Анализ системы изучения пространственных представлений в математике начальных классов

По определению математического словаря Ю. А. Каазика математика — это «наука об количественных отношениях и пространственных формах действительного мира» .

Как видно из определения, одним из основных предметов математики является форма и пространство, что говорит о возможности использования математических знаний при формировании пространственного мышления и о больших возможностях математики в этом процессе о чём говорят известные психологи, методисты, педагоги (Гальперин, Л. В. Фридман, В. В. Давыдов и др.).

Анализируя систему изучения геометрических понятий и отношений как в традиционной, так и в альтернативных системах обучения математике в начальной школе, можно придти к выводу о том, что геометрические знания рассматриваются как нечто второстепенное, не имеющее самостоятельной ценности и самостоятельного значения, дополнительное к арифметическим знаниям. При этом объем геометрических представлений младшего школьника, определенный программой начальной, является весьма небольшим и ограничивается только знакомством с плоскими геометрическими фигурами, не затрагивая даже отношений между ними на плоскости (не говоря уже о пространстве). Единственное отношение, изучаемое в начальной школе, — это отношение равенства (равные отрезки, равные стороны, равные площади), которые проверяются либо непосредственным наложением в 1-м классе или измерением во 2-м и 3-м классах, а равенство площадей — в основном вычислением в 3-м и 4-м классах. Иными словами, обучение геометрии в начальной школе сводится в основном к измерительной деятельности, что иллюстрирует связь понятий «длина» и «площадь» с понятием «натуральное число» и удовлетворяет в основном потребность в формировании практических измерительных навыков младших школьников. Однако такое обучение не решает проблемы развития геометрического мышления, которое является весьма значительным в развитии пространственного мышления в широком смысле. Этот вывод подтверждается материалами структурного анализа системы изучения элементов геометрии (и пространственной в том числе) четырех наиболее популярных в настоящее время систем обучения младших школьников математике — традиционных учебников по программам 1 — 3 и 1 — 4, а также альтернативных учебников И. И. Аргинской и Н. Б. Истоминой, проведенный кандидатом педагогических наук А. В. Белошистой. Количественные данные этого анализа отражены в таблице.

Таблица 1.

Количественный анализ геометрического содержания учебников математики традиционной системы обучения (колонки 3 — 5) дает, во-первых, практические одинаковые цифры по второму, третьему и четвертому классу, а, во-вторых, показывает, что процентное отношение заданий с геометрическим содержанием к общему числу задач крайне низко, что естественно не может способствовать формированию геометрических представлений младших школьников на должном уровне. Аналогичные показатели по учебникам системы развивающего обучения значительно отличаются от учебников традиционной системы как количественно, так и в процентном отношении к общему количеству задач. Особенно высоки эти показатели в учебниках И. И. Аргинской.

Дополняя количественный анализ соотношения геометрического материала к общему объему математических заданий анализом содержательной стороны этих заданий (колонки 6 — 8), выделим в отдельную графу (колонка 6) задания на измерения длин отрезков, сторон фигур и т. п., на построение с опорой на измерения («построй отрезок заданной длины», «построй прямоугольник с заданной длиной сторон» и так далее), на вычисления периметра и площади фигуры, то есть задания на измерительную деятельность. Такие задания, по мнению большинства психологов и методистов, не способствуют развитию пространственных представлений и пространственного мышления. Выделение этих заданий из общего числа задач с геометрическим содержанием дает возможность более объективно рассмотреть оставшиеся задания, которые, несмотря на их разнородность — это и задания на распознавание, и конструктивные задания, и задания на классификацию или сравнение и так далее, можно отнести к заданиям на «геометрию формы», то есть к тем именно заданиям, которые способствуют формированию пространственного мышления младшего школьника. В итоге, после произведенного выделения, сравнение цифр последней графы — доля заданий на «геометрию формы», дает просто микроскопические результаты, не превышающие 1,1 процента от всех заданий учебника в 3-м классе по традиционной системе обучения 1 — 3, а в остальных классах и того меньше. Кажущееся исключение на этом фоне (1,9% в 1-м классе по программе 1 — 4) происходит только в связи с тем, что к заданиям этого типа отнесены задания на продолжение узора из геометрических форм, хотя эти задания в большей степени следует отнести к упражнениям по развитию мелкой моторики, поскольку при их выполнении ребенок просто копирует рисунок. Как показывают наблюдения, учителя первого класса крайне редко дополняют эту работу анализом, стимулирующим пространственное оперирование формами, из которых составлен рисунок.

