Мультиколлинеарность. 
Фиктивные переменные в эконометрическом моделировании сезонных явлений

Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Следствием мультиколлинеарности является линейная зависимость между столбцами наблюдений xij или между столбцами матрицы X. В результате, матрица X? X становится плохо обусловленной, что приводит к неустойчивости оценок коэффициентов регрессии, когда незначительные изменения данных наблюдений приводят к значительным изменениям оценок.

Проверка наличия мультиколлинеарности основывается на анализе матрицы парных корреляций между факторами:

Коэффициенты парной корреляции rxixj между объясняющими переменными используются для выявления дублирующих факторов. Линейная зависимость между объясняющими переменными xi и xj считается установленной, если выполняется условие rxixj? 0,8, а сами факторы называются явно коллинеарными (эмпирическое правило). Один из факторов должен быть исключен из модели. Предпочтение при этом отдается тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

Наряду с парной коллинеарностью может иметь место линейная зависимость между боле, чем двумя переменными. Для оценки мультиколлинеарности факторов в этом случае может использоваться величину определителя Det R матрицы парных коэффициентов корреляции rxixj между факторами либо ее минимального собственного значения.

Чем ближе к нулю определитель (минимальное собственное значение) матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность между факторами и тем ненадежнее результаты множественной регрессии.

Для оценки статистической значимости мультиколлинеарности факторов может быть использован тот факт, что величина имеет приближенное распределение c степенями свободы.

Выдвигается гипотеза H0 о независимости переменных, т. е. Det |R| = 1.

Если фактическое значение ч2 превосходит табличное (критическое), то гипотеза Н0 отклоняется и мультиколлинеарность считается доказанной.

Для выявления мультиколлинеарности факторов можно использовать коэффициенты множественной детерминации; …, полученные по уравнениям регрессии, в которых качестве зависимой переменной рассматривается один из факторов. Чем ближе значение коэффициента детерминации к эмпирическому правилу, при значении коэффициента множественной детерминации R2 x1|x2x3…xp > 0,6 ультиколлинеарность факторов считается установленной. Оставляя в уравнении регрессии факторы с минимальной величиной коэффициента множественной детерминации, можно исключить мультиколлинеарность факторов.

Для преодоления явления линейной зависимости между факторами используются такие способы, как:

• — исключение одного из коррелирующих факторов;
• — переход с помощью линейного преобразования к новым некоррелирующим независимым переменным. Например, переход к главным компонентам вектора исходных объясняющих переменных (что позволяет также уменьшить количество рассматриваемых факторов), переход к последовательным разностям во временных рядах Дxit = xit — xit-1 и т. п.;
• — переход к смещенным оценкам, имеющим меньшую дисперсию. В частности, при использовании «ридж-регрессии» применяются смещенные оценки вектора параметров,

(6).

где ф — некоторое положительное число;

Ep+1 — единичная матрица порядка p+1. Такое преобразование увеличивает определитель матрицы системы нормальных уравнений и повышает устойчивость результатов (снижает дисперсию оценок, которые становятся смещенными).

Следует также учитывать ограничение, накладываемое на количество факторов, имеющимся числом наблюдений. Количество наблюдений должно превышать количество факторов более чем в 6−7 раз.