Моделирование экономических систем

Задание 1

Раскрыть сущность экономико-математической модели. Привести классификацию экономико-математических моделей; дать понятие экономико-математического моделирования и рассмотреть его этапы.

С понятием «моделирование экономических систем» (а также математических и др.) связаны два класса задач:

задачи анализа, когда система подвергается глубокому изучению ее свойств, структуры и параметров, то есть исследуется предметная область будущего моделирования.

Задачи, связанные с задачами синтеза (получения ЭММ данной системы).

Модель — изображение, представление объекта, системы, процесса в некоторой форме, отличной от реального существования.

Различают физическое и математическое моделирование.

Классификация моделей:

— вещественные

— символьные

— словесно-описательные

1. математические

2. аналитические

· имитационные

· структурные

= формальные

= функциональные Этапы практического моделирования

1. Анализ экономической системы, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования.

2. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации.

3. Верификация модели и уточнение ее параметров

4. Уточнение всех параметров системы и соответствие параметров модели, их необходимая валидация (исправление, корректирование).

Задание 3

В качестве примера построим модель оптимального размещения активов для некоторого гипотетического банка, работающего более двух лет, баланс которого приводится в таблицах ниже.

Пассив баланса

Актив баланса

Запишем целевую функцию, в данной модели представляющую процентный доход банка от размещения активов, который следует максимизировать:

f (x)= 0,05х₃ + 0,07х₄ + 0,32х₅ + 0,25х₆ + 0,38х₇ + 0,33х₈ + 0,39х₉ +

+ 0,34х₁₀ + 0,25х₁₁>max

Первое ограничение следует из условия баланса: сумма активных статей баланса должна быть равна сумме пассивных его статей + собственный капитал х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + 33,5 + х₅ + х₆ + х₇ + х₈ + х₉ + х₁₀ + х₁₁ + 12,4 = 373,7

Второе ограничение следует из норматива по достаточности капитала, при этом предположим, что R = 0

Третье ограничение следует из норматива мгновенной ликвидности, которое представляет собой отношение балансовых сумм активов и пассивов до востребования и с просроченными сроками:

Четвертое ограничение следует из норматива краткосрочной ликвидности, которое представляет соотношение фактической и требуемой ликвидности:

Пятое ограничение запишем исходя из минимально допустимого значения соотношения ликвидных и суммарных активов баланса:

Шестое ограничение следует из ограниченности совокупной суммы крупных рисков.

Пусть х₅?0,1Ч68 и х₆?0,1Ч68, тогда х₅ + х₆?6Ч68

Седьмое ограничение следует из ограниченности средств, размещенных в банках стран — не членов ОЭСР х₄?68

Далее запишем ограничения, вытекающие из норматива максимального размера риска на одного клиента, считая для простоты, что одна статья баланса соответствует одному клиенту:

х₃?0,25Ч68; х₄?0,25Ч68; х₅?0,25Ч68;

х₆?0,25Ч68; х₇?0,25Ч68; х₈?0,25Ч68;

х₉?0,25Ч68; х₁₀?0,25Ч68

В завершение напишем условие неотрицательности:

х_j? 0, j = 1,11

Таким образом, все вышеперечисленные ограничения представляют собой модель оптимального распределения активов банка с рассмотренным выше балансом.

Задание 4

Построить уравнение регрессии, описывающее зависимость прибыли банка (у) от объема межбанковских кредитов и депозитов (х), оценить ее качество и степень зависимости. С помощью построенной регрессии прогнозировать, какой будет средняя прибыль банка при достижении объема межбанковских кредитов и депозитов величины 53 млн руб.

Решение Информацию, представленную в исходных данных представим графически:

Из диаграммы рассеяния видно, что зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов носит линейный характер. Кроме того, исследуется зависимость прибыли банка только от одного фактора — объема межбанковских кредитов и депозитов, поэтому регрессию будем строить в виде у = а + bх т. е. это будет простая линейная регрессия. Для расчета ее параметров воспользуемся известными формулами:

Для этого в рабочей таблице рассчитаем нужные суммы:

Подставим результаты, полученные в таблице в формулы:

Таким образом, уравнение регрессии, описывающее зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов, имеет вид:

у = -7,71 + 0,987х Оценим качество построенной регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, используя формулу:

Значение коэффициента детерминации достаточно близко к единице, поэтому качество построенной регрессии хорошее. Можно утверждать, что изменение прибыли банка на 86,8% зависит от изменения межбанковских кредитов и депозитов, и на 13,2% - от прочих факторов.

Степень зависимости между исследуемыми показателями оценивается на основании коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому имеем достаточно сильную линейную зависимость между прибылью банка и объемом межбанковских кредитов и депозитов.

