Понятие ряда Фурье

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай — тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида.

или, символической записи:

(1).

где щ, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …, b_n, …- постоянные числа (щ>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ѓ(ч), ввиде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ѓ(x) на заданном промежутке такой ряд (1), который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ѓ(x) разлагается в тригонометрический ряд. Ряд (1) сходится в некоторой точке х₀, в силу периодичности функций (n=1,2,.), он окажется сходящимся и во всех точках вида (mлюбое целое число), и тем самым его сумма S (x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n(x) — n-я частичная сумма этого ряда, то имеем.

а потому и, т. е. S (x₀+T) = S (x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ѓ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ѓ(x) периодической функцией.