Математическая модель. 
Понятие о вычислительной физике

В предыдущем разделе неоднократно употреблялся термин «математическая модель». Рассмотрим теперь это понятие более подробно.

Математическая модель представляет собой некоторую совокупность математических уравнений (дифференциальных, алгебраических, трансцендентных, интегральных и т. д.), а возможно, и неравенств, описывающих в некотором приближении исследуемое физическое явление.

Следует особо подчеркнуть, что, проводя вычислительный (компьютерный) эксперимент, мы решаем не конкретную физическую задачу, а исследуем некоторую ее математическую модель. В связи с этим, математическая модель должна, с одной стороны, включать в себя все основные факторы, влияющие на поведение исследуемой физической системы, а с другой стороны, не быть (по возможности!) слишком сложной.

Поясним сказанное несколькими примерами.

В школьном курсе физики рассматривается движение тел около поверхности Земли без учета сопротивления воздуха. Это есть лишь некоторое приближение к изучению реального полета тел. Действительно, при малой скорости движения кирпича сопротивление воздуха весьма незначительно сказывается на его полете и силу сопротивления воздуха можно не учитывать. Если же скорость движения тела достаточно велика, что имеет место, например, при исследовании прохождении космической ракеты через земную атмосферу, то обойтись без учета сопротивления воздуха совершенно невозможно.

При изучении колебаний физического маятника в обычных земных условиях, мы не будем учитывать не только сопротивление воздуха, но и много разных других незначительных факторов. Например, мы пренебрегаем колебаниями стен физического факультета за счет прохождения толпы студентов по его коридорам и колебаниями почвы под действием каблучков некоторой девушки, идущей в Москве про Красной Площади. Мы не учитываем также разные физические процессы, протекающие на Солнце и в туманности Андромеды, хотя отлично понимаем, что «все в природе связанно друг с другом».

Мы не можем исследовать данное физическое явление с учетом «всех возможных», влияющих на него факторов, но учет основных факторов, разумеется, обязателен. Выделить такие факторы зачастую не столь просто, как это может показаться с первого взгляда, в силу чего, от создателя математической модели, нередко требуется не только незаурядная математическая, но физическая эрудиция.

Очевидно, что исследование с помощью самого современного компьютера неадекватной математической модели, которая либо не учитывает какие-либо существенные факторы, либо просто является ошибочной, не может привести к правильным результатам. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих вышесказанное.

Первый космический запуск американской ракеты на Венеру оказался неудачным, поскольку в программу, которая рассчитывала ее траекторию, вкралась чисто техническая ошибка: по недосмотру программистов, в некотором месте, вместо запятой стояла точка. В силу поучительности этой ошибки (подумайте, во сколько миллионов долларов она обошлась!) мы приведем ее в явном виде.

Вышеупомянутая программа была написана на языке Фортран и должна была содержать следующий фрагмент:

Таким образом, по замыслу это цикл, который должен был проработать три раза при значениях управляющей переменной I = 1,2,3. Тело этого цикла (из какого количества операторов оно состояло — неизвестно) обозначено заштрихованным прямоугольником под заголовком цикла. Метка 3 означат конец тела цикла.

На языке Паскаль соответствующий фрагмент программы выглядел бы.

Вкравшаяся ошибка заключалась в том, что в первой строке фортрановской программы вместо запятой оказалась точка, т. е. эта строка приняла вид.

Предсказать, как компьютер понял эту ошибочную строку практически невозможно, поскольку мы не знаем логику построения транслятора с языка Фортран в машинные коды. Как ни странно, транслятор посчитал эту строку правильной, но интерпретировал ее совершенно неожиданным образом. В отличие от Паскаля, на Фортране переменные можно не описывать до их использования в операторах программы (и начинающие программисты радуются такой возможности!). Транслятор, зная, что переменная цикла должна быть целым числом, и что после знака равенства должен быть указан интервал ее изменения (I = 1, 3), не опознал в ошибочной строке фортрановской программы цикл. Он решил, что от него (транслятора) требуется завести новую, ранее не встречавшуюся переменную с именем DO3I (!!!) и присвоить ей значение 1.3 (таким образом, переменная DO3I имела тип real). Возможность такой дикой, с человеческой точки зрения, интерпретации связана с тем, что пробелы в идентификаторах (именах переменных) обычно не учитываются в большинстве языков программирования.

Подумайте, к чему могла привести такая ошибка! Во-первых, тело цикла проработало не три раза, как это было задумано (I = 1, 3), а лишь один раз, причем с тем значением переменной I, которое предсказать невозможно. Действительно, это значение определяется содержимым ячейки с именем I, которое она имела к моменту вхождения в запланированный цикл (и могла иметь произвольное целое значение, например, 0, 4, 13 и т. д.).

В силу вышесказанного, эта удивительная ошибка, казалось бы, должна привести к столь «диким» результатам, что совершенно непонятно, как она могла быть необнаруженной при тестировании программы на Земле. Увы, этого не произошло, и когда наблюдения за полетом ракеты выявили существенные отклонения от курса, и в спешном порядке ошибку в программе управления полетом обнаружили, скорректировать должным образом траекторию полета ракеты было уже невозможно, и она пролетела мимо Венеры.

Как тут не вспомнить бытующие в кругу программистов афоризмы типа «В каждой, даже уже отлаженной и работающей программе, есть хотя бы одна ошибка» и «Надеяться, что в твоей программе нет ошибок — верный признак шизофрении»!

Другой пример. Первая ракета, запущенная на Венеру в СССР, также не достигла свой цели. По непроверенным слухам (автору неизвестно, была ли где-нибудь опубликована истинная причина этого неудачного запуска) это было связано с тем, что в математической модели, подлежащей расчету на компьютере, не было заложено влияние давления света (!). Такая версия происшедшего кажется весьма правдоподобной, поскольку людям, постоянно работающим с многотонными ракетами, идея учета давления света, могла, действительно, в голову не прийти (вряд ли кто-либо станет учитывать влияние давления света на движение автобуса по городу…).

Итак, неучет какого-либо существенного для решаемой физической задачи фактора может привести к достаточно неправильному или совершенно неправильному ее решению. С другой стороны, абсурдно пытаться учесть все возможные факторы. Действительно, в этом случае, математическая модель может оказаться столь громоздкой, что ее не удастся проанализировать таким образом, чтобы получить ясные, физические значимые результаты. Приведем пример, иллюстрирующий эту идею.

В конце 30х годов прошлого века технические возможности авиации позволили вплотную подойти к созданию самолетов, которые могут летать со сверхзвуковой скоростью. Однако, при приближении к «звуковому барьеру» конструкция самолета начинает испытывать столь сильные вибрации, что он может просто «развалиться в воздухе на куски». Это так называемое явление флаттера. Флаттер оставался бичом авиации, пока не были выяснены его физические причины. Прорыв в этой области был достигнут благодаря работам выдающегося советского математика и механика М. В. Келдыша.

Кратко говоря, главная заслуга Келдыша в исследовании проблемы флаттера сводилась к исследованию достаточно простой математической модели, позволяющей находить такие параметры конструкции самолета, которые сводили влияние флаттера к минимуму. В результате этой деятельности (заметим, что она проходила в «докомпьютерную эру»!) авиация смогла преодолеть звуковой барьер.

Несмотря на сделанное замечание о требовании к математической модели быть, по возможности, достаточно простой, в научной литературе при исследовании сложных физических задач, можно встретить модели, которые включают добрый десяток (и более) нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных…