Выводы. 
Понятие вещественного числа

В истории математики всегда новые воззрения в математическом анализе не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно абсолютно точно назвать травлей. Но время лучший судья, и оно доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом зависел от действий таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд, и создан только благодаря их упорству и труду.

Построение вещественного числа было завершающей деталью фундамента для математического анализа. Вопрос аксиоматического построения анализа был практически завершен: все, что оставалось сделать — это построить аксиоматику целых и рациональных чисел. Но и эта задача была завершена, завершил ее Ж. Пеано в 1889 году. Но, построение вещественного числа не является узкоспециальным вопросом математики, как, например, Великая теорема ферма. Благодаря работам Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда в обращение вошли актуально бесконечные объекты: вещественное число, стало фактически первым таким объектом. Строгие построения, основанные на аксиоматике, содействовали переходу математиков от «чувственного», «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения вещественного числа стали впоследствии основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега. Теперь, видя результат, мы с уверенностью можем сказать, что ни один человек не может стать математиком, если он не знаком с работами трех великих творцов математики XIX века.

Математическая модель вещественных чисел постоянно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. И это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Главное назначение этой модели — служить основой для аналитических методов исследования. Колоссальный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел во многих случаях достаточно четко отображает структуру непрерывных физических величин. Все вышеизложенное, не означает, что вещественная числовая прямая это точный образ реальной непрерывной величины. Вот, например, даже современная наука пока не установила, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; но даже если это так модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, так как понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми). Существует еще множество нерешенных задач и возможностей, для математиков.