Кросс-спектр и корреляция вейвлет функций

Развивая тему спектрального анализа, следует упомянуть класс взаимных функций, которые позволяются анализировать два сигнала одновременно, применительно к данной работе — исследовать одновременно два временных ряда на предмет совпадения значений исследуемых индикаторов. В данной работе, как было указанно ранее, спектральный анализ представлен вейвлет преобразованием Морле. Данный материнский вейвлет наиболее разработан в ряде множества материнских вейвлетфункций и наиболее верно локализует данные в частотно — временном пространстве значений, уделяя значительное внимание как низкочастотным, так и высокочастотным колебаниям. Кросс-вейвлет морле анализ или взаимный вейвлет Морле представляет собой свёртку взаимно — сопряженных значений комплексного разложения Морле двух рядов [24,27,28].

Общие вычисления проводятся по следующей формуле:

W (a, t)1,2=W (a, t) с1W (a, t) с2*,(5)[5,10,18,20,28].

где W (a, t) с1- оператор комплексного вейвлет преобразования сигнала 1,.

W (a, t) с2- оператор комплексного вейвлет преобразования сигнала 2,.

• •- оператор свёртки,
• *-оператор комплексного сопряжения.

Либо данная формула представляется в виде сопряжения матриц коэффициентов комплексного вейвлет разложения:

W (a, t)1,2=wc1•wc2*,(6) [5,10,18,20,28].

Где wc1= матрица коэффициентов комплексного вейвлет разложения ряда 1,.

wc2=матрица коэффициентов комплексного вейвлет разложения ряда 1,.

• •- оператор свёртки,
• *-оператор комплексного сопряжения.

Вейвлет-когерентность — следующий инструмент анализа данных, используемый в данной работе. Данный анализатор позволяет определить силу связи между рядами преобразованных сигналов. Действие данного инструмента схоже с корреляционной функцией, то есть он так же позволяет определять характер связи, выразив его в числовом диапазоне от 0 до 1 по модулю. Коэффициенты вейвлет когерентности рассчитываются по следующей формуле:

K (a, t)1,2=[W (a, t)1,2]^2/[Wс1(a, t) Wс2(a, t)](7) [5,10,18,20,28].

Где ^ - оператор возведения в степень,.

/- оператор деления,.

W (a, t)1,2 — оператор кросс-вейвлет преобразования, либо коэффициент кросс вейвлет спектра,.

W (a, t) с1- оператор комплексного вейвлет преобразования сигнала 1, либо коэффициент вейвлет разложения ряда 1,.

Wс2- - оператор комплексного вейвлет преобразования сигнала 2, либо коэффициент вейвлет разложения ряда 2.

Может рассчитываться через операцию нормировки по формуле:

(8) [5,10,18,20,28].

Где — вейвлет образ сигнала ,.

— частота,.

— время,.

* - комплексное сопряжение.

В ранее описанных формулах (6,7,8) подразумевается использование материнского вейвлета Морле описываемого следующим уравнением:

(9) [5,10,18,20,28].

пояснения к формуле в параграфе 1.3.1.

Третий вариант расчета — использование уравнения для коэффициента парной корреляции в пересчёте на частотно-временное выражение. Общий вид данного уравнения:

С (a, t)1,2=| W1(a, t) W2(a, t)|/[?1?2],(10) [5,10,18,20,28].

Где W (a, t)1 — оператор вейвлет преобразования сигнала 1,.

W (a, t)2- - оператор вейвлет преобразования сигнала 2,.

• ?1-стандартное отклонение ряда 1,
• ?2- стандартное отклонение ряда 1.

Приведённые выше методы расчёта на выходе дают относительно равный результат в плане интерпретации значений. В данном исследовании предполагается использовать формулу 7 для расчёта коэффициентов вейвлет когерентности.