Обобщенный закон сохранения энергии-импульса Пойнтинга

Аналитическая механика дает способ построения тензора энергии-импульса по заданной функции Лагранжа. Этот способ описан в [1]. Тензор энергии-импульса равен.

(1.4.1).

Вычисления дают следующее выражение для тензора энергии-импульса.

(1.4.2).

Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен Tik = Tki. Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля описываются за пределами источников) равна нулю, т. е. Tik /xk = 0.

Из этого выражения вытекают законы сохранения энергии и импульса волны. Мы запишем результаты для свободного от источников полей пространства.

Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля волны.

(1.4.3).

Закон сохранения плотности энергии w электромагнитного поля волны.

(1.4.4).

(1.4.5).

(1.4.6).

Мы получили аналитически обобщенные законы сохранения Пойнтинга, которые описывают не только закон сохранения плотности энергии электромагнитной волны, но и закон сохранения плотности потока.

Представим векторный потенциал, А в виде суммы вихревого А1 и безвихревого А2 потенциалов. А = А1 + А2. Выражения, соответствующие (1.4.5) и (1.4.6) занесем в Таблицу 1.1.

Таблица 1.1. Энергетические компоненты волновых полей.

Поперечные волны векторного потенциала.

Продольные волны векторного потенциала.

Продольные волны скалярного потенциала.

Из полученных соотношений следуют весьма интересные выводы.

Во-первых, в общем случае уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описывают три различных вида потоков. Это очевидно, поскольку уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описываются векторным и скалярным волновыми уравнениями.

· Первый поток энергии есть известный поток поперечных электромагнитных волн, описываемый вектором Пойнтинга. Его плотность равна, где Е и Н вихревые составляющие электромагнитных полей!

· Второй поток — поток продольных электрических волн векторного потенциала А2. Его плотность равна .

· Третий поток — поток продольных волн, образованный скалярным потенциалом. Его плотность равна .

Во вторых, плотность энергии и плотность потоков S1 и S2, образованных векторным потенциалом А, положительны, а плотность энергии и плотность потока S3, созданного скалярным потенциалом, отрицательны. Это отнюдь не новый факт. Об этом знают некоторые специалисты по квантовой теории поля. Но этот факт, как обычно, мало известен физикам, которые специализируются в других направлениях. Здесь логический позитивизм утаил истину.

В третьих, из выражений (1.4.3) и (1.4.4) вытекает новое интересное следствие. В свободном пространстве плотности потоков и плотности энергий должны удовлетворять волновому уравнению, т. е. плотность потока и плотность энергии тоже являются запаздывающими, подобно потенциалам полей электромагнитной волны.

(1.4.7).

Это означает, что решение некоторых задач, например, по дифракции волн, связанных с решением векторных волновых уравнений, можно свести к тем же задачам, но описываемым волновым уравнением для скалярной плотности энергии w.

В четвертых, полученные результаты нетрудно распространить на любые волновые процессы, описываемые волновым уравнением. Мы получили законы сохранения для электромагнитных волн в свободном пространстве. Закон сохранения энергии Пойнтинга можно обобщить, включив плотность мощности источников полей.

В пятых, предельный переход от волновых явлений к явлениям квазистатическим принципиально невозможен из-за отрицательной энергии поля скалярного потенциала. Одновременно невозможно решить проблему электромагнитной массы в рамках запаздывающих потенциалов.

Эти принципиально новые результаты меняют многое в понимании явлений электродинамики и позволяют избавиться от заблуждений и предрассудков. Знал ли Ландау об этом варианте? Полагаем, что читатель не столь наивен, чтобы подозревать в этом Ландау. Ландау прекрасно все это знал. И не только он. Другие (например, Пуанкаре) наверняка пробовали применить методы аналитической механики к анализу электродинамики. Но из-за необычных результатов ученые отказывались проводить анализ дальше. По этой причине Г. Голдстейн в книге «Классическая механика» прямо относит электродинамику к «немеханическим» дисциплинам [5].

На нескольких научных конференциях нам приходилось задавать этот вопрос специалистам по КЭД и элементарным частицам. Оказалось, что о рассмотренном выше варианте и его следствиях большинство физиков не имеют представления. Специалисты, кто знаком с изложенным подходом, не хотели обсуждать этот вопрос, ссылаясь на то, что в КЭД используется практически только кулоновская калибровка. Но ведь считается, что калибровки эквивалентны. Поэтому проблема электромагнитной массы оказывается принципиально неразрешимой, если использовать запаздывающие потенциалы.

