифрами в тексте задачи. Никакого содержательного смысла эти действия не имеют.

Просто это правила «игры в школу», где правила задает учитель, а дети обязательно должны эти правила принять и действовать согласно им. Выигрывает тот, кто научится более точно следовать этим правилам. Никакого познавательного, личностного смысла (кроме научения следовать любым правилам, коль они кем-то сформулированы) эта игра не имеет. Если при этом рассматриваются только задачи, в которых дано всего два числа, а ответ может быть получен в результате одного из двух арифметических действий — сложения и вычитания (как это задается данным учебником и многими другими), то даже наугад взятое действие может быть с вероятностью 0,5 правильно выбранным действием. Если же оно оказалось не тем действием, то достаточно заменить его другим, чтобы получить верное решение. Полученное таким образом число (при условии правильных вычислений) уже обязательно будет тем, которое можно и нужно писать или называть в ответе.

В результате такого обучения решению задач весь достаточно богатый детский опыт поиска ответов на многочисленные вопросы в лучшем случае будет отделен от деятельности решения задач по математике, в худшем — перечеркнут.

В нескольких современных учебниках ответ на вопрос задачи легко находится с помощью процедуры счета, т. е. информация о количестве предметов задана рисунком. Какое понимание процесса решения задачи закладывается таким образом? Какое угодно, только не то, что составляет содержание понятия процесс решения задачи.

Реально на рассматриваемых страницах учебника для учащихся нет задачи с вопросом: «Сколько… вместе?» Информация о количестве всех предметах задана самым прямым и наглядным образом: все предметы изображены так, что они все одновременно попадают в поле зрения смотрящего. Реальная задача, которая в связи с этим может возникнуть у некоторых учащихся: каким числом обозначить это количество предметов. Хотя в учебниках предлагается столько аналогичных и даже более сложных заданий с рисунками предметов, что нужно уж совсем плохо учить или иметь в классе детей с серьезными отклонениями в развитии, чтобы не суметь по рисунку, назвать число всех предметов.

Если учитель будет придерживаться представленного взгляда, то у детей сформируется представление о задаче и о решении задачи, которое словами может быть выражено примерно так: «Задача — это когда есть текст с рисунком или с числами (условие) и в котором есть вопрос.»

Решить задачу — значит сделать (начертить) схему, записать одно выражение (одно действие с числами), вычислить, записать равенство и записать ответ. Как далеко это представление от истинного!

Ребенок, поступающий в школу, уже имеет некоторый опыт решения задач, в том числе и сюжетных математических (прикладных математических). У одних детей этот опыт богаче, у других — беднее. Он неосознан. Поэтому начинать обучение решению задач нужно с обогащения опыта решения задач на интуитивном уровне, с помощью предметных действий и здравого смысла. Важное место при этом должны занять операции наблюдения и сравнения, овладение детьми новыми способами обозначения результатов наблюдения и сравнения. С первых уроков нужно поощрять наблюдения детей, сравнение предметов и групп предметов по самым разнообразным свойствам, попытки детей классифицировать объекты окружающего мира. Существенный момент обучения в этот период — обсуждение учащимися способов обозначения наблюдаемых свойств, сходств и различий, а также установленных по какому-либо признаку отношений равенства, отношений больше и меньше, отношений целого и части. При обсуждении у ребенка возникает потребность в высказывании собственного мнения, в выражении согласия или несогласия с другими, в отстаивании некоторых утверждений. Взаимодействовать с другими можно только с помощью системы знаков. Если обсуждаются количественные отношения, то такими знаками могут быть как огромное количество слов русского языка (дом — домик — домище, «вот столечко!», «много», «мало» и т. д.), так и более универсальная система знаков — числа, действия с числами отношения между числами.

Главная цель первого периода обучения решению задач — формирование у учащихся основных познавательных действий, представлений о ключевых отношениях мира: отношениях целого и части, равенства и неравенства, формирование представлений о числах и действиях с ними как о системе знаков для сохранения и передачи информации. В процессе этой работы учителю полезно использовать термины задача, решить задачу в конкретных ситуациях с показом текстов конкретных задач. Также задачи на установление отношений равенства и неравенства, «на сложение и вычитание» на уровне интуиции, здравого смысла, предметных действий, переходя затем под руководством учителя к обозначению решения, когда это возможно, с помощью чисел и арифметических действий. Если ребенок сделал рисунок к задаче или задача уже представлена в виде рисунка, на котором; «виден» ответ на вопрос, то арифметические действия не являются средством получения ответа на вопрос задачи. Арифметические действия в этом случае являются лишь очень экономичной формой обозначения на письме выполненных предметных действий и счета. Научить детей пользоваться числами и действиями с ними как языком описания предметных действий — вот основная педагогическая задача первого, достаточно длительного периода обучения решению задач младших школьников.

