Построение экономико-математических моделей производства продукции

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово — экономический институт Контрольная работа по экономико-математическим методам и прикладным моделям Преподаватель: Князева И.В.

Калуга — 2008

Задача 1

Завод — производитель высококачественных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей — X и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч., а для производства одной детали типа Y — 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового материала. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y — 40 ден. ед.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Условие задачи кратко можно представить в таблице.

Составим экономико-математическую модель.

Обозначим через X, Y объем производства соответствующего типа продукции.

Целевая функция — это математическая запись критерия оптимальности, т. е. выражение, которое необходимо максимизировать f = =30X +40Y.

Ограничения по ресурсам:

X +2Y? 4000,

2X +5Y? 10 000,

5X +2Y? 10 000,

X? 2250,

Y? 1750,

5X +2Y? 10 000,

X? 600,

X +Y? 1500,

X, Y ?0.

Приравняем левые и правые