Итак, мы использовали стандартные методы вывода уравнений Максвелла в калибровке Лоренца и стандартные методы получения законов сохранения, выработанные математиками и механиками. Результаты, которые мы получили, радикальным образом отличаются от общепризнанных. Вот некоторые из них.

• · Энергия поля запаздывающего скалярного потенциала отрицательна. Это означает, что электромагнитная масса покоящейся частицы будет не положительная, а также отрицательная. Проблема электромагнитной массы не имеет решения, если потенциалы запаздывающие.
• · Если мы подсчитаем полную энергию движущейся с постоянной скоростью частицы (сумму потенциальной и кинетической энергии), то обнаружим удивительный факт. Кинетическая энергия такой частицы с отрицательной массой — положительна!
• · Из законов сохранения следует, что произвольно движущиеся заряды обязаны испускать продольные волны скалярного потенциала с отрицательной энергией и продольные волны векторного потенциала с положительной энергией. О них мы поговорим в следующем параграфе.
• · Таким образом, выбранный путь не позволяет решить проблему электромагнитной массы. Более того, даже описание квазистатических явлений в рамках запаздывающих потенциалов принципиально невозможно! Например, как правильно записать функцию Лагранжа для взаимодействия двух зарядов, если потенциальная энергия взаимодействия отрицательна?
• · Тот же вывод можно сделать и для теории тяготения, если мы считать гравитационный потенциал массы запаздывающим и т. д.

Историческая справка. Теперь мы можем кратко описать версию кризиса физики в конце 19 — начале 20 веков. Со времен механики Ньютона велись дискуссии о дальнодействии и близкодействии. Ошибка, допущенная Максвеллом [7], который «потерял» в своих уравнениях мгновенное действие на расстоянии (квазистатику), имела серьезные последствия.

Крупные ученые, столкнувшись с невозможностью использовать аппарат классической механики, как было показано выше, объявили, что главной причиной трудностей является «отсталость» методов классического анализа, обусловленная мгновенным действием на расстоянии.

Сторонники близкодействия начали дружно «клеймить» классические теории и их основу — мгновенное действие на расстоянии. Именно тогда родились идеи Пуанкаре о «конвенционализме», возник «махизм» и др. философские течения позитивистского толка, физики и философы начали отрицать преемственность знания (кумулятивный характер науки). Примечательно высказывание М. Планка о том, что новые теории отвергают старые, и теории отмирают, когда умирают их апологеты.

Так открылся путь логически противоречивым конструкциям, которые трудно назвать теориями: СТО, ОТО, логически противоречивая идея «корпускулярно-волнового дуализма» и т. д. Пуанкаре примерно так высказался об этом периоде: если с появлением релятивистских теорий классические теории еще представляли собой здание, то с появлением квантовых теорий от них остались руины. Материализм был «повергнут».

Теперь мы можем понять причину, по которой Ландау выбрал иной («обходной») путь изложения материала. У нас нет никаких причин обвинять Ландау в какой-либо сознательной «фальсификации», хотя математику обмануть невозможно, даже используя некорректные методы. Можно только «спрятать» трудности от наивного читателя. И это не единственный «огрех» в книге.

Ландау — человек своего времени, он яркий представитель господствовавшего в тот период (и в настоящее время) позитивистского мировоззрения. Он собрал имеющийся в то время фактический материал по электродинамике. При изложении материала, чтобы обойти логические и физические проблемы, явно бросающиеся в глаза, он воспользовался обходными путями («задворками»), но сделал это с таким умом и талантом, что его книга «Теория поля» до настоящего времени пользуется большой популярностью и вызывает невольное восхищение. Первое издание книги вышло в 1941 г. и выдержало 8 переизданий.

Мы же выбрали прямой путь. Наша задача непосредственно убедиться в том, что классическая электродинамика прекрасно согласуется с классическими теориями, например, с механикой Ньютона, если устранить логические противоречия и математические ошибки из современной электродинамики.

Это, как вы понимаете, не простая задача. Она сложна и по той причине, что мы не будем предлагать какие-либо гипотезы, а будем опираться логику и на известные методы аналитической механики. Продолжим исследование.