1.3 Развивающее обучение решению математических задач На современном этапе образования под развивающим обучением понимается обучение младших школьников общим приемам умственной деятельности, а на уроках математики — общим приемам по усвоению математических понятий (наблюдению, анализу, сравнению, заключению по аналогии, абстрагированию, синтезу, обобщению, дедуктивному, индуктивному умозаключению, классификации и др.)

Мы рассмотрим некоторые методические вопросы обучения детей общим приемам решения любых математических задач. Эти приемы учебной деятельности можно представить в виде схемы:

Схема. «Приемы учебной деятельности «

рис.1

В настоящее время далеко не каждого ребенка удается научить решать математические задачи. Основная причина заключается в том, что младшие школьники, прочитав задачу, не анализируют ее, а сразу приступают к решению, не обосновывая выбор арифметического знака действия.

Как научить ребенка сначала приступать к анализу задачи, составлению плана решения и только потом к ее решению.

Сначала следует научить ребенка читать задачу, понимать смысл прочитанного, пересказывать содержание, подмечать, какие события произошли в задаче: что было, что изменилось, что стало; объяснить, что обозначает каждое число в задаче, в чем суть тех или других математических выражений. В этом плане интересен опыт польской школы, в котором значительное учебное время отводится на рассмотрение так называемых «задач без вопросов». При таком методическом подходе дети приобретают первые навыки анализа условия задачи на основе событий, происходящих в задаче. Далее дети учатся правильно ставить вопрос к условию задачи (или составлять по вопросу условие задачи), выделять в задаче условие и ее вопрос. Нетрудно заметить, что на этом этапе начинается обучение детей составлению, сочинению, придумыванию задач, что может стать основным методическим приемом в практической учителя.

Путь к осознанному решению задач лежит главным образом через составление их детьми. Опытные учителя начальной школы делают это по картинкам; числовым данным; вопросу; дополнению задач не достающими данными или вопросом; решению или ответу; схеме, чертежу, краткой записи; плану решения; формулам; данным, взятым из справочников, таблиц и т. д.

Такая творческая работа приводит к составлению сборников задач, придуманных учениками класса.

Обучение анализу задачи на этом не заканчивается, а исследование ее продолжается при иллюстрации задачи рисунками, схемами, чертежами, при записывание краткого условия задачи.

В этом случае учебные действия согласно теории поэтапного формирования (А. Н. Леонтьева, П. Я. Гальперина) осуществляются при работе с материальными или материализованными объектами и проговариваются вслух (громкое проговаривание) с постепенным переходом к умственной форме действий (проговаривание про себя — в «уме»).

Обратимся снова к нашей схеме исследования задачи — к выбору способа решения задачи. К сожалению, в начальной школе в настоящее время практически отсутствует на уроках математики алгебраический и геометрический способы решения задачи, а преобладает в основном арифметический, да и только в виде решения задач по действиям. Поэтому дети весьма ограничены в плане выбора способа решения — они решают задачи по действиям или составляют математическое выражение, хотя в программе по математике и есть решение простейших уравнений, но это проходит пропедевтической нитью через решение задач за все годы начального обучения математике. У многих младших школьников так и не сформировано представление о том, что задачи могут решаться алгебраическим или геометрическим способами. Отсюда напрашивается вывод о возвращении к методическим идеям шестидесятых годов, когда в учебниках математики довольно в полном объеме были реализованы вопросы алгебраической и геометрической пропедевтики. Наверное, уже в 1 классе целесообразно при решение задач на нахождение неизвестного слагаемого показать детям на уровне первичных преставлений, что данную задачу можно решить и с помощью уравнения, не вводя, естественно, это умение в ранг обязательных требований.

Наиболее сложный учебный элемент в обучении младших школьников математике — обучение поиску решения задачи. Обратимся в этой связи к опыту учителей, к их методической копилке, где обнаружим множество интересных методических приемов, которые с успехом могут применяться на уроках математике, формируя у учащихся умение составлять вначале план решения задачи и только потом решать ее.

В 1 классе при решении простых задач на нахождение суммы и остатка поиск решения задачи сводится, главным образом, к выбору знака действия. Уже на этом начальном этапе важно, чтобы дети рассуждали о событиях, происходящих в задаче, проговаривая вслух, могли моделировать, иллюстрировать, выполнять рисунки, чертежи, схемы, используя их для обоснования выбора знака действия, доказывать, почему они выбирают именно этот знак действия, а не другой. Что позволит значительно уменьшить число ошибок на замену одного арифметического действия другим.

