Формулы логики высказывания

Равносильность формул. Законы логики высказываний

Формулы называются равносильными, если таблицы истинности этих формул будут совпадать Равносильные формулы называются еще эквивалентными, так как в процессе каждого набора значений для своих переменных они наб бывают одинакового значения истинности или значение ложности (см. таблицу истинности для формулы эквивалентности, А = ВВ).

Равносильную формулу можно получить в результате замены пропозициональных связок на основании отношения зависимости между ними Определяют, что для любой формулы можно назвать равносильное для нее формулу, которая, а содержит символы-и V, V Например, формулу вида -1 А V-" В можно заменить формулой вида -" (А л В), что означает-oА /-ов = - «(А л В); есть, А — В =-и, А V В; формулу, А V В можно заменить формулой — «(-» А Л В), что означает, А V В = - (- * А Л — В В), що означає А V В =->(-* А Л -> В).

Равносильные формулы называются законами логики высказываний Законы логики высказываний (ЛО) — равносильны, тождественно-истинные формулы, входящие в структуру классической символической логики как формальной системы К ним относятся: закон тождества, закон несуперечнос сти, закон исключенного третьего, закон ассоциативности, закон дистрибутивности, закон идемпотентности, закон коммутативности, закон контра позиции, закон поглощения, закон двойного отрицания, законы де Моргана и ин.

Закон тождества определяет, что каждое высказывание является логическим следствием самого себя Формальный выражение закона АА Закон непротиворечивости определяет, что высказывания, А неправильное, если одновременно истинные его утверждения и его отрицание Формальный выражение закона -1 (А л — А) Закон исключенного третьего определяет, что высказывания, А или истинное, или ложное по значению истинности, но не может быть одновременно истинным и ложным Формальный выражение закона, А 1 А Законы тождества, непротиворечивости, исключенного третьего впервые сформулировал Аристотель Они также законами традиционной логики (см. 33) В символической логике эти законы рассматривают как элементы определенной фо ормально-логической системы и методом построения таблицы истинности определяют как тождественно-истинные формулмули. высказывание логический формула аксиоматический С возникновением и последующим развитием символической логики были определены новые законы логики высказываний Закон ассоциативности (лат associ ют определенные логические операции над высказываниями А, В, С для конъюнкции, дизъюнкции, над классами Так, выви;

Закон дистрибутивности (лат (размещение, распределение) выражает соотношение конъюнкции и дизъюнкции в логических операциях сборки и умножения:

Закон експортации определяет, что когда переменные А, В, С соединены символами конъюнкции и импликации, то из истинности конъюнкции, А а В вытекает истинность С (А, а В — С) К, А — (производительных вывода (чит: если истинность конъюнкции, А л В имплицирует С, то, если истинное А, — следует из истинности В следует истинность Синність С).

Закон идемпотентности (лат — то, что сохраняет то же самое) означает: произведение двух высказываний, А л, А сумма двух высказываний, А V, А эквивалентна самому высказыванию А, то есть, для конъюнкции, А л, А = А ((конъюнкция двух высказываний, А и, А эквивалентна А), для дизъюнкции, А V, А = А (дизъюнкция двух высказываний, А А эквивалентна А).

Закон коммутативности (лат — изменяющий) означает, что при умножении (конъюнкции) и добавлении (дизъюнкции) результат не зависит от порядка переменных Закон коммутативности: для конъюнкции (А Л В) = В л А) ((чит: А и В эквивалентно В и А), для дизъюнкции (А V В) = (В V А) (чит: А или В эквивалентно, что В или Або А).

Закон контрапозиции (лат — противопоставление) — закон, по которому импликации можно противопоставить ее отрицание (А — В) = (- В —o А) (чит: если из высказывания, А следует высказывание В, то с ния высказывания В следует отрицание Аеречення А).

Закон поглощения определяет, что в конъюнктивный или дизъюнктивной высказывании со сменными А, В осуществляется поглощения дополнительного высказывания Закон поглощения для конъюнкции, А л (А v В) = А (чит т: А и (А или В) эквивалентно А), для дизъюнкции, А V (А V В) = А (чит: А или (А или В) эквивалентно, А А).

Закон двойного отрицания определяет, что двойное отрицание высказывания, А (отрицание отрицания) эквивалентно его утверждению изображают формулам:

• 1 — «А — А (чит: если неправильно, что не А, то А);
• 2 * «» — «А = А (чит: неправильно, что не, А эквивалентно утверждению А)

Законы де Моргана сформулировал шотландский логик О де Морган: