Математические модели инвестиций в условиях ожидания кризиса

Актуальность темы

.

Одной из основных задач, возникающих в области корпоративных финансов, является оптимизация инвестиционной деятельности компании, в частности, оценка инвестиционных проектов. Началом научного обсуждения данной проблемы можно считать работы И. Фишера [1],[2]. В дальнейшем вопрос оценки инвестиционных проектов обсуждался Д. Хиршлейфером [3], P.M. Солоу [4], Д. Гейлом [5], Р. Дорфманом [6]. В этих работах предпринимались попытки найти универсальный показатель, рассчитываемый на основе потока платежей проекта, с помощью которого можно было бы осуществлять выбор инвестиционного проекта. Рассматривались в основном два показателя: NPV (net present value) — чистая приведенная стоимость денежных потокови IRR (internal rate of return), ставка дисконта, при которой NPV проекта обращается в ноль. Сторонники показателя NPV указывали на естественность критерия, его однозначность и простоту вычисления, критиковали показатель IRR на том основании, что, в общем случае, может существовать несколько ставок дисконта, обнуляющих NPV. Сторонники IRR критиковали показатель NPV, указывая на то, что процесс выбора ставки дисконта (определения временной стоимости денег), неоднозначен.

Концептуально иной подход был предложен в работе Д. Г. Кантора и С. А. Липмана [7]. Авторы поставили формальную математическую задачу оптимизации инвестиционной деятельности, в которой показатели NPV и IRR не использовались в явном виде как критерии оптимизации, а являлись лишь характеристиками действий инвестора, который максимизировал свой капитал к известному наперед моменту времени в условиях несовершенного рынка, когда нет возможности занимать средства и инвестиционная деятельность ведется за счет самофинансирования.

В модели Кантора-Липмана деятельность инвестора описывается в дискретном времени. Инвестиционный проект задается конечной последовательностью финансовых потоков: а = {а0, ••> аг}-> ~~ значение щ показывает величину чистого денежного поступления на текущий счет субъекта, реализующего проект, в момент времени i = 0,1,., г, г > 1 — длительность проекта. Положительные значения соответствуют доходам, отрицательные — расходам. Проект считается стационарным, т. е. его характеристики щ неизменны во времени и существует возможность реинвестирования получаемых доходов в инвестиционный проект. Проект может быть реализован с любой интенсивностью и > 0, чему будут соответствовать финансовые потоки: иа = {иао, иа,., иаг}. Горизонт планирования деятельности обозначается п. В модели делается предположение, что инвестиции разрешены в первые моментов п—г времени (горизонт инвестирования). Цель инвестора — максимизация остатка на расчетном счете к терминальному моменту времени. В таких обозначениях модель КантораЛипмапа выглядит следующим образом: г.

Sm = Зтп— 1 ~Ь ^ ] ЩЩп—i) г=0 s0 = 1 + а0и0, < Um > 0 771 = 0,1,., (П-Г), um = 0 m = (п — г + 1),., п, srn > 0 m = 0,1,., п, sn —max.

В рамках такой модели авторам удалось оценить темп роста капитала инвестора, тем самым однозначно определив IRR.

Теорема (Кантор-Липман). Обозначим: Vn = maxs" - функция выигрыша й горизонта п, д = lim {Vn)l/n — характеристика доходности проекта (IRR), г a (z) = ^ a>iZl — полином, соответствующий проекту. Если а{ 1) < 0, тогда г=О.

Vn = 1 для Vn. Если а{ 1) > О и a (z) не имеет корней на интервале (0,1), тогда существует конечное п: Vn = оо. Если а (1) > 0 и a (z) имеет корни на интервале (0,1), тогда существуют положительные константы Ai < Л2 такие, что:

Xi6~n/nh.

1) — кратность в, т. е. g = —. о.

Продолжая развивать свои идеи, Д. Г. Кантор и С. А. Липман публикуют работу [11], в которой предлагают подход к оценке доходности целого пула инвестиционных проектов. Результаты Кантора и Липмана показали, что на оценку инвестиционных проектов существенным образом влияют предположения о внешней среде (рынке), в рамках которой действует инвестор, и условия «выхода» из инвестиционной деятельности к терминальному моменту времени.

В работе И. М. Сонина [9] был предложен новый подход к задаче Кантора-Липмана: переход к новым фазовым переменным и применение аппарата динамического программирования. В рамках решения проблемы выхода из инвестиционной деятельности в работе вводится важное понятие — «ликвидное состояние». Это состояние, оказавшись в котором, инвестор может завершить уже начатые проекты только за счет собственных средств, т. е. не запуская новые проекты. В наиболее законченной форме результаты реализации такого подхода к задаче представлены в совместной работе И. М. Сонина и Э. Л. Пресмапа [10]. Авторы оценили возможные темпы роста капитала инвестора при увеличении инвестиционного горизонта, описали условия, при которых некоторый темп роста может быть реализован на траектории, приводящей в ликвидное состояние.

