Экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона

Составление рационов для животных при большом числе нормируемых показателей и многообразии кормов требует большой вычислительной работы и как следствие много времени. В связи с этим в последние годы интенсивно проводятся разработки по использованию математических методов и ЭВМ при организации рационального кормления животных.

Это позволяет специалистам анализировать многочисленные варианты развития кормопроизводства и животноводства и выбирать наиболее оптимальные из них, что невозможно сделать традиционными методами.

Одной из первых была разработана экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона, для решения которой применяют симплексный метод линейного программирования.

Экономико-математическая модель — математическое описание исследуемого экономического объекта (в исследуемой задаче — суточного рациона животного). Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений. Использование математического моделирования в экономике позволяет углубить количественный экономический анализ, расширить область экономической информации.

При разработке экономико-математической модели оптимизации кормового рациона необходима постановка задачи и обоснование критериев.

1. Постановка задачи

Подготовка к составлению задачи включает установление критерия оптимальности, входную информацию, а также условия и ограничения, которые должны быть учтены в модели. На основе этих материалов составляют развернутую экономико-математическую модель — матрицу задачи.

Кормовой рацион представляет собой набор кормов, потребляемых животными в сутки. Кормление животных должно удовлетворять оптимальную потребность организма в энергии, протеине, незаменимых аминокислотах, минеральных веществах и витаминах.

Экономико-математическую задачу в данном случае можно сформулировать следующим образом: из имеющихся в сельскохозяйственном предприятии кормов, а также кормовых добавок составить рацион, который полностью удовлетворял бы биологическим потребностям животного по содержанию питательных веществ, соотношению отдельных групп и видов кормов и удовлетворял бы критерию оптимальности, то есть являлся максимально дешёвым для сельскохозяйственного предприятия.

2. Входная информация

Входная информация, необходимая для решения оптимизационной задачи:

Живая масса 500 кг, удой 12 кг. При составлении рациона могут быть использованы следующие виды кормов: комбикорм, дерть ячменная, жмых подсолнечниковый, сено луговое, сено вико-овсяное, солома овсяная, сенаж разнотравный, силос клеверо-тимофеечный, силос подсолнечниковый, картофель, брюква кормовая, карбамид.

Таблица 1 Содержание отдельных видов кормов в рационе.

Содержание жмыха по массе в рационе не должно превышать 10% от всей массы концентрированных кормов. Удельный вес соломы в грубых кормах не более 35%, силоса подсолнечникового — не менее 40% от всего силоса., брюквы в корнеплодах по массе не менее 20%. Карбамида не более 17% от общего количества переваримого протеина.

Для составления экономико-математической модели оптимального рациона кормления КРС принимаются во внимание самые различные данные, имеющиеся в хозяйстве. К таковым относятся:

Вид и половозрастная группа скота, для которой рассчитывается кормовая смесь;

Требуемое содержание питательных веществ в рационе;

Предельные нормы скармливания отдельных видов и групп кормов;

Имеющиеся в хозяйстве виды кормов;

Содержание питательных веществ в единице корма;

Стоимость кормовых единиц.

Для расчёта оптимального соотношения кормов в рационе необходимо, чтобы питательность рациона была в пределах, определяемых нормативными стандартами для дойных коров массой 400 кг, с суточным удоем 10 кг. Потребность в питательных веществах приведена в таблице 2.

Таблица 2 Нормы кормления дойных коров.

3. Система переменных и ограничений

Основными переменными в данной экономико-математической модели являются переменные, обозначающие количество кормов, кормовых и минеральных добавок каждого вида.

Х₁, кг — содержание в рационе комбикорма Х₂, кг — содержание в рационе дерти ячменной Х₃, кг — содержится в рационе жмыха подсолнечникового Х₄, кг — содержание в рационе сена лугового Х₅, кг — содержание в рационе сена вико-овсяного Х₆, кг — содержание в рационе соломы овсяной Х₇, кг — содержание в рационе сенажа разнотравного Х₈, кг — содержание в рационе силоса клеверо-тимофеечного Х₉, кг — содержание в рационе силоса подсолнечникового Х₁₀, кг — содержание в рационе картофеля Х₁₁, кг — содержание в рационе брюквы кормовой Х₁₂, г — содержание в рационе карбамида.

Вспомогательные переменные вводятся в модель для облегчения математической формализации различных условий:

Х₁₃, г — содержание перевариваемого протеина в рационе Перейдём к числовой и математической записям ограничений.

Основные ограничения:

Основные ограничения модели отражают условия по балансу питательных веществ в рационе. Они записываются на основании исходных данных и имеют следующий вид:

• 1) Баланс ЭКЕ (КРС), ЭКЕ
• 10,4х₁+1,18х₂+1,04х₃+0,69х₄+0,68х₅+0,54х₆+0,31х₇+0,23х₈+0,21х₉+0,28х₁₀+0,21х₁₁+0*х₁₂?12,6

[(ЭКЕ/кг)*кг]=[ЭКЕ].

