Уравнения линий в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах и непрерывно принимает значения от 0 до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции, соответствует единственное значение полярного радиуса.

Примером полярной кривой является Архимедова спираль. На следующем рисунке изображен её первый виток — когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :

Спираль Архимеда.

а) б) Рис. 13.

Одна из ветвей спирали Архимеда, задаваемая уравнением для. Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

(2.5).

Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для, а другую для. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Окружность.

Круг, заданный уравнением .

Общее уравнение окружности с центром в () и радиусом имеет вид:

(2. 6).

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом .^[14]

Прямая Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением где — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, где — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую в точке определяется уравнением.

(2. 7).

Полярная роза.

Рис. 15.

Полярная роза задана уравнением.

. (2. 8).

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: для произвольной постоянной (включая 0). Если — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных, либо с лепестками для чётных. Если — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметьлепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Трехлепестковая роза.

— является частным случаем полярной розы.

Трехлепестковая роза задается уравнением.

Рис. 16.

Конические сечения.

Эллипс.

Коническое сечение, один из полюсов которого находится в полюсе, а другой где-то на полярной оси (так, что малая полуось лежит вдоль полярной оси) задаётся уравнением:

(2. 9).

где — эксцентриситет, а — фокальный параметр. Если, это уравнение определяет гиперболу; если, то параболу; если, то эллипс. Отдельным случаем является, определяющее окружность с радиусом .

Лемниската.

Рис. 17.

Лемнискамта (от лат. lemniscatus — «украшенный лентами») — плоская алгебраическая кривая порядка, у которой произведение расстояний от каждой точки до заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется, расположены они на оси, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

· в прямоугольных координатах:

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

· в полярных координатах:

Кардиоида.

— плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом^[1]. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Рис. 18.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Пусть — радиус окружностей, начало координат находится в крайней правой точке горизонтального диаметра неподвижной окружности. Тогда уравнения кардиоиды можно записать в следующих формах:

В прямоугольных координатах:

В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

В полярных координатах^[2][1]:

Астромида.

(от греч. буфспн — звезда и ейдпт — вид, то есть звездообразная)^[1]— плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем k =4.

Рис. 19.

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

Параметрическое уравнение:

Астроида также является алгебраической кривой рода 1 (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

Пример 2.3.Составить уравнение прямой линии в полярных координатах.

Решение.

Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (см. рис. 17).

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде Формулы перехода имеют вид Подставив в это уравнение значения x и y из формулы (2.1), получим, или, откуда, и окончательно .

В этом уравнении постоянными величинами являются p и, величины же r и — переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа).

Пример 2.4. Построить кривую r = a cos 2ц и найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Решение.

Будем давать значения полярному углу от до через промежуток и вычислим соответствующие значения r. Найденные значения поместим в таблицу. Примем произвольный отрезок за единицу масштаба, которой будем пользоваться при построении r. По значениямr и из таблицы построим точки, соответствующие каждой паре чисел r и, и соединим их плавной кривой.

0 0 a 0 — a 0 a	0 — a 0 a

Построение кривой показано на следующих рисунках:

На рисунке кривые, построенные на различных этапах, соединены в одну. Полученная кривая называется четырехлепестковой розой.

Теперь найдем уравнение четырехлепесковой розы в прямоугольной системе координат, причем напоминаем, что начало прямоугольной системы координат помещено в полюс полярной системы координат, а ось абсцисс направлена вдоль полярной оси.

Учитывая, что, уравнение четырехлепестковой розы перепишем в виде. Подставляя сюда формулы перехода.

получим.

или. Отсюда.

.

Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим окончательно.

(x² + y²)³ = a²(x² — y²)².

Пример 2.5. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется:

1) построить линию по точкам начиная с до и придавая значения через промежуток ;

• 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью;
• 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение:

Построим линию по точкам, предварительно заполнив таблицу значений r и :

Используя данные таблицы, строим линию:

Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат:

Полученная линия — эллипс.