Построение математической модели, описывающей процесс решения дифференциального уравнения

Лист задания Начальные условия:, ,, , ,

Постановка задачи:

1. Рассчитать погрешности уточненных значений

1.1 Рассчитать уравнения с шагом h

1.2 Рассчитать уравнения с шагом h/2

1.3 Оценить погрешности вычислений при решении задачи

1.4 Рассчитать уточненные решения y_ут.

1.5 Составить таблицу данных 1

1.6 Построить график 1 — значений y_h, y_h/2, y_ут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов

2.1 Составить таблицу 2 — рассчитанных значений для расчета коэффициентов

2.2 Составить систему уравнений

2.3 Решить систему уравнений методом Гаусса

2.4 Составить таблицу 3 — данных для расчета погрешности аппроксимации

2.5 Построить график 2 — значений y_h и F (x).

3. Интерполирование

3.1 Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и сгустить значения

3.2 Рассчитать погрешность интерполяции

3.3 Составить таблицу данных 4

3.4 Построить график 3 — значений y (x), F (x), P (x)

4. Проанализировать полученные результаты

5. Составить программу для проверки правильности расчетов

Содержание Введение

1. Расчет погрешностей и уточненных значений

1.1 Расчет уравнений с шагом h

1.2 Расчет уравнений с шагом h/2

1.3 Оценка погрешности вычислений при решении задачи

1.4 Расчет уточненных решений y_ут

1.5 Таблица данных 1

1.6 График 1 — значений y_h, y_h/2, y_ут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов

2.1 Таблица 2 — рассчитанных значений для расчета коэффициентов

2.2 Составление системы уравнений

2.3 Решение системы уравнений методом Гаусса

2.4 Таблица 3 — данных для расчета погрешности аппроксимации «о_апп»

2.5 График 2 — значений y_h и F (x)

3. Интерполяция

3.1 Построение интерполяционного многочлена Лагранжа

3.2 Расчет погрешности интерполяции

3.3 Таблица данных 4

3.4 График 3 — значений y (х), F (X) и P (x)

4. Анализ полученных результатов Заключение

Введение

Настоящее время характеризуется резким расширением математики, что связано с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением, менее чем за 50 лет скорость выполнения операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 10¹² операций на современных серийных ЭВМ.

Мнение о всемогуществе современных ЭВМ порождает впечатление, что разработка численных методов не столь важна. В действительности же, расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, географии, геологии и д.р. суть математизации состоит в построении новых математических моделей явлений и процессов, а также разработке методов их исследования.

1. Расчет погрешностей и уточненных значений

1.1 Расчет уравнений с шагом h

Начальные условия:

, , ,

метод Эйлера-Коши, аппроксимирование методом квадратного трехчлена, составление многочлена Лагранжа.

Необходимо вычислить табличные значения решений квадратного уравнения, используя формулы:

;; ;

1. х₁ = 0,1

2. х₂ = 0,2

3. х₃ = 0,3

4. х₄ = 0,4

5. х₅ = 0,5

6. х₆= 0,6

7. х₇ = 0,7

8. х₈ = 0,8

9. х₉ = 0,9

1.2 Расчет уравнений с шагом h/2

1. х₁ = 0,1

2. х₂ = 0,2

5. х₅ = 0,5

9. х₉ = 0,9

1.3 Оценка погрешности вычислений при решении задачи

Допустимая погрешность на шаге определяется его максимальной величиной. Шаг интегрирования должен быть таким, чтобы быть существенно меньше интеграла, на котором решение дифференциального уравнения значительно изменяется. Удобный способ оценки погрешности и правильного выбора шага дает метод Рунге.

Погрешность для метода второго порядка точности можно вычислить по следующей формуле:

В результате расчетов пришлось уменьшить шаг до, чтобы выполнить условие вычисления погрешности.

1.4 Расчет уточненных решений y_ут

Если о_h/2 по модулю не больше допустимой погрешности, то шаг выбран правильно и находятся уточненные решения:

В противном случае шаг уменьшается вдвое и все повторяется.

1. х₁ = 0,1

2. х₂ = 0,2

9. х₉ = 0,9

.