Так как качество построенной регрессии хорошее, ее можно использовать для прогнозирования. Подставим прогнозное значение х_пр = 53 в построенное уравнение регрессии:

у_пр = -7,71 + 0,987Ч53 = 44,623 (млн. руб.)

Таким образом, если объем межбанковских кредитов и депозитов достигнет 53 млн руб., то средняя прибыль коммерческого банка составит 44 млн. 623 тыс. руб.

Задание 5

За компаниями A, B и С проводились наблюдения в течение трех периодов. Данные в процентах приводятся в таблице ниже. Оценить ожидаемую доходность и риск каждой акции, на основании этих оценок дать сравнительную характеристику. Рассчитать ковариации доходностей акций друг с другом. Дать определение эффективного портфеля ценных бумаг и построить модели, позволяющие определить структуру эффективных портфелей.

Решение Оценим ожидаемую доходность каждой акции:

Оценим риск каждой акции, который выражается вариацией:

Из приведенных расчетов следует, что самыми привлекательными для инвестора ценными бумагами являются акции компании А, так как они имеют самую высокую ожидаемую доходность и наименьший риск. Если же сравнить между собой компании В и С, то акции компании В имеют несколько большую ожидаемую доходность, но и больший риск, поэтому выбор зависит от отношения инвестора к риску.

Рассчитаем ковариации доходностей акций друг с другом:

Из расчетов видно, что ковариация доходностей компаний, А и С отрицательна, т. е. зависимость между доходностями акций этих компаний обратная, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в разных направлениях. Ковариации доходностей акций компаний, А и В, В и С положительные, что свидетельствует о прямой зависимости между доходностями акций этих компаний, под воздействием одних и тех же факторов доходности меняются в одном направлении.

Дадим определение эффективного портфеля. Портфель, имеющий минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска, называется эффективным.

пусть х_А, х_В, х_С — доли капитала инвестора, вложенные в акции компаний А, В, С соответственно. Сумма долей равна единице, т. е.:

х_А + х_В + х_С = 1

Так как риск портфеля, составленного из акций компаний А, В и С, выражается формулой:

а ожидаемая доходность этого же портфеля выражается формулой то, подставляя рассчитанные значения вариаций, ковариаций, получаем модели, определяющие структуру эффективных портфелей:

х_А + х_В + х_С = 1

х_А + х_В + х_С = 1

Задание 6

Руководство одного из банков решило разместить ресурсы в операциях с процентным арбитражем с целью получения прибыли от разницы процентных ставок на различных кредитных рынках с учетом изменения валютных курсов. Для проведения операций с процентным арбитражем на домашнем кредитном рынке было приобретено 500 000 рос. руб. под 7,5% годовых на месяц. На момент начала операции наиболее привлекательными для банка оказались кредитный рынок США и еврорынок. Процентная ставка по вкладам на месяц на кредитном рынке США равнялась 7,75% годовых, а на еврорынке по вкладам в евро на месяц 7,7% годовых. Соотношение курсов валют было следующее: RUR/€ = 37,7 руб., RUR/$ = 27,8 руб. Через месяц на момент окончания операции прогнозируются следующие курсы валют: с вероятностью 0,4 RUR/€ = 36,3 руб., RUR/$ = 28,2 руб., с вероятностью 0,6 RUR/€ = 38,2 руб., RUR/$ = 26,6 руб. Определить наилучшую стратегию размещения ресурсов сроком на один месяц, используя критерии Вальда, Гурвица и Байеса.

Решение В данной задаче выделяются 2 игрока: руководство банка, принимающее решения, и природа — рынок валют. Предположим, что руководство банка определило для себя три стратегии:

А₁ — разместить 500 000 руб. на еврорынке;

А₂— разместить 500 000 руб. на рынке США;

А₃— разместить 250 000 руб. на рынке США и 250 000 руб. на еврорынке.

У природы будут две стратегии, соответствующие двум прогнозам курсов. Для определения наилучшей стратегии построим платежную матрицу. Ее размерность будет 3Ч2 в соответствии с количеством стратегий.

Элементы платежной матрицы будут равны прибыли, которую получит банк в каждой из возможных ситуаций.

Рассчитаем элемент платежной матрицы, а ₁₁:

1. Конвертируем валюту:

500 000/37,7 = 13 262,6 €

2. Вкладываем получившуюся в валюте сумму на соответствующем рынке на месяц:

13 262,6Ч (1+0,077/12) = 13 347,7 €

3. Конвертируем полученную сумму в рубли соответственно стратегии природы:

13 347,7Ч36,3 = 484,521 руб.

4. Рассчитаем сумму, которую нужно вернуть через месяц на домашнем рынке:

500 000Ч (1+0,075/12) = 503 125 руб.

5. Находим чистый доход от операции

484 521,6 — 503 125 = -18 603,4 руб.