Наибольший интерес, на наш взгляд, в этом плане представляет опыт липецких учителей. Они предлагают наряду с предметной (материальной или материализованной) наглядностью применять и схематические иллюстрации. Следует заметить, что ими установлено интересное наблюдение о недостаточности предметной иллюстрации задачи. По их мнению, она не отражает математической структуры задачи, результат при этом виден сразу и учащиеся не испытывают необходимости нахождения его с помощью арифметического действия. Учителя липецкой области предлагают: «…в 1 классе при решении задач использовать такой вид наглядности, как иллюстрация операций объединения непересекающихся множеств и удаления из множества его непустого подмножества. Эта иллюстрация помогает ученику абстрагироваться от конкретной ситуации, описанной в задаче, и в то же время представить эту жизненную ситуацию, т. е. конкретизировать ее, она отражает математическую структуру задачи, проста в использовании. Все это обеспечивает возможность ее использования при самостоятельном решении задач «. В целом методике липецких учителей в данном случае просты и доступны для учащихся.

На подготовительном этапе учащимся раскрываются смысл арифметических действий сложения и вычитания. Дети учатся иллюстрировать данные в задаче с помощью «картинок с точками», при этом осуществляются операции объединения множеств и удаления подмножества из данного множества.

В результате такой работы дети усваивают, что операция объединения множества связана с действием сложения, а операция удаления подмножества из данного множества — с действием вычитания. При этом дети знакомятся с задачей, ее составными элементами — условием и вопросом; усваивают содержание всех операций, выполняемых в процессе решения простой задачи и порядком их следования; с операциями «ответ на вопрос задачи» .

Когда дети усвоят содержание всех операций, их знакомят с инструкцией в виде «памятки», которая представлена как алгоритм умственных действий, что побуждает учеников выполнять все операции в определенной последовательности и усвоить образец рассуждения.

Рассуждаю так:

1. Мне известно…

2. Надо узнать…

3.Рисую и объясняю…

4. Подумаю, надо объединить или удалять…

5. Объясняю решение…

6. Решаю…

7. Отвечаю на вопрос задачи…

Пункты 4 — 7 соответствуют основным операциям, а позже в памятке появляется и пункт 8 «проверяю…» .

Обучение системе операций проходит в несколько стадий:

На первой стадии задания «памятки» и выполнение всех операций проговаривается вслух, затем задания «памятки» дети проговаривают шепотом, а выполнение операций — вслух. Наконец, задания «памятки» проговариваются про себя, а выполнение операций вслух.

На второй стадии происходит частичное свертывание выполнения системы операций. Выполняется это следующим образом: учащиеся про себя (или шепотом) проговаривают, что известно в задаче, что надо узнать, рисуют «картинку с точками» и шепотом объясняют ее выполнение. Вслух же они проговаривают выполнение основных операций, такая методическая работа носит название краткое объяснение решения задачи.

При обучение правильному выбору арифметического действия липецкие учителя использовали такой методический прием: после такого как дети выделили условие, вопрос задачи, им предлагалось закрыть глаза, представить «картинку с точками», показать жестом, что нужно сделать с предметами: объединить их или удалить, чтобы ответить вопрос задачи, затем показать на карточке знак действия.

На третьей стадии происходит полное свертывание выполнения системы операций. Ученики про себя кратко объясняют решение задачи.

Такой методический подход в работе по обучению решению математических задач позволяет после третьей стадии обучения переходить к самостоятельному решению задач данного вида.

При формировании умения решать задачи на нахождение суммы и остатка учителя последовательно усложняли ситуации в задачах от конкретных к опосредованным, к задачам с косвенным указанием на выполнение операций.

Кроме того, на каждом уроке учащимся предлагались творческие задания: составить задания по «картинкам с точками» и решить их; сформулировать вопрос к данному условию задачи; составить задачи по указанному арифметическому действию.

Мы довольно подробно остановились на липецком опыте не случайно, потому что предложенная ими методическая работа позволяет добиться не только положительных результатов при обучении школьников решению задач на нахождение суммы и остатка, но и формирует у них понимание конкретного смысла арифметического действия сложения и вычитания.

Кроме того, рассмотренная методика является теоретической основой выбора арифметического действия при решении других задач первого года обучения на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого.

Конечно, не следует думать, что данная методика — это единственный эффективный способ обучения решению задач первоклассников. Известны и другие методические приемы, где для осуществления поиска решения задачи используется наглядно-графический метод, в котором применяются: отрезки, числовая ось, диаграммы, графы и др.