В работе В. З. Беленького [12] модель оценки инвестиционных проектов сводится к модели Неймана-Гейла, устанавливается связь между результатами Кантора и Липмана и условиями существования магистрали в модели Неймана-Гейла. В работе отдельно обсуждается «режим ликвидации» инвестиционной деятельности.

Актуальным является продолжение линии исследования инвестиционных проектов в рамках несовершенных рынков, начатой Кантором и Липманом, и в условиях ожидания кризиса. Во всех выше упомянутых работах исходной задачей инвестора являлась максимизация капитала к некоторому заранее известному терминальному моменту времени. То есть предполагалось, что рынок инвестиций стационарен, инвестиционные проекты доступны для запуска в любой момент времени, попадающий в инвестиционный горизонт. Однако в условиях современной российской экономики требование стационарности рынка инвестиций на большом горизонте времени оказывается слишком ограничительным. Актуальной является ситуация, когда момент завершения инвестиционной деятельности связан с кризисным явлением, точного момента наступления которого инвестор не знает, и инвестиционная деятельность ведется в рамках несовершенного рынка [8]. Родственные задачи возникают при оценке инвестиционных проектов в нефтяной отрасли. Такие проекты характеризуются большими капитальными затратами на ранних стадиях реализации и растянутостью во времени отдачи инвестиций, которую удобно задавать в непрерывном времени. Высокая волатильность нефтяных цен приводят к необходимости учитывать при оценке проектов кризисные ситуации, когда вследствие падения цен на нефть инвестиционные проекты становятся нерентабельны и стоимость заемных средств для нефтяных компаний сильно возрастает.

Цель работы состоит в изучении влияния терминальных условий, ожидания кризиса и условий ликвидности состояний инвестора на характер его инвестиционной деятельности. Применение этих подходов к задачам возникающим при оценке инвестиционных проектов в нефтяной отрасли.

Методы исследования.

Для решения поставленных задач использовались методы функционального анализа, теория экстремальных задач, динамического программирования, дискретной оптимизации, линейного программирования, динамических систем.

Научная новизна.

В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Проведен анализ влияния неопределенности в отношении терминального момента времени на инвестиционную деятельность агента в условиях несовершенного рынка. Предложены подходы к оценке темпа роста капитала для инвестора, использующего осторожную стратегию, гарантирующую неразорение.

2. Исследована модель инвестиционной деятельности в непрерывном времени, учитывающая предположения Кантора и Липмана.

3. Разработана технология, позволяющая прогнозировать основные производственные и финансовые показатели нефтяного сектора России, проводить сценарный анализ влияния мировых цен на нефть, внутренней макроэкономической ситуации на состояние нефтяного сектора, его инвестиционную активность.

Диссертация состоит из трех глав и приложения.

Первая глава посвящена описанию модифицированной модели Кантора-Липмана, исследованию влияния ожиданий кризиса агентом на оценку эффективности инвестиционных проектов. В параграфе 1.1. описана модифицированная модель Кантора-Липмана, в которой предполагается, что момент завершения инвестиционной деятельности связан с кризисным явлением. Точного момента наступления кризиса инвестор не знает, но может сделать субъективную оценку вероятности возникновения кризиса. Задача инвестора в такой модели сводится к решению уравнению Беллмана.

В параграфе 1.2. исследуется уравнение Беллмана для модифицированной модели Кантора-Липмана. Исследуется «осторожная» стратегия, при которой инвестор принимает решение, ориентируясь только на тот доход, который он сможет получить при условии, что кризис случится. Получены оценки вероятности возникновения кризиса, при которых оптимальной является осторожная стратегия.

В параграфе 1.3. исследуется вопрос оценки эффективности инвестиционных проектов агентом, который следует осторожной стратегии. Получены оценки сверху и снизу темпа роста капитала инвестора, показано, что ожидания кризиса существенным образом влияют на оценку эффективности инвестиционных проектов.

Во второй главе диссертации обсуждаются вопросы, связанные с моделированием инвестиций в непрерывном времени. В параграфе 2.1. исследуется непрерывный аналог модели Кантора-Липмана. Получен аналог результата Кантора-Липмана для непрерывного времени, который позволяет оценивать эффективность инвестиционных проектов с традиционной структурой платежей.

