Период математики переменных величин (XVII--XVIII вв.)

В XVII в. сделала большие успехи механика земных и небесных тел, и в связи с этим возникли проблемы изучения зависимостей одних величин от других, проблемы определения скоростей, ускорений, площадей криволинейных фигур, центров тяжести и т. д.

Для решения этих проблем в математике не было готового аналитического аппарата. Ученые начали искать пути изучения переменных величин в математике, используя творения античных математиков. В результате функция (термин Г. Лейбница) стала таким же основным объектом математики, как число и величина.

• 1614 г. — Дж. Непер ввел логарифмы и опубликовал первые логарифмические таблицы. Несколько позднее таблицы логарифмов опубликовал И. Бюрги.
• 1636—1637 гг. — Р. Декарт и П. Ферма ввели в математику метод координат, который позволил сводить геометрические задачи к алгебраическим. Независимо друг от друга Декарт и Ферма строили с помощью нового метода аналитическую геометрию. Декарт придал алгебраической символике современный вид.
• 1608—1660 гг. — развитие анализа бесконечно малых (методов определения объемов, площадей, центров тяжестей, касательных, экстремумов, скоростей, ускорений) в работах И. Кеплера, Б. Кавальери, Э. Торричелли, П. Ферма, Б. Паскаля, Дж. Валлиса, И. Барроу и др.
• 40—50-е годы XVII в. — П. Ферма сформулировал знаменитые проблемы теории чисел, которые в течение 200 лет оставались центральными в этой науке.
• 1665 г. — Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике», выводя свойства биномиальных коэффициентов и соотношения между ними, сформулировал и применил принцип полной математической индукции.
• 60—80-е годы XVII в. — И. Ньютон (с 1665 г.) и Г. Лейбниц (с 1673 г.) независимо друг от друга создали дифференциальное и интегральное исчисления и ввели в математику важнейший аналитический аппарат для представления и изучения функций — степенные ряды. Ньютон распространил формулу возведения бинома в степень на случай, когда показатель есть любое рациональное число.
• 1687 г. — вышла в свет книга И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», в которой было дано математическое построение основ классической механики земных и небесных тел.
• 1713 г. — вышло в свет (посмертно) сочинение Я. Бернулли, содержащее простейшую форму закона больших чисел — одного из основных законов теории вероятностей.
• 40-е годы XVIII в. — Л. Эйлер развил учение о функциях как действительного, так и комплексного переменного. Он подробно исследовал элементарные функции хⁿ, a^x, log x, sin x, cos x, нашел для них выражения в виде бесконечных рядов и определил логарифмы отрицательных и мнимых чисел.
• 30—60-е годы XVIII в. — Л. Эйлер доказал основные теоремы элементарной теории чисел, исследовал квадратичные вычеты и открыл квадратичный закон взаимности — один из основных в высшей арифметике. Эйлер доказал частный случай великой теоремы Ферма, а именно что уравнение

хⁿ+ уⁿ=zⁿ

при n=3 и n=4 не имеет решений в целых числах. При этом он рассматривал выражения вида т+п как новые целые числа, что было первым обобщением понятия целого числа.

• 1770—1771 гг. — Ж. Лагранж проанализировал все методы решения в радикалах уравнений первых четырех степеней и показал, почему всё эти методы не годятся для решения уравнений пятой степени. Он открыл, что разрешимость уравнений в радикалах зависит от свойств группы перестановок корней этого уравнения, и тем самым обратил внимание на значение изучения групп.
• 1796 г. — К. Гаусс показал, что если n — простое число, то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, когда п имеет вид + 1.
• 1799 г. — К. Вессель дал геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Однако его работы остались неизвестными. В 1806 г. аналогичная геометрическая интерпретация была предложена Ж. Арганом. Всеобщее признание в математике комплексные числа получили только после работ К. Гаусса в 1832 г.
• 1801 г. — К. Гаусс создал основы теории чисел. Он впервые развил теорию сравнений, доказал основные теоремы этой теории, изучил до конца теорию квадратичных вычетов, изложил теорию уравнений деления круга.
• 1821—1823 гг. — О. Коши развил теорию пределов и на основе ее построил учение о функциях, определил понятие суммы ряда, непрерывности функции, а позднее учение о пределах положил в основу всего математического анализа. Коши принадлежит также разработка основ теорий функций комплексного переменного (1825).
• 1824—1826 гг. — Н. Абель доказал, что алгебраические уравнения степени n? 5 в общем виде неразрешимы в радикалах.
• 1827 г. — К. Гаусс развил так называемую внутреннюю геометрию поверхностей, в которой каждая поверхность выступает как носительница свойств особой геометрии.
• 1829—1830 гг.— Н. И. Лобачевский опубликовал свои первые работы по неевклидовой геометрии, которые открыли новую эру в истории геометрии.

Независимо от Н. И. Лобачевского систему неевклидовой геометрии построил Я. Больяй (1831).

• 1830—1832 гг. — Э. Галуа нашел критерий того, решается ли данное уравнение с числовыми коэффициентами в радикалах. При этом он развил методы теории групп и полей, которые приобрели огромное значение в математике и ее приложениях.
• 1832 г. — в связи со своими исследованиями по теории чисел К. Гаусс распространил понятие целого числа на комплексные числа а+ bi, где, а и b—целые. Перенес на новые числа алгоритм нахождения наибольшего общего делителя и развил всю арифметику целых комплексных чисел.
• 1840—1851 гг. — У. Гамильтон обобщил понятие комплексного числа, построив кватернионы — числа вида а+ bi+ cj+ dk, где i²=j²=k²=-1, а, b, с, d—действительные числа. Оказалось, что для этих чисел выполняются уже не все законы обычной арифметики. Так, умножение кватернионов не обладает свойством переместительности.
• 1847 г. — Э. Куммер при помощи введения так называемых идеальных чисел построил арифметику целых чисел полей деления круга. Это дало ему возможность доказать великую теорему Ферма для всех n<100).
• 1849 г. — П. Л. Чебышёв получил первые после Евклида точные результаты о распределении простых чисел в натуральном ряду.
• 1864 г. — Б. Риман, обобщая идеи Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, дал способ построения всевозможных метрических неевклидовых геометрий. Римановы геометрии стали впоследствии основным математическим аппаратом общей теории относительности. Частным случаем римановых геометрий являются геометрия Евклида и геометрия Лобачевского.
• 1871—1889 гг. — Р. Дедекинд, Е. И. Золотарев и Л. Кронекер независимо друг от друга и разными методами построили арифметику целых чисел любого поля алгебраических чисел. При этом Дедекинд ввел с помощью систем аксиом такие основные понятия современной алгебры, как кольцо, модуль и идеал.
• 1881—1882 гг. — Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс построили тремя различными способами теорию действительных чисел. Вскоре в работах Дедекинда и особенно Кантора возникла новая важная область современной математики — теория множеств.
• 1899 г. — Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» построил полную аксиоматику геометрии Евклида и проанализировал соотношения между различными группами аксиом. С этого времени большое развитие в математике получил аксиоматический метод.