Осуществление поиска решения в задачах на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого помогает обращение к выбору способа решения. При арифметическом способе решения задач данного вида можно использовать «картинки с точками»; при алгебраическом — составление уравнения, используя при этом отрезки, «вычислительную машину», обращение к простейшему уравнению и другие методические приемы.

Использование отрезков при составлении и решении уравнений позволяет не заучивать правила нахождения неизвестных величин, а самостоятельно открывать, формулировать их через осознанные действия в процессе решения задач. О чем нас предупреждали Л. Н. Толстой и К. Д. Ушинский.

В начальной школе не удалось в полной мере использовать уравнения при решении математических задач (к сожалению, в наше время все свелось к решению задач по действиям, а иногда к составлению математических выражений). Задуманную линию алгебраической пропедевтики можно реализовать на уровне творчески работающих учеников, не вводя эти вопросы в обязательные программные требования и государственные стандарты.

В экспериментальном курсе (К. И. Пешкова, В. Н. Рудницкой, А. М. Пышкало) широко использовалась идея «машины» при решении уравнений, где машина изображалась в виде графа:

Схема. «Машина при решение уравнений»

рис. 2

Данные, которые вводятся в машину, соответствуют виду решаемого уравнения. Учитель обращает внимание детей на то, что от известного числа к неизвестному по верхней стрелке пройти нельзя, так как стрелка идет от неизвестного числа, а не к нему. В этом случае может помочь обратная машина (понятие машины, обратной данной, вводится в I классе).

Нетрудно заметить, что аналогичная методологическая работа может проводиться и при обучении решению задач на нахождение неизвестного вычитаемого и неизвестного уменьшаемого.

Многие методисты считают, что после решения задач на нахождение суммы и остатка целесообразно решать задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого. Они считают, что задачи этого вида более доступны учащимся, чем задачи, в которых требуется найти одно из слагаемых или вычитаемое. Липецкие учителя также предлагают ввести задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого, неизвестного слагаемого и неизвестного вычитаемого после задач на нахождение суммы и остатка до ознакомления с задачами на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. Это объясняется тем, что предложенные задачи имеют ту же, что и задачи на нахождение суммы и остатка, теоретическую основу выбора арифметического действия при установлении связей между данными и искомым.

В традиционной (общепринятой) методике обучения решению задач наглядно-графический метод применяется с формированием у детей понятий и отношений, в частности при знакомстве с задачами на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, где главным является понимание высказываний «…на 2 больше, значит, столько же и еще 2»; «…на 3 меньше — значит, столько же, но без 3» (при этом как бы преобразуя данные задачи к задачам на нахождение суммы и остатка; здесь же дети усваивают теоретическую основу вывода арифметического действия, связь отношений «больше на…» с арифметическим действием сложения, «меньше на…» с арифметическим действием вычитания).

Дети при знакомстве с решением задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц дублируют действия учителя у классной доски на своих наборных полотнах, а рассуждения иллюстрируют с помощью картинок с точками.

При решении простых задач на разностное сравнение чисел применяются такие приемы наглядности, как: попарное соответствие; приложения; наложения и др.

В педагогической практике в настоящее время стабильные учебники не обеспечивают в полном объеме работу по составлению следующих задач:

· на нахождение разности по вопросу «Насколько больше?» с задачей на увеличение числа на несколько единиц;

· на нахождение разности по вопросу «На сколько меньше?» с задачей на уменьшение числа на несколько единиц;

· задачи на увеличение числа на несколько единиц с задачей на уменьшение числа на несколько единиц.

При решении простых задач, выраженных в косвенной форме, дети должны овладеть приемом преобразования косвенной задачи в прямую. Этот прием является ключиком к поиску решения задачи и ее решению, так как преобразованная задача приводится к виду, который дети уже умеют хорошо решать. Еще раз отметим, что во всех случаях выбора знака действия детьми при осуществлении имя поиска решения задача значительное место отводиться предметной и схематической иллюстрации, которая способствует осознанному решению математических задач в первом классе.

ГЛАВА II. Методические приемы работы над простой арифметической задачей

2.1 Подготовительная работа к обучению детей решению задач В связи с тем, что необходимое для самостоятельной работы над текстом задачи умение — умение хорошо читать — формируется у многих детей не в полной мере даже к концу 1-го класса, педагогам при обучении таких детей приходится целиком и полностью работать с ними «на слух» .

В этой ситуации важнейшее значение приобретает умение ребенка не только внимательно слушать предлагаемый текст, но и правильно представлять себе ситуацию, заданную условием. Именно ориентируясь на свое представление о заданной ситуации, ребенок будет выбирать арифметическое действие, требующееся для решения задачи.

В этой связи прежде, чем приступать к знакомству с задачей и обучению решению задач, необходимо сформировать у ребенка целый комплекс умений слушать и понимать тексты различных структур. Умения правильно представлять себе и моделировать ситуации, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, а также умение составлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием и умение выполнять простые вычисления (как минимум, отсчитыванием и присчитыванием). Эти умения являются базовыми для подготовки ребенка к обучению решению задач.

Важнейшим умением, необходимым ребенку для правильного решения простых задач, является умение безошибочно выбирать арифметическое действие в предложенной ситуации.

Знакомство учащихся с арифметическими действиями сложения и вычитания целесообразно распределить на два этапа:

1) подготовка к правильному пониманию различных сюжетных ситуаций, соответствующих смыслу действий, — организовывается через систему заданий, требующих от ребенка адекватных предметных действий с различными совокупностями;

2) знакомство со знаком действия и обучение составлению соответствующего математического выражения.

Анализ различных учебных пособий по математике для начальных классов, называемых учебниками нового поколения (учебники различных развивающих систем), показывает, что второй из обозначенных этапов реализуется их авторами не ранее третьего-четвертого месяца пребывания ребенка в школе. Это обусловлено необходимостью сформировать у ребенка целый ряд предметных знаний и учебных умений, составляющих базу для подготовки к правильному пониманию смысла и способов выполнения арифметических действий.

Рассмотрим процесс подготовки ребенка к правильному восприятию смысла арифметических действий сложения и вычитания.

2.1.1 Процесс подготовки к правильному восприятию смысла арифметических действий сложений С теоретико-множественной стороны сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями, как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с данной. В связи с этим ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать их (т.е. правильно представлять) со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

С целью подготовки к правильному пониманию смысла действия сложения детям предлагаются следующие задания.

1. Используя предметную наглядность, учитель предлагает детям взять три морковки и два яблока, а затем положить их в корзину.

Вопрос: как узнать, сколько их вместе? (Ответ: надо сосчитать.)

2. Используя счетный материал, учитель предлагает детям составить модель ситуации: «На полке стоят 2 чашки и 4 стакана». Задание: обозначьте чашки кружками, а стаканы — квадратиками. Покажите, сколько их вместе. Сосчитайте.

3. Учитель предлагает другой текст: «Из вазы взяли 4 конфеты и 1 вафлю» .

Задание: обозначьте сладости фигурками и покажите, сколько всего сладостей взяли из вазы, Сосчитайте.

Все три ситуации моделируют объединение двух множеств.

1. Учитель: «У Вани 3 значка. (Обозначьте значки кружками.) Ему дали еще, и у него стало на 2 больше». Вопрос: что надо сделать, чтобы узнать, сколько у него теперь значков? (Ответ: надо 2 добавить.) Сделайте это. Сосчитайте результат.

2. Учитель предлагает текст, который дети моделируют, используя счетный материал, по мере его чтения учителем: «У Пети было 2 игрушечных грузовика. (Обозначьте грузовики квадратиками.) И столько же легковых машин (обозначьте легковые машины кружками)». Вопрос: сколько вы поставили кружков?

Учитель продолжает текст: «На день рождения Пете подарили еще 3 легковые машины (обозначьте их кружками)». Вопрос: каких машин теперь больше? Покажите, на сколько больше.

3. Учитель предлагает текст: «В одной коробке лежит 6 карандашей, а в другой — на 2 больше». Задание: обозначьте карандаши из первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки — красными палочками. Покажите, сколько карандашей в первой коробке, сколько — во второй. В какой коробке карандашей больше? Меньше? На сколько?

Эти три ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной.

2.1.2 Процесс подготовки к правильному восприятию смысла арифметических действий вычитания Действию вычитания соответствуют четыре вида предметных действий:

1) удаление части совокупности (множества);

2) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

3) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

4) разностное сравнение двух совокупностей (множеств).

математический задача школьник арифметический рис. 3

С целью подготовки к правильному пониманию смысла действия вычитания учитель предлагает детям следующие задания:

1. Учитель: «Удав нюхал цветы на полянке. Всего цветов было 7 (обозначьте цветы кружками). Пришел Слоненок и нечаянно наступил на 2 цветка» .

Вопрос: что надо сделать, чтобы показать, что случилось? Покажите, сколько цветов теперь сможет нюхать Слоненок.

2. Учитель: «У Мартышки было 6 бананов (обозначьте их кружками). Несколько бананов она съела, и у нее стало на 4 меньше» .

Вопрос: что надо сделать, чтобы показать, что случилось? Почему вы убрали 4 банана? (Ответ: стало на 4 меньше.) Покажите оставшиеся бананы. Сколько их?