Значительно благоприятнее выглядит ситуация с заданиями на «геометрию формы» в методических комплектах Аргинской И. И. и Н. Б. Истоминой, в которых доля таких заданий составляет от 4,3% до 16,6%, что на несколько порядков выше, чем в комплектах по математике традиционной школы. Вместе с тем следует отметить, что наряду с увеличением количества заданий способствующих формированию пространственных представлений младших школьников, в приведенных учебниках наблюдаются следующие тенденции:

• а) явное падение показателей от первого класса к третьему (с 16,6% до 7,4%) в учебниках Аргинской. Такое резкое снижение автора учебника к системе развития пространственного мышления младшего школьника представляется не соответствующим общим положениям системы развивающего обучения;
• б) в учебниках Н. Б. Истоминой рассматриваемые показатели представлены вдвое меньшими цифрами и также показывают падение интереса автора (с 8,5% в 1-м классе до 5,5% в 3-м классе) в системе развития пространственного мышления школьника.

Таким образом, приведенный выше анализ показывает, что плохое качество геометрических знаний младших школьников во многом обусловлено, как структурой соответствующих учебных пособий, так и слабым уровнем разработки самой проблемы. Для подтверждения данного вывода следует проанализировать также задания, отнесенные нами к «геометрии формы», с точки зрения его возможностей для формирования пространственного мышления ребенка. Для успешного развития пространственных представлений ребенок в начальной школе должен овладеть тремя типами оперирования пространственными образами: 1-й тип — преобразуется пространственное положение и не затрагивается структура образа (это различные перемещения); 2-й тип — преобразуется структура образа путем различных трансформаций (наложения, совмещения, перегруппировка составных частей, добавление или удаление элементов); 3-й тип — исходный образ преобразуется длительно и неоднократно, что приводит к изменению и структуры, и пространственного положения.

Характеризуя задания «геометрии формы» с точки зрения соответствия их приведенным типам, необходимо выделить из всех заданий те, которые можно назвать «заданиями на распознавание» — это те задания, которые не требуют ни самостоятельного создания пространственного образа, не оперирования образами, а, скорее всего, требуют от ребенка активизации образа памяти. Выделим также задания, построенные на оценке количественных свойств (треугольник, четырехугольник) или внешних характеристик формы (прямая и кривая) поскольку они являются в основном основополагающими для запаса «представлений памяти» и отражают объект почти в том виде, в каком он был дан для восприятия, следовательно, мало способствуют формированию пространственных представлений. Если же к этим двум группам добавить задания, знакомящие младших школьников с названиями и способами действий, то оставшиеся задания «геометрии формы» — именно те, которые формируют пространственные представления, распределятся по традиционным и альтернативным учебникам математики начальной школы следующим образом.

Таблица 2.

Анализ последней таблицы показывает, что авторы учебников не имели в виду формирование пространственных представлений школьников в процессе изучения элементов геометрии в младших классах ни в традиционной системе 1 — 3, ни в системе 1 — 4. практически совпадают цифры как по типам упражнений, так и по общему количеству этих упражнений за все годы обучения по обеим системам. В предлагаемых альтернативных учебниках упражнений на формирование и развитие пространственных представлений учащихся значительно больше. Однако при этом сравнение строк таблиц по вертикали показывает, что от 1-го к 3-му классу количество этих упражнений уменьшается или распределяется неравномерно, и особенно резко это происходит в учебниках И. И. Аргинской. При изучении же самих заданий в названных учебниках можно заметить, что из 29 заданий 2-го типа во втором классе и 11 заданий в третьем классе большинство являются упражнениями типа «переложи палочку» (22 во 2-м классе и 10 в 3-м классе). Эти упражнения, с одной стороны, имеют целью преобразование образа и способствуют в определенной мере развитию пространственных представлений, а с другой стороны — при их выполнении дети обычно действуют на чисто «перестановочном» уровне, не столько трансформируя образ, сколько просто перекладывая палочки в надежде получить нужный результат. Аналогичное заключение можно сделать об упражнениях 3-го типа в 3-м классе, которые на практике в основном выполняются на том же «перестановочном» уроне, методом проб, а не осознанных трансформаций образа. Следовательно, значительное, на первый взгляд, количество упражнений, направленных на формирование пространственных представлений, в большей части сводится к чисто манипулятивной деятельности, а не к оперированию пространственными образами.

Подводя итог сказанному, хочется отметить, что недостаточное качество геометрических знаний и пространственных представлений учащихся начальных классов есть результат, отражающий не столько ограниченные познавательные способности и возможности младших школьников, сколько недостатки, относящиеся к реализации содержания, преподносимого детям, к системе его изучения, реализованной в системе учебных пособий по математике как по традиционным программам, так и по приведенным альтернативным. Как показал анализ учебников, заданий на развитие пространственного мышления слишком мало, и они не дают возможности хорошо сформировать пространственное воображение.

Развитию пространственного мышления необходимо уделять больше внимания, чем это предусматривается в учебниках начальной школы.