1.5 Таблица данных 1

1.6 График 1 — значений y_h, y_h/2, y_ут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов

2.1 Таблица 2 — рассчитанных значений для расчета коэффициентов

2.2 Составление системы уравнений

Сумма квадрата разности соответствует значению функции ѓ(x) и F (x):

Данная функция — сумма трех переменных (a, b, c), задача сводится к отысканию ее минимума. Функция трех переменных имеет минимум, когда все ее частные производные равны нулю.

Получим:

1) — первое уравнение системы

2) — второе уравнение системы

где

Таким образом, получена система линейных уравнений следующего вида (после замены сумм коэффициентов):

где, ,

, , ,

Решение полученной системы дает значения параметров a, b и с для приближенной функции вида .

2.3 Решение системы уравнений методом Гаусса

; ;

2.4 Таблица 3 — данных для расчета погрешности аппроксимации «о_апп»

2.5 График 2 — значений y_h и F (x)

3. Интерполяция

3.1 Построение интерполяционного многочлена Лагранжа и сгущение значений

Очевидный прием решения данной задачи — вычисление значений ѓ(x), воспользовавшись аналитическими значениями функции ѓ. Для этого — по исходной информации, заданной табличными значениями, отыскивается приближенное значение функции F (x), которая в некотором смысле близка к ѓ(x). И аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычисления, считая, что. Классический подход к решению данной задачи, а именно — построение приближенной функции основано на требовании строгого совпадения значений ѓ(x) и F (x) в x_i, при данная функция — интерполируема, а — узлы интерполяции. Как правило, интерполяция функции F (x) отыскивается в виде полинома в степени не больше n.

Значения совпадают со значениями заданной функции в узлах интерполяции.

Интерполирование геометрически обозначает необходимость нахождения алгебраической кривой вида y_n, проходящую через систему точек. Значения и значения исходной функции должны быть одинаковы в узлах интерполяции.

Пусть:, , тогда многочлен Лагранжа будет иметь следующий вид:

В соответствии с заданием получим:

Подставив значения, получим:

Теперь подставим значения в поучившийся многочлен. Значения «x» возьмем из таблицы, взяв шаг равный 0,02.

3.2 Расчет погрешности интерполяции

Если известно выражение интерполируемой функции ѓ(х), то можно применить формулу для оценки погрешности интерполирования, как погрешности метода. Остаточный член интерполяционного многочлена имеет следующий вид:

.

Предполагая, что ѓ(х) имеет производную до n+1 порядка включительно, можно предположить, оценивая формулу:

В связи с тем, что формулы Ньютона и Лагранжа — различны способы записи одного и того же интерполяционного многочлена, то для подсчета погрешности интерполяции может быть использована одна и та же формула:

Исходя из задания, формула погрешности будет выглядеть так:

Подставив данные, получим следующие значения погрешностей:

3.3 Таблица данных 4

3.4 График 3 — значений y (х), F (X) и P (x)

4. Анализ полученных результатов

Интегрирование методом Эйлера-Коши подтвердило то, что данный метод обладает достаточно высокой точностью. Погрешность вычислений метода Эйлера-Коши зависит от шага h и пропорциональна шагу h во второй степени. Поэтому метод Эйлера-Коши является методом второго порядка. Погрешность не превысила указанной величины.

В результате аппроксимирования были вычислены значения и построена приближающая функция F (x). Значения полученной функции, как и следует из задачи аппроксимирования, получились достаточно близки к табличным. Найденная погрешность аппроксимации была в пределах нормы.

В ходе интерполирования с использованием многочлена Лагранжа была выполнена задача по построению приближенной функции к физической величине f (x) по известным значениям в некоторых точках.

Заключение

дифференциальный уравнение алгоритм многочлен

При выполнении данной курсовой работы осуществлено построение математической модели, описывающей процесс решения дифференциального уравнения. На её основе разработан алгоритм и написана программа.

При построении математической модели произведен расчет значений дифференциального уравнения с шагом h и с шагом h/2, выполнена оценка погрешности вычислений, осуществлена аппроксимация решений дифференциального уравнения. По полученным данным составлена система уравнений.

Используя метод Гаусса, найдены решения данной системы. Затем построен интерполяционный многочлен.