Х₁, Х_{2, …} Х₁₂ — искомые переменные, обозначающие количество j-ого корма в рационе;

• 1,04; 1,18; …0 — технико-экономические коэффициенты, обозначающие содержание соответствующих питательных веществ (в данном случае кормовых единиц) в единице корма (в 1 кг).
• 12,6 — константа — показывает количество питательных веществ, которое должно содержаться в рационе (в данном случае количество кормовых единиц в рационе), (см. Входную информацию);

Баланс обменной энергии, перевариваемого протеина и баланс каротина записываются аналогично.

• 2) Баланс обменной энергии, МДж
• 1,04х₁+11,8х₂ + 10,4х₃ + 6,9х₄ + 6,8х₅+ 5,4х₆ + 3,1х₇+2,3х₈+2,1х₉+2,8х₁₀+2,1х₁₁+ 0* х₁₂? 126

[(ОЭМДж/кг)*кг]=[ОЭМДж].

• 3) Баланс перевариваемого протеина, г
• 120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+2600х₁₂ ?1060

[(г*кг)/кг]=[г].

• 4) Баланс каротина, мг
• 0х₁+0х₂+0х₃₊16х₄+12х₅₊0х₆+17х₇+18х₈+15х₉+0х₁₀+0х₁₁+0х₁₂ ?475

[(мг/кг)*кг]=[мг].

5) Концентрированных кормов не менее 1,2 кг х₁ + х₂ + х₃ 1,2.

[кг]=[кг].

6) Концентрированных кормов в рационе должно быть не более 3 кг х₁ + х₂ + х₃ 3.

[кг]=[кг].

7) Грубых в рационе не менее 10 кг.

x₄ + х₅+ х₆ + х₇ 10.

[кг]=[кг].

8) Грубых в рационе не более 16 кг.

x₄ + х₅ + х₆ + х₇ 16.

[кг]=[кг].

9) Силоса в рационе не менее 8 кг.

x₈ + х₉ 8.

[кг]=[кг].

10) Силоса в рационе не более 12 кг.

x₈ + х₉ 12.

[кг]=[кг].

11) Корнеклубнеплодов в рационе не менее 4 кг.

x₁₀+ х₁₁ 4.

[кг]=[кг].

12) Корнеклубнеплодов в рационе не более 9 кг.

x₁₀+ х₁₁ 9.

[кг]=[кг].

Запишем ограничение по содержанию карбамида в рационе (дополнительное задание).

• 13) Содержание карбамида не менее 17% от перевариваемого протеина, г
• 2600х₁₂ 0,17(120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+ 2600х₁₂)
• 2600х₁₂ 0,17*х₁₃
• 2600х₁₂ — 0,17х₁₃ 0

[(г/кг)*кг]=[г].

• 14) Содержание перевариваемого протеина в рационе, г
• 120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+ 2600х₁₂ =х₁₃
• 120х₁+8х₂+310х₃+46х₄+52х₅+16х₆+0,37х₇+20х₈+15х₉+16х₁₀+9х₁₁+2600х₁₂-х₁₃=0

[(г/кг)*кг]=[г].

Х₁₃, гсодержание перевариваемого протеина и вспомогательная переменная. линейный программирование симплексный кормовой.

15) Содержание жмыха в рационе может составлять не более 10% от всей массы концентрированных кормов, кг х₁ 0,1(х₁ + х₂ + х₃).

х₁ 0,1 х₁ +0,1 х₂ + 0,1х₃

х₁-0,1 х₁ -0,1 х₂ — 0,1х₃ 0.

0,9х₁ -0,1 х₂ — 0,1х₃ 0.

[кг]=[кг].

16) Удельный вес соломы в грубых кормах не более 35%, кг Х₆?0,35(x₄ + х₅+ х₆ + х₇).

Х₆?0,35x₄ +0,35 х₅+ 0,35х₆ + 0,35х₇

Х₆-0,35x₄ -0,35 х₅— 0,35х₆ — 0,35х₇?0.

— 0,35x₄ -0,35 х₅ +0,35х₆ — 0,35х₇?0.

[кг]=[кг].

17) Удельный вес силоса подсолнечникового не менее 40% от всего силоса, кг Х₉ 0,4(х₈+х₉).

Х₉ 0,4х₈+0,4х₉

Х₉-0,4х₈+0,4х₉ 0.

— 0,4х₈+1,4х₉ 0.

[кг]=[кг].

18) Удельный вес брюквы в корнеплодах — не менее 20% корнеклубнеплодов, кг Х₁₁ 0,2(х₁₀+х₁₁).

Х₁₁ 0,2х₁₀+0,2х₁₁

Х₁₁-0,2х₁₀+0,2х₁₁ 0.

