Критерии качества треугольных элементов

Для количественной оценки качества построенной триангуляции определим два типа критериев топологический и геометрически [7].

Топологический критерий основан на ближайших соседях точки из множества. В идеальном случае точка имеет для двумерной области 6 соседей, для трехмерной 12 соседей. Топологическую оценку получим с помощью формулы (1), где — общее количество точек в области, — степень или количество соседних точек с вязаных с внутренней точкой.

(1).

Геометрический критерий основан на разнице вписанной и описанной окружности вокруг расчетного треугольного элемента. Геометрическую оценку получим с помощью формулы (2), где — количество треугольников, — радиус вписанной окружности, — радиус описанной окружности.

(2).

Алгоритмы построения триангуляции

Для построения триангуляции существует большое количество алгоритмов. Они различаются между собой трудоёмкостью, сложностью реализации на ЭВМ, подходами к построению. Подробнее об алгоритмах можно узнать в книге А. В. Скворцова [3]. Рассмотрим некоторые алгоритмы.

Одним из первых был предложен жадный алгоритм построения триангуляции. Триангуляция Делоне называется жадной, если она построена с помощью жадного алгоритма. Трудоемкость работы жадного алгоритма при некоторых его улучшениях составляет [4]. В связи со столь большой трудоемкостью на практике он почти не применяется. Рассмотрим алгоритм по шагам:

Шаг 1. Генерируется список всех возможных отрезков, соединяющих пары исходных точек, и он сортируется по длинам отрезков.

Шаг 2. Начиная с самого короткого, последовательно выполняется вставка отрезков в триангуляцию. Если отрезок не пересекается с другими ранее вставленными отрезками, то он вставляется, иначе он отбрасывается.

Заметим, что если все возможные отрезки имеют разную длину, то результат работы этого алгоритма однозначен, иначе он зависит от порядка вставки отрезков одинаковой длины.

Итеративный алгоритм имеют в своей основе очень простую идею последовательного добавления точек в частично построенную триангуляцию Делоне. Сложность данного алгоритма складывается из трудоёмкости поиска треугольника, в который на очередном шаге добавляется точка, трудоёмкости построения новых треугольников, а также трудоёмкости соответствующих перестроений структуры триангуляции в результате неудовлетворительных проверок пар соседних треугольников полученной триангуляции на выполнение условия Делоне. Рассмотрим алгоритм по шагам:

Шаг 1. На первых трех исходных точках строим один треугольник.

Шаг 2. В цикле по для всех остальных точек выполняем шаги 3−5.

Шаг 3. Очереднаяя точка добавляется в уже построенную структуру триангуляции следующим образом. Вначале производится локализация точки, т. е. находится треугольник (построенный ранее), в который попадает очередная точка. Либо, если точка не попадает внутрь триангуляции, находится треугольник на границе триангуляции, ближайший к очередной точке.

Шаг 4. Если точка попала на ранее вставленный узел триангуляции, то такая точка обычно отбрасывается, иначе точка вставляется в триангуляцию в виде нового узла. При этом если точка попала на некоторое ребро, то оно разбивается на два новых, а оба смежных с ребром треугольника также делятся на два меньших. Если точка попала строго внутрь какого-нибудь треугольника, он разбивается на три новых. Если точка попала вне триангуляции, то строится один или более треугольников.

Шаг 5. Проводятся локальные проверки вновь полученных треугольников на соответствие условию Делоне и выполняются необходимые перестроения.

При построении новых треугольников возможны две ситуации, когда добавляемая точка попадает либо внутрь триангуляции, либо вне её. В первом случае строятся новые треугольники и число выполняемых алгоритмом действий фиксировано. Во втором необходимо построение дополнительных внешних к текущей триангуляции треугольников, причём их количество может в худшем случае равняться? 3. Однако за все шаги работы алгоритма будет добавлено не более треугольников, где — общее число исходных точек. Поэтому в обоих случаях общее затрачиваемое время на построение треугольников составляет .

Цепной алгоритм один из первых эффективных алгоритмов построения триангуляции основан на процедуре регуляризации планарного графа и триангуляции монотонных многоугольников [5]. Трудоемкость этого алгоритма составляет, где — количество исходных отрезков. Рассмотрим алгоритм по шагам:

Шаг 1. Из множества исходных структурных отрезков формируем связанный планарный граф (Рисунок 4, а).

Шаг 2. Выполняется регуляризация графа, т. е. добавляются новые рёбра, не пересекающие другие, так что каждая вершина графа становится смежной хотя бы с одной вершиной выше неё и одной ниже. Регуляризация выполняется в два прохода с помощью вертикального плоского заметания [5]. В первом проходе снизу вверх последовательно находятся все вершины, из которых не выходят рёбра, ведущие вверх. Например, на (Рисунок 4, б) такой является вершина B. Проводя горизонтальную линию, обнаруживаем ближайшие пересекаемые ею слева и справа рёбра графа AD и EF. Затем в четырехугольнике DEHG находим самую низкую вершину и проводим в неё ребро из B. Аналогично выполняется второй проход сверху вниз (Рисунок 4, в). В результате работы этого шага каждая область планарного графа становится монотонным многоугольником.

Шаг 3. Каждую область графа необходимо разбить на треугольники. Для этого можно воспользоваться алгоритмом невыпуклого слияния двух триангуляций (Рисунок 4, г).

Рисунок 4. Схема работы цепного алгоритма триангуляции: а) — исходные отрезки; б — проход снизу вверх регуляризации графа; в) — проход сверху вниз; г) — триангуляция монотонных многоугольников Для реализации цепного алгоритма лучше всего использовать структуры данных, в которых рёбра представляются в явном виде, например «Двойные рёбра» или «Узлы, рёбра и треугольники» [3].

Недостатком цепного алгоритма является то, что о форме получаемой триангуляции ничего заранее сказать нельзя. Это не оптимальная триангуляция, не жадная и не триангуляция Делоне с ограничениями. В цепном алгоритме могут получаться очень длинные вытянутые треугольники.

Для улучшения качества полученной триангуляции можно проверить все пары смежных треугольников, не разделенных структурным ребром, на выполнение условия Делоне и при необходимости произвести перестроения. В результате будет получена триангуляция Делоне с ограничениями.