3. Учитель: «У жука 6 ног (обозначьте количество ног жука красными палочками). А у слона ~ на 2 меньше (обозначьте количество ног слона зелеными палочками)» .

Задание: покажите, у кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько?

4. Учитель: «На одной полке стояло 5 чашек (обозначьте чашки кружками). А на другой — 8 стаканов (обозначьте стаканы квадратиками)» .

Задание: поставьте их так, чтобы сразу было видно, чего больше — стаканов или чашек? Чего меньше? На сколько?

Все виды заданий приведены в соответствие с видами предметных действий, соответствующих действию вычитания, охарактеризованными выше.

2.1.3 Знакомство со знаками действий После того как ребенок научится правильно понимать на слух и моделировать все означенные виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. На этом этапе последовательность указаний педагога такова:

1) обозначьте то, о чем говорится в задании, кружками (палочками);

2) обозначьте указанное число кружков (палочек и т. п.) цифрами;

3) поставьте между ними нужный знак действия.

Приведем пример.

Учитель: «В вазе стоят 4 белых тюльпана и 3 розовых. Обозначьте число белых тюльпанов цифрой; число розовых тюльпанов цифрой» .

Вопрос: какой знак нужно поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в одной вазе? Составляется запись: 4+3.

Такую запись называют математическим выражением. Она характеризует количественные признаки ситуации и взаимоотношения рассматриваемых совокупностей. Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение полного равенства с записью значения выражения:

Прежде чем переходить к равенству, полезно предложить детям задания:

1) на соотнесение ситуации и выражения («Подбери выражение к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением»);

2) на составление выражений по ситуациям («Составь выражение в соответствии с ситуацией»).

После того как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор (обязательно!), можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

Всю вышеописанную работу можно считать подготовительной к обучению решению простых задач, поскольку для правильного решения простой задачи ребенок должен научиться выбирать действие в соответствии с ситуацией, заданной текстом задачи.

Поскольку в 1-м классе начальной школы большинство детей не владеют свободным чтением, а потому не может в полной мере самостоятельно работать с текстом задачи, очень большое значение имеет умение понимать ситуацию задачи на слух, правильно моделировать ее, выбирать и объяснять выбор действия.

В текстах стандартной формы условие выражено повествовательным предложением и предшествует вопросу, который выражен вопросительным предложением. В школе это иногда порождает такой «методический» прием, как чтение текста «до точки» (это условие), поскольку далее в вопросительном предложении содержится вопрос. Такую методику порождает стремление авторов учебников ограничиться только стандартными текстовыми структурами и типовыми задачами. Подобный подход ведет к тому, что дети научаются работать с типовыми задачами и довольно успешно справляются с ними, узнавая типы и вспоминая заученные способы решения, но при столкновении с нетиповыми текстами теряются и не могут ними справиться.

К нетиповым относятся тексты, в которых требование выражено повествовательным предложением, или текст задачи трансформирован таким образом, что она сформулирована одним предложением, или условие разделено на две части и т. п. Например:

В гараже стояло 2 легковые и 5 грузовых машин. Найти количество машин в гараже.

Нетиповые тексты могут быть построены и на других принципах — это могут быть тексты с нехваткой или излишком данных, например:

На дереве сидели птицы; 5 из них — это воробьи, остальные — голуби. Сколько было голубей?

Работа с такими текстами является наиболее полезной с точки зрения обучения решению задач, поскольку именно такие тексты учат ребенка внимательно читать и анализировать задачу, целенаправленно устанавливать связи между данными и искомым с целью осознанного выбора действия. Безусловно, при отсутствии умения читать ребенок не может осуществить такую работу. Если же предлагать такую работу плохо читающему ребенку, то на практике мы обычно наблюдаем в этом случае подмену работы над текстом задачи манипулированием числовыми данными. Это происходит потому, что числовые данные, обозначенные цифрами, в небольшом тексте бросаются в глаза в первую очередь. Поскольку в тексте стандартной задачи в 1-м классе обычно бывает два числовых данных, с которыми нужно выполнить арифметическое действие (сложение или вычитание), плохо читающий ребенок просто выполняет с выделенными числовыми данными знакомое ему арифметическое действие (наугад). Если же учитель не подтверждает правильность выбора действия, то достаточно выполнить другое из двух известных ребенку действий.

В результате подобной практики формируется весьма распространенный стереотип, когда ребенок выполняет действия с числами, заданными текстом задачи, даже не задумываясь над смыслом этих действий и их результатом (и тогда «полтора землекопа» в ответе его совершенно не удивляют).