В параграфе 2.2. исследуется вопрос определения источника финансирования зафиксированной инвестиционной программы экономического агента. Для представленного описания финансовой деятельности экономического агента доказаны утверждения, которые говорят о том, что выбор источника финансирования зависит от соотношения ставки дисконта и «конечной» стоимости долга, где «конечная» стоимость долга зависит от процентной ставки, сложившейся на рынке займов, ставки налога на прибыль для агента и параметра ликвидности. Если ставка дисконта больше «конечной» стоимости долга, то для финансирования используется в первую очередь заемный капитал, если наоборот — нераспределенная прибыль. Для каждого из вариантов указаны объемы, в которых агенту, следует привлекать капитал.

Третья глава работы посвящена моделированию инвестиционной деятельности нефтяной отрасли России. В параграфе 3.1. описана модель вертикально интегрированной нефтяной компании. В модели с помощью аппарата булевого программирования описаны операционная, производственная и инвестиционная деятельности компании. Входные параметры модели можно разделить на два класса. Первый класс — это параметры самой компании: производственные характеристики ее мощностей, финансовые показатели, характеристики доступных инвестиционных проектов. Второй класс параметров — внешние по отношению к компании параметры: относительно небольшое количество макроэкономических параметров, мировые цены на нефть и параметры системы налогообложения. С помощью численного метода, представляющего собой вариант метода ветвей и границ, деятельность компании оптимизируется таким образом, чтобы максимизировать дисконтированную сумму распределяемой среди акционеров компании прибыли. При некоторых упрощающих предположениях, детально разобран механизм отбора и выбора времени запуска инвестиционных проектов нефтяной компании, влияние финансовых ограничений компании на ее инвестиционную деятельность.

В параграфе 3.2. представлена модель нефтяной отрасли России, которая была использована при системном анализе макроэкономики России. Деятельность нефтяной отрасли описывается в непрерывном времени, т. е. совершается переход аналогичный тому, что был сделан при составлении непрерывного аналога модели Кантора-Липмана. Для описания инвестиционной деятельности отрасли используются результаты, полученные при исследовании непрерывного аналога модели Кантора-Липмана и моделировании деятельности ВИНК. Модель основывается на подходах, которые были использованы во второй главе и параграфе 3.1.

В параграфе 3.3. описана система анализа и прогноза деятельности нефтяной отрасли. Система реализована на основе предложенного в.

параграфе 3.1. подхода к моделированию экономических процессов в нефтяной компании. Представлены примеры, иллюстрирующие прикладное значение системы, ее основные возможности:

• прогноз изменения нефтяных доходов бюджета при изменении макроэкономических условий;

• оценка влияния различных систем налогообложения на инвестиционную активность нефтяной отрасли;

• оценка влияния ожиданий кризиса на инвестиционную активность нефтяной отрасли.

В параграф П. 1. приложения включены доказательства лемм и теорем параграфа 1.3. В параграфе П. 2. изложена методика прогнозирования добычи нефти на месторождениях, которая применялась для составления прогноза добычи нефти в России при условии сохранения капитальных затрат на уровне 2008 г. В параграфе П.З. приведено описание программного комплекса, который использовался для расчетов из параграфа 3.3.

Заключение

.

В настоящей работе получены следующие основные результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Предложена модифицированная модель Кантора-Липмана, позволяющая оценить влияние ожидания кризиса на инвестиционную активность экономических агентов. В рамках модели задача инвестора сведена к уравнению Беллмана. Найдены достаточные условия, при которых оптимальной стратегией инвестирования является «осторожная» стратегия, гарантирующая неразорение при возникновении кризиса в любой момент времени. Получены оценки сверху и снизу темпа роста капитала инвестора при использовании осторожной стратегии. На основе расчетов показано, что ожидание кризиса существенным образом влияет на оценку эффективности инвестиционных проектов.

2. Для аналога модели Кантора-Липмана с непрерывным временем получен результат, позволяющий оценить доходность инвестиционных проектов с традиционной структурой платежей.

3. Для случая непрерывного времени сформулирована модель, в рамках которой решена задача о выборе источника и объеме финансирования зафиксированной инвестиционной программы экономического агента.

4. Построена модель нефтяной отрасли России, которая позволяет оценить влияние мировой конъюнктуры, государственной политики (например налогового регулирования), внутренних макроэкономических показателей на развитие отрасли. Получены оценки влияния мировых цен на нефть и обменного курса валюты на доходы бюджета. Исследовано влияние различных систем налогообложения на инвестиционную активность нефтяной отрасли.

Результаты диссертации опубликованы в восьми печатных работах, в том числе в одной монографии.