— 0,2х₁₀+1,2х₁₁ 0.

[кг]=[кг].

19) Условия неотрицательности переменных:

Х_j? 0, где j?1?13.

Целевая функция задачи — составить рацион минимальной себестоимости:

_minZ=3,20Х₁+1,85Х₂+1,32Х₃+0,72Х₄+0,78Х₅+0,31Х₆+0,40Х₇+0,41Х₈+0,37Х₉+3,8Х₁₀+0,55Х₁₁+132Х₁₂

[(ден.ед/кг)*кг]*[ден.ед].

.4 Математическая запись задачи и запись в математической форме целевой функции задачи.

Запишем полученные ограничения в системе:

• 1,04х₁+1,18х₂+1,04х₃+0,69х₄+0,68х₅+0,54х₆+0,31х₇+0,23х₈+0,21х₉+0,28х₁₀+0,21х₁₁+0*х₁₂?12,6
• 10,4х₁+1,18х₂ + 1,04х₃ + 6,9х₄ + 6,8х₅+ 5,4х₆ + 3,1х₇+2,3х₈+2,1₉+2,8х₁₀+2,1х₁₁+ 0* х₁₂? 126
• 120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+2600х₁₂ ?1060
• 0х₁+0х₂+0х₃₊16х₄+12х₅₊0х₆+17х₇+18х₈+15х₉+0х₁₀+0х₁₁+0х₁₂ ?475

х₁ + х₂ + х₃ 1,2.

х₁ + х₂ + х₃ 3.

x₄ + х₅+ х₆ + х₇ 10.

x₄ + х₅ + х₆ + х₇ 16.

x₈ + х₉ 12.

x₈ + х₉ 25.

x₁₀+ х₁₁ 4.

x₁₀+ х₁₁ 9.

• 2600х₁₂ — 0,17х₁₃?0
• 120х₁+83х₂+310х₃+46х₄+49х₅+16х₆+35х₇+20х₈+13х₉+16х₁₀+8х₁₁+2600х₁₂-х₁₃=0
• 0,9х₁ -0,1 х₂ — 0,1х?₃0
• -0,35x₄ -0,35х₅ + 0,65х₆ — 0,35х₇ 0
• -0,4х₈+0,6х₉ 0
• 0,8х₁₀-0,2х₁₁?0

_minZ=3,20Х₁+1,85Х₂+1,32Х₃+0,72Х₄+0,78Х₅+0,31Х₆+0,40Х₇+0,41Х₈+0,37Х₉+3,8Х₁₀+0,51Х₁₁+132Х₁₂

Ограничения основной группы (основные) характеризуют содержание питательных веществ в заданном объеме (не менее заданного количества):

Запишем математическую модель:

(i? I₁), где:

j — индекс или номер переменной;

J — множество, включающее номера всех переменных модели;

i — номер ограничения;

I₁ — множество, включающее номера ограничений по балансу питательности веществ;

x_j — искомая переменная, обозначающая количество корма j — го вида в рационе;

v_ij — технико-экономический коэффициент, обозначающий содержание i — го питательного вещества в единице (1 кг) j — го вида корма;

b_i — константа, показывающая объём ограничений, в данном случае количество питательных веществ i — го вида в рационе .

Вторая группа ограничений отражает условия по содержанию различных групп кормов в рационе в пределах, удовлетворяющих зоотехническим требованиям кормления животных:

Запишем математическую модель:

(i? I₂), где :

j — индекс или номер переменной;

J — множество, включающее номера всех переменных модели;

i — номер ограничения;

I₂ — множество, включающее номера ограничений по балансу питательности веществ;

x_j — искомая переменная, обозначающая количество корма j — го вида в рационе;

v_ij — технико-экономический коэффициент, обозначающий содержание i — го питательного вещества в единице (1 кг) j — го вида корма.

Дополнительные ограничения:

Дополнительные ограничения — отражают условия по содержанию отдельных групп кормов в рационе в зоотехнически допустимых пределах.

Математическая запись ограничений:

(i I₃), где:

J_h — множество, включающее в себя номера переменных определенной h-й группы кормов;

I₃ — множество, включающее номера ограничений по балансу отдельных групп кормов в зоотехнически допустимых пределах;

b_i^min и b_i^max -показывают соответственно нижнюю и верхнюю границы потребления кормов определенной группы, выраженные в процентах от общего количества кормовых единиц в рационе;

e_ij — технико-экономический коэффициент, равный единице.

Дополнительные ограничения по удельному весу отдельных видов кормов в соответствующей группе корма, кг:

Математическая модель:

где:

W_ij-коэффициент пропорциональности;

I₄ — множество, включающее номера ограничений по удельному весу отдельных видов кормов внутри групп.

J_n — множество, включающее номера переменных, входящих в определенную группу кормов;