Построение треугольника, пирамиды по координатам и использование векторной алгебры

Задание 1

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти:

1) длину стороны ВС;

2) уравнение линии ВС;

3) уравнение высоты, проведенной из точки А;

4) длину высоты, проведенной из точки А;

5)площадь треугольника АВС;

6) угол между сторонами ВА и ВС;

7) координаты точки N — середины стороны АС;

8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2: 3, считая от точки А.

Координаты треугольника: А (-5,3); В (4,6); С (8,4)

Решение:

1. Расстояние d между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны ВС

2. Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:

Найдем уравнение прямой ВС:

— уравнение прямой ВС.

3.Уравнение высоты, опущенной из вершины, А на прямую ВС Прямая проходящая через точку М0(х0; у0) и перпендикулярная прямой Ах + Ву + С=0 представляется уравнением

— уравнение прямой ВС. А (-5,3)

— уравнение искомой высоты АD.

4.АD. Расстояние d от точки М1(х1; у1) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:

Найдем длину высоты АD

А (-5, 3); - уравнение прямой ВС

5) Площадь треугольника найдем используя

6)Косинус угла между векторами находится по формуле:

Косинус угла б, образованного векторами и, равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей Найдем координаты векторов

Если даны точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), то координаты вектора находятся следующим образом:

Найдем угол между векторами и

7) N середина АС. Найдем ее координаты по формуле:

А (-5,3); В (4,6); С (8,4)

N (1,5; 3,5)

8)координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А.

М (-1,4; 4,2)

Сделаем чертеж:

Задание 2

По четырем заданным точкам построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) площадь грани А1А2А3;

4) объем пирамиды А1А2А3А4;

5) составить уравнение прямой А1А2;

6) уравнение плоскости А1А2А3.

Координаты пирамиды: А1 (2, -5, 3); А2 (3, 2, -5); А3 (5, 3, 2); А4 (-5, 3, 2)

Решение:

1) Расстояние d между точками М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), определяется по формуле:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

косинус угла между векторами находится по формуле:

Косинус угла б, образованного векторами и, равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей Найдем координаты векторов

Если даны точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), то координаты вектора находятся следующим образом:

Найдем угол между векторами

3) площадь грани А1А2А3:

А1 (2, -5, 3); А2 (3, 2, -5); А3 (5, 3, 2); А4 (-5, 3, 2)

то есть вектор векторного произведения имеет координаты (57; -23; -13).

4) объем пирамиды А1А2А3А4;

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах. Объем параллелепипеда найдем, используя смешанное произведение векторов:

5) составить уравнение прямой А1А2;

Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеет вид:

Найдем уравнение прямой А1А2:

— уравнение прямой А1А2.

6) уравнение плоскости А1А2А3. Уравнение плоскости проходящей через три точки М0(х0; у0; z0), М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеет вид:

— уравнение плоскости А1А2А3.

Задание 3

треугольник пирамида уравнение координата Даны уравнения линии r = r (?) в полярной системе координат. Требуется:

1)построить линию по точкам на промежутке от? = 0 до? = 2р с шагом, равным р/8;

2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью;

3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

Решение:

— эллипс с центром в т (2; 0) малой осью и большой осью

Задание 4

Даны два комплексных числа .

а) Записать их в тригонометрической форме и отметить полученные числа на комплексной плоскости;

б) Найти числа z1 + z2, z1 — z2, построить;

в) Найти z1•z2, z1 / z2, записать в тригонометрической и алгебраической формах, сравнить результаты;

г) Найти z13;

д) Найти 3vz2, построить.;

Решение:

Запишем число в тригонометрической форме:

Запишем число в тригонометрической форме:

Сложение комплексного числа:

Вычитание комплексного числа:

Умножение комплексного числа:

Разделить комплексное число (делимое) на комплексное число (делитель) — значит найти такое число (частное, которое при умножении на делитель даст делимое.

На практике удобно помножить и разделить на сопряженное к знаменателю.

Запишем число в тригонометрической форме:

Запишем число в тригонометрической форме:

Задание № 5

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Решение:

а) Вычислим предел подставив в него 5:

неопределенность.

Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формулам:

ах2 + bx + с = 0

ах2 + bx + с = а (х-х1)(х-х2)

Тогда получим:

Получаем:

б) Вычислим предел подставив в него ?:

— неопределенность.

Для устранения неопределенности разделим числитель и знаменатель на х2. Это можно сделать, так как значение дроби не изменится если ее числитель и знаменатель разделить на одно и тоже ненулевое число.

г) Вычислим предел, подставив в него 0:

— неопределенность Для устранения неопределенности применим формулы 1-го замечательного предела:

д) Вычислим предел подставив в него 0:

— неопределенность.

Для устранения неопределенности применим формулы 2-го замечательного предела:

Сделаем замену

Используя второй замечательный предел

Задание №6

Исследовать функцию на непрерывность:

Решение:

Функция f (x) — непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие условия:

1 при х = а функция f (x) имеет определенное значение b;

2 при х > а функция имеет предел, тоже равный b;

При нарушении хотябы одного из этих условий функция называется разрывной в т х = а.

— значит в т х = -1 функция имеет разрыв.

— значит в т х = 2 функция непрерывна.

Покажем это на графике:

Задание № 7

Найти производные функций:

Решение:

Задание № 8

Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке х0 = 2.

Решение:

Уравнение касательной к линии:

— уравнение касательной к графику функций в точке х=2.

Уравнение нормали имеет вид:

— уравнение нормали к графику функций в точке х=2.

Задание №9

Найти пределы функций, применяя правило Лопиталя.

Решение:

а) Вычислим предел, подставив в него 5:

неопределенность.

Воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности:

г) Вычислим предел подставив в него 0:

— неопределенность Воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности:

неопределенность Воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности:

Задача № 10

Исследуйте функцию и постройте ее график.

Решение.

1.Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, — т. е. операции сложения и возведения в натуральную степень — выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если, т. е. если. Таким образом, .

2)Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т. е. у=0:

— точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т. е. х=0:

— точка пересечения с осою ОУ.

3.Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f (-x) = f (x), то функция четная, если f (-x) = -f (x), то функция нечетная, при хD (y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная

4.Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .

Следовательно х=1 точка разрыва 2-го рода и х=1 — вертикальная асимптота.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид ,

где; .

В частности, получается, что если, а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

— уравнение горизонтальной асимптоты.

5.Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

Находим критические точки функции (т.е. внутренние точки области определения, в которых первая производная равна нулю или не существует).

Приравняем нулю найденную производную. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю. В числителе стоит произведение двух сомножителей, которое равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл.

Производная не существует, если ее знаменатель равен нулю. Это происходит при, но это значение аргумента не входит в область определения данной функции и поэтому не дает критической точки.

Таким образом, у нашей функции две критические точки: и .

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и от точки разрыва.

Найдем знак производной на каждом из интервалов. Для этого на интервале мы можем выбрать удобную для вычислений точку и найти в ней знак производной; тот же знак будет у нее на всем этом интервале.

Значит на промежутке [0; 1) функция возрастает, а на промежутке (; 0) и (1;) функция убывает.

Занесем полученные данные в таблицу:

— точка максимума.

6.Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого вычислим вторую производную данной функции:

х = -0,5 — точка подозрительная на перегиб Исследуем поведение функции справа и слева от точки подозрительной на перегиб и от т. х=1

Найдем координаты точки перегиба:

— координата точки перегиба.

Список использованной литературы

1.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991с.

2.Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 368с.

3.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509с.

4.Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464с.