Теория математических моделей дискретных каналов с памятью

Математическая модель канала с памятью коррелированными замираниями

Замирания, представляющие собой случайные изменения амплитуды и фазы сигнала, прошедшего через канал, приводят к существенному ухудшению качества передачи. Наиболее характерной, хотя и не единственной причиной замираний является многолучевое распространение сигнала при передаче по радиоканалам. При передаче последовательности сигналов по каналу с замираниями их влияние на отдельные элементы последовательности чаще всего не является независимым, и это приводит к дополнительным потерям. Характеристики, достижимые при использовании сверточного кодирования и алгоритма Витерби в канале с непрерывным выходом (полунепрерывном канале). Использование непрерывного выхода дает известные преимущества, но сравнению с декодированием в канале с дискретным выходом, причем в канале с замираниями эти преимущества оказываются особенно большими.

Кодовые последовательности х = (, {0,1}, j=1, 2,…, формируемые двоичным сверточным кодером, передаются с использованием сигналов двоичной частотной модуляции вида s_k(t) = cos 2рf_kt, 0tT, k = 0,1, где E, T — соответственно энергия и длительность сигнала, f_k = l_k/T, l_k-целые числа, l_k > 1. На выходе канала с замираниями наблюдается случайный процесс вида.

у (t) = µ cos (2рf_kt +)+ n (t), 0 t T, (2.1).

где µ — случайный коэффициент передачи канала, — случайный фазовый сдвиг, n (t) — белый гауссовский шум (АБГШ) со спектральной плотностью мощности N₀/2. При передаче последовательности x на выходе некогерентного демодулятора наблюдается последовательность у=(у⁽¹⁾, у⁽²⁾,…, у^(j) ,.. .), которая обрабатывается декодером. Вектор у^(j)=(у₀^(j), у₁^(j)), а его компоненты принимают значения.

у₀^(j) = (µ_c^(j) + n _c0^(j))² + (µ_s^(j) + n _s0^(j))², (2.2).

у₁^(j) = (n _c1^(j)) ² + (n _s1^(j))²

при передаче символа х^(j) = 0, где µ_c^(j) µ^(j) cos, µ_s^(j) µ^(j)sin — квадратурные компоненты коэффициента передачи канала, соответствующие передаче j-го элемента последовательности сигналов, n _ck^(j), n _sk^(j), к = 0,1 — случайные величины, определяемые влиянием АБГШ, — E/N₀ — отношение сигнал/шум. При передаче символа х ^(j)= 1 правые части равенств (2.2) меняются местами. Случайные величины µ_c^(j), µ_s^(j), n _ck^(j), n _sk^(j), k = 0,1 имеют гауссовское распределение с параметрами.

= = = 0,.

= = д_jl, (2.3).

= = = 0,.

= = = = 0, i, j = 1,2,…

Из этого определения следует, что коэффициент передачи канала µ^(j)((µ_c^(j))²+(µ_s^(j))² имеет рэлеевское распределение. Память в канале с замираниями определяется видом зависимости элементов последовательности µ =(µ ⁽¹⁾, µ ⁽²⁾,…, µ ^(j)), зависящей в свою очередь от характера зависимости элементов последовательностей.

µ_c =(µ_c ⁽¹⁾, µ_c ⁽²⁾,…, µ_c ^(j)) и µ_s =(µ_s ⁽¹⁾, µ_s ⁽²⁾,…, µ_s ^(j)).

Положим, что.

= = =, (2.4).

где 0 r 1.

Из определений (2.3) и (2.4) следует, что µ_c и µ_s — независимые Марковские последовательности. Нетрудно показать, что последовательность µ в этом случае также оказывается Марковской, т. е. для любого N> 1 ее функция плотности вероятностей (ф.п.в.) w (µ) записывается в виде.

w (µ) = w (µ⁽¹⁾) w (µ⁽²⁾ µ⁽¹⁾)…w (µ^(N) µ^(N-1)), (2.5).

w (µ) (2.6).

w (µ).

(х) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Величина при таком определении совпадает со средним значением отношения сигнал/шум в рэлеевском канале. Параметр r определяет степень зависимости случайных коэффициентов передачи канала, соответствующих различным моментам времени. В литературе отмечается, что такая модель может применяться при описании многих реальных каналов. Типичные значения параметра r могут достигать значений 0,99—0,999 и более. математический дискретный эргодичность Для завершения формального описания модели канала нужно определить условную ф.п.в. w (y | х). Очевидно, что.

w (y | x) = (y | x, µ) w (µ)dµ, (2.7).

где ф.и.в. w (µ) определена равенством (2.5), а.

w (y | x, µ) = (y^(j) | x^(j), µ^(j)), (2.8).

где условные ф.п.в. w (y^(j) | x^(j), µ^(j)), как следует из (2.2), представляют собой произведение ф.п.в. центрированного и не центрированного X² — распределения с двумя степенями свободы.