Примеры решения задач

Пример 1. Орудие, установленное на железнодорожной платформе, стреляет под углом к горизонту (рисунок 13). Снаряд массой вылетает из орудия со скоростью. Вследствие отдачи платформа с орудием покатилась по рельсам со скоростью. Масса платформы с орудием. Определить угол .

Решение. Искомый угол найдем из следующих рассуждений. Считаем, что система «платформа с орудием — снаряд» является замкнутой. В такой системе действует закон сохранения импульса. Для нашей системы он запишется в виде.

так как до выстрела импульс системы был равен нулю. Запишем это уравнение в скалярной форме в проекциях на ось :

.

(- импульс снаряда, переданный платформе, при этом.

).

Отсюда найдем искомый угол:

;

.

Пример 2. Человек массы m₁ находится на узком плоту массы m₂, который покоится на поверхности озера. Человек совершил перемещение относительно плота и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдите соответствующее перемещение плота относительно берега.

Решение. В данном случае результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек — плот, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения:

.

где и — скорости человека и плота относительно берега. Но скорость человека относительно берега можно представить в виде, где — скорость человека относительно плота. Исключив из этих двух уравнений, получим.

.

Умножив обе части на dt, найдем связь между элементарными перемещениями плота и человека относительно плота. Такая же связь будет, очевидно, и для конечных перемещений:

.

Отсюда видно, что перемещение плота не зависит от характера движения человека, т. е. не зависит от закона .

Покажем, как можно иначе решить эту задачу, если воспользоваться понятием центра масс. Т. к. сопротивление воды пренебрежимо мало, то результирующая всех внешних сил, действующих на систему человек — плот, равна нулю. А это значит, что положение центра масс данной системы в процессе движения человека (и плота) меняться не будет, т. е.

.

где и — радиусы-векторы, характеризующие положения центров масс человека и плота относительно некоторой точки берега. Из этого равенства найдем связь между приращениями векторов и :

.

Имея в виду, что приращения и представляют собой перемещения человека и плота относительно берега, причем, найдем перемещение плота:

.

Пример 3. Сила, действующая на частицу в некотором поле консервативных сил, имеет вид, где, а — постоянная, , — орты осей X и Y. Найти потенциальную энергию частицы в этом поле.

Решение. Вычислим элементарную работу силы на перемещении и представим ее в виде убыли некоторой функции. Эта функция и есть, по определению, потенциальная энергия частицы в данном поле. Итак,.

.

Отсюда .

Пример 4. Груз массой падает с высоты для забивки сваи массой. Найти среднюю силу сопротивления грунта, если в результате одного удара свая входит в грунт на глубину. Удар между грузом и сваей считать абсолютно неупругим.

Решение. По условию задачи удар неупругий, и поэтому груз и свая после удара двигаются вместе, их путь. На движущуюся систему действует сила тяжести и сила сопротивления грунта. По закону сохранения и превращения энергии.

(53).

где — кинетическая энергия; - потенциальная энергия; - работа сил сопротивления, которую можно определить по формуле. При движении системы на пути изменяются ее потенциальная и кинетическая энергия:

.

где — общая скорость груза и сваи после удара (в начале их совместного движения). Используя это, запишем равенство (1) в виде:

.(54).

Для оценки средней силы сопротивления установим значение общей скорости груза и сваи, для чего применим закон сохранения импульса:

(55).

где — скорость груза в конце его падения с высоты; - импульс груза в конце его падения до удара о сваю; - импульс груза и сваи после удара.

Скорость груза в конце падения с высоты определяется без учета сопротивления воздуха и трения:

.(56).

Общая скорость груза и сваи после удара находится из формул (55) и (56):

.(57).

Средняя сила сопротивления определяется из формул (54) и (57):

;

.

Пример 5. С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз. С какой высоты , считая от вершины, груз сорвется со сферы? Радиус сферы (рисунок 14).

Рисунок 14 — С вершины идеально гладкой сферы соскальзывает небольшой груз.

Решение. Груз, который, очевидно, можно считать точечным телом, до некоторой точки — точки отрыва от сферы — движется по дуге окружности радиуса R.

На груз во время его движения по сфере действуют сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны сферы. Уравнение второго закона Ньютона для этой части траектории имеет вид:

(58).

Проекции этих сил на направление, нормальное к траектории, сообщают телу нормальное ускорение , где — мгновенная (и, очевидно, непрерывно возрастающая) скорость тела. В точке С отрыва прекращается взаимодействие между движущимся телом и поверхностью сферы, и, следовательно, сила давления тела на сферу и соответственно сила нормальной реакции обращаются в нуль. (Начиная с этой точки тело движется только под действием силы тяжести, и траектория его будет зависеть от модуля и направления скорости в точке отрыва от сферы.) Таким образом, в этой точке нормальное ускорение, однозначно зависящее от скорости, сообщает телу только проекция силы тяжести. Для того чтобы определить высоту, на которой находится точка отрыва, надо найти связь скорости тела при его движении по сфере с его координатами, в частности с высотой. Такую связь можно найти, зная законы изменения со временем координат и скорости тела. Можно это сделать и рассматривая движение тела в поле тяготения Земли. Поскольку сила нормальной реакции работы не совершает, полная энергия тела остается постоянной, т. е.

.(59).

Очевидно, что применение закона сохранения энергии к переходу из начального состояния в точку отрыва даст в явном виде связь между скоростью тела и высотой рассматриваемой точки.

При скольжении груза по сфере потенциальная энергия изменяется на.

.

где — искомая высота, отсчитываемая от вершины сферы. Кинетическая энергия груза возрастает на.

.

На вершине сферы груз находится в положении неустойчивого равновесия, и скорость, необходимую для начала движения, можно считать пренебрежимо малой. Тогда, подставляя найденные выражения в (59), получаем.

.(60).

Чтобы от векторного уравнения (58) перейти к скалярным соотношениям, введем ось X. Тогда . На основании уравнения (58) В точке отрыва от сферы ,, следовательно,.

.

Как видно из рисунка 14, . Тогда.

.(61).

Уравнения (60) и (61) содержат скорость и высоту , относящиеся к одной и той же точке, и образуют систему уравнений, совместное решение которой позволяет найти.

.

Пример 6. Шар массой, движущийся горизонтально с некоторой скоростью, столкнулся с неподвижным шаром массой. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением:

(62).

где — кинетическая энергия первого шара до удара; и — скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (62), для определения надо найти. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим:

.(63).

По закону сохранения механической энергии:

.(64).

Решая совместно уравнения (63) и (64), найдем.

.

Подставив выражение для в формулу (62) и сократив на и, получим.

.