Аналогично рассчитываются все остальные элементы платежной матрицы. В результате расчетов она принимает вид:

Для выбора лучшей стратегии воспользуемся следующими критериями:

1. Критерий Вальда — критерий крайнего пессимизма. Наилучшая, по Вальду, стратегия — соответствующая наибольшему из наименьших выигрышей. Наилучшей, по Вальду, будет стратегия А₃, т. е. разместив по 250 000 тыс. руб. на рынках США и Европы, банк получит прибыль не менее, чем на 5629,29 руб.

2. Критерий Сэвиджа — критерий минимального риска. Наилучшей, по Сэвиджу, считается стратегия, соответствующая наименьшему из наибольших рисков. Для ее определения построим дополнительную матрицу R:

Стратегия А₃ соответствует минимальному из максимальных рисков, т. е. наилучшей, по Сэвиджу будет вложение по 250 000 руб. на обоих рынках.

3. Критерий Гурвица — критерий пессимизма-оптимизма. Параметр г в нашем случае равен 0,4. Рассчитаем числа и выберем из них максимальное:

a₁ = 0,4Ч (-18 603,45) + 0,6Ч6757,18 = -3387,07

a₂ = 0,4Ч (-21 617,96) + 0,6Ч7344,87 = -4240,26

a₃ = 0,4Ч5629,29 + 0,6Ч7430,39 = 6709,95

Таким образом при г = 0,4, если руководство банка настроено оптимистично оно принимает решение вложить по 250 000 руб. на обоих рынках.

4.Критерий Байеса — используется тогда, когда известны вероятности состояний природы. Такая ситуация называется ситуацией риска. Наилучшей, по Байесу, стратегией считается соответствующая наибольшему ожидаемому выигрышу. Рассчитаем а₁, а₂, а₃:

a₁ = 0,4Ч (-18 603,45) + 0,6Ч 6757,18 = -3387,07

a₂ = 0,4Ч7344,87 + 0,6Ч (-21 617,96) = -10 032,82

a₃ = 0,4Ч5629,29 + 0,6Ч7430,39 = 6709,95

Наилучшей, по Байесу, стратегией будет стратегия А₃.

Задание 7

Компания рассматривает строительство филиалов в четырех местах, соответственно имеются четыре проекта, продолжительностью 5 лет. Первоначальные инвестиции и доходы по годам приведены в таблице исходных данных. Инвестиционные возможности компании ограничены. В силу определенных соображений сумма расстояний от компании до филиалов не должна превышать 450 км. Из-за ограниченности фонда заработной платы общее число работников филиала на должно превышать 450 человек. Совместное строительство филиалов не допускается, так как они располагаются достаточно близко друг к другу.

Построить модель оптимального распределения инвестиций по проектам, в качестве критерия оптимальности использовать сумму NPV проектов. Ставка дисконта равна 15%.

Решение Для расчета NPV будем использовать следующую формулу:

i = 1,2,3,4

Отсюда:

NPV₁ = 1258,12

NPV₂ = 558,68

NPV₃ = 22,78

NPV₄ = 835,05

Введем переменные. Пусть х_i, i = 1,2,3,4 характеризует i-й проект и может принимать только 2 значения — 0 или 1. Если х_i = 0, это значит, что i-й проект не следует инвестировать. Если х_i = 1, то i-й проект следует инвестировать.

Используя введенные переменные запишем целевую функцию:

NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄

Теперь запишем ограничения, которые вытекают из условий задачи.

Первое ограничение следует из ограниченности инвестиционных возможностей компании:

1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄?5600

Второе ограничение следует из того, что в первом году некоторые проекты еще не требуют инвестиций, которые должны быть покрыты доходами от других проектов:

— 200х₁ + 100х₂ + 500х₃ — 300х₄?0

Далее запишем ограничение, вытекающее из ограниченности суммы расстояний:

100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄?450

Аналогично запишем ограничение, которое следует из того, что общее количество работников филиалов ограничено:

100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄?450

Наконец, запишем условие того, что второй и третий филиалы одновременно строить нельзя:

х₂ + х₃ ?1

Модель оптимального распределения инвестиций по проектам состоит в максимизации целевой функции при ограничениях, т. е.

NPV = 1258,12х₁ + 558,68х₂ + 22,78х₃ + 835,05х₄ (max)

1250х₁ + 1300х₂ + 1400х₃ + 2200х₄?5600

— 200х₁ + 100х₂ + 500х₃ — 300х₄?0

100х₁ + 90х₂ + 120х₃ + 160х₄?450

100х₁ + 120х₂ + 120х₃ + 150х₄?450

х₂ + х₃ ?1

0, если i-й проект не инвестировать

x_i =

1, если i-й проект инвестировать, i=1,2,3,4