Противоположный способ работы над задачей можно наблюдать в практике обучения шестилеток, когда педагог, зная, что дети не могут работать с текстом самостоятельно, старается облегчить им восприятие этого текста, моделируя все его числовые компоненты на наглядности (хотя именно числовые компоненты воспринимаются ребенком быстрее и легче всего). При этом на столе или фланелеграфе выставляется нужное количество предметов и перед глазами детей выполняются все обозначенные условием действия.

Приведем пример.

Учитель: «На ветке сидели 6 мартышек. Одна свалилась вниз. Сколько мартышек осталось на ветке?»

Иллюстрируя этот текст, педагог выставляет на фланелеграф изображения шести мартышек (приготовленные заранее), затем убирает одну мартышку — пять остаются перед глазами детей.

При описанном выше способе работы с наглядностью ребенок не только не озабочен выбором действия, но и не должен его выполнять, поскольку ответ он может получить пересчетом. При этом, помня, что следует обсудить с детьми выбор действия при решении задачи, педагог обычно настаивает на том, чтобы дети назвали действие, которое они выполняли. И дети называют нужное действие! Но вот насколько осознанно они это делают?

Скорее всего, дети просто помнят, что в аналогичной ситуации следует говорить «отняли». Таким образом, формируется ориентир на действие педагога (убрал мартышку — ясно, что надо отнять) или на слово («главное слово»). При такой ориентации ребенка приучают ассоциировать слова «отдали», «унесли», «съели», «осталось» и т. п. с действием вычитания. А слова «дали», «купили», «стало», «вместе» и т. п. — с действием сложения.

При работе со стандартными формулировками и простыми текстами такой прием некоторое время выручает и ребенка, и педагога. Однако первый же нестандартный текст покажет несостоятельность такого метода работы при обучении решению задач. Например:

1. Из бочки вылили сначала 5 ведер воды, а потом еще 2 ведра. Сколько ведер воды вылили? (Типичной ошибкой является действие 5 — 2.)

Подведем итог всего сказанного выше в виде формулировки основных условий корректной методической подготовки ребенка к обучению решению задач.

Первым необходимым условием является обучение ребенка моделированию различных ситуаций (объединение совокупностей, удаление части, увеличение на несколько штук, сравнение и т. п.) на различной предметной наглядности символического характера (используются простейшие заменители — фигурки, палочки и т. д.) так, как это было описано выше.

Вторым необходимым условием является обучение ребенка выбору соответствующих арифметических действий и составлению математических выражений в соответствии с ситуацией, заданной текстом.

Третье условие: следует убедиться, что ребенок достаточно уверенно пользуется приемом присчитывания и отсчитывания, поскольку для получения результата арифметического действия следует выполнять это действие, а не получать ответ пересчетом.

Пересчет — это способ проверки правильности полученного результата.

Для того чтобы подвести ребенка к пониманию того, что для решения задачи необходимо научиться получать ответ не пересчетом, а другими, чисто математическими, приемами (на первом этапе — присчитыванием и отсчитыванием, а затем — путем выполнения арифметических действий), следует соответствующим образом организовывать наглядность. Для исключения пересчета рекомендуется использовать прием работы с «скрытой» наглядностью, т. е. сначала наглядность предъявляется, сосчитывается, обозначается цифрами, а затем прячется (в коробку, конверт, корзину, за ширму и т. п.). После этого в соответствии с сюжетом задания приступают к выбору действия, поясняя его.

Например, упомянутая выше ситуация с мартышками могла бы выглядеть следующим образом:

Учитель: На ветке сидели 6 мартышек.

На фланелеграф выставляются мартышки, и их количество обозначается цифрой. Затем изображение задергивается занавеской и сообщается продолжение сюжета:

Учитель: Одна свалилась.

Эту одну мартышку можно достать из-за занавески и поставить на незакрытую часть фланелеграфа.

Учитель: Обозначьте эту мартышку цифрой. Теперь рядом с занавеской появляются две карточки с цифрами 6 и 1.

Учитель: Каким действием можно обозначить то, что мартышка свалилась с ветки?

Дети: Вычитанием.

Учитель: Почему вы выбираете вычитание? Почему не сложение?

Дети: Мартышка свалилась с ветки, и теперь на ветке их будет меньше, значит, надо отнять.

Запись завершается постановкой карточки со знаком вычитания. Теперь на фланелеграфе получилось выражение 6−1.

Учитель: Как найти его значение? (Дети используют любой знакомый способ, объясняя его.) Закончите запись. Какой знак нужно поставить, чтобы обозначить, что получилось 5 мартышек?

Дети: Знак равенства.

Фиксируем равенство: 6−1=5.

После этого занавеска отдергивается и детям предлагается проверить правильность ответа пересчетом.

Данная методика работы с наглядностью может быть использована в ситуации любой простой задачи, поскольку позволяет организовать и стимулировать как процесс выбора действия для решения задачи, так и провести проверку полученного результата пересчетом. Что уже с первых шагов будет формировать у ребенка правильное представление о том, что в решении задачи главное — это поиск действия, и о том, что решение задачи и ее проверка — это разные учебные действия.

Правильный выбор арифметического действия для решения задачи во многом зависит от умения учащихся переводить различные реальные явления и связи между ними на язык математических символов. В связи этим полезно использовать на уроках задания, связанные с составлением рассказа по картинке и записью его с помощью математических символов.

Например: составить рассказ по картинке, который соответствовал бы записи.

Можно составить такой рассказ: «На одной ветке висело 3 вишни, а на другой -1. На двух ветках вместе было 4 вишни». В соответствии с этой ситуацией в первое окошко нужно поставить число 3, во второе — 1, а в третье — 4.

Можно составить и другой рассказ: «На одной ветке висела 1 вишня, а на другой — на 2 вишни больше. На второй ветке было 3 вишни». Тогда получим запись 1+2=3. Второй вариант, конечно, можно услышать не так часто, но педагог должен быть готов к любому ответу.

Рассказ не должен на первых порах содержать вопроса, поскольку цель такого задания — учить ребенка составлять математическое выражение или равенство в соответствии с заданной ситуацией. Ситуация задана рисунком, что облегчает ученику ее восприятие, поскольку ведущий вид мышления в этом возрасте — наглядно-образный.

Приведем более сложный вариант такого задания. Составь рассказы по картинке в соответствии с разными видами записей (сложение и вычитание):

Сложность этого задания состоит в том, что картинка лишена динамики и ее мысленную «кодировку на ситуацию» ребенок должен выполнить, не двигая элементы картинки. Когда педагог добавляет или убирает их, дети легко ориентируются в выборе действия (убираем элементы — вычитание, добавляем элементы — сложение). Составить рассказ с действием вычитания по данному рисунку не всегда может даже взрослый человек. В качестве помощи к данному заданию можно использовать соответствующие записи: составь рассказ в соответствии с записью 5−2. («Было 5 вишен. Из них 2 на одной ветке, значит, на другой 5 — 2 = 3 «.)

В дальнейшем можно предлагать детям более абстрактные варианты рисунка, например:

Составьте сюжетные рассказы по модели, вложив в нее свое содержание:

Этап работы над такими заданиями можно считать завершенным, когда дети научатся легко составлять по аналогичным рисункам тексты вида:

1) было 7 белых и 2 серых квадрата, вместе 7+2=9;

2) всего было 9 квадратов, из них 7 белых, а 2 серых: 9−7=2;

3) всего было 9 квадратов, из них 2 серых, а 7 белых: 9−2=7 и т. п.

Такие задания будут одновременно готовить ребенка к пониманию схематических моделей ситуаций задач в дальнейшем.

Все эти задания следует рассматривать как подготовку к знакомству с задачей.

2.2 Знакомство с простой задачей Различные учебники знакомят детей с простой задачей в разное время традиционный учебник системы 1−4(в прежнем издании) предлагал делать это в декабре 1-го класса, отводя на подготовительный период 3 месяца. В новом издании (2001 г.) задачи с рисованными данными впервые появляются на стр. 45 учебника, т. е. примерно в ноябре, хотя сам заголовок «Задача» находим лишь на стр. 80 — почти через месяц после того, как, собственно, задачи начались. В учебнике Л. Г. Петерсон задача также появляется в декабре 1-го класса, а вот в новых вариантах учебников И. И. Аргинской и Н. Б. Истоминой первоклассники с задачей не знакомятся — эта тема отложена до 2-го класса, тем самым подготовительной работе отводится весь первый год обучения ребенка в школе.

В зависимости от характера и качества подготовительной работы знакомство с задачей может происходить различными способами. Например, педагог может выбрать объяснительно иллюстративный метод с опорой на учебник. Приведем пример такой организации знакомства с задачей при работе с традиционным учебником.

Учитель: Посмотрите на картинку в учебнике («Математика I», 2001 г., стр. 45) и послушайте задачу: «На столе стояли 3 банки варенья. Карлсон поставил на стол еще 1 банку. Сколько банок стало на столе?» 3+1=4 4−1=3 Учитель: То, что я вам сейчас рассказала, — это задача. Задачу можно разделить на две части: условие и вопрос. Послушайте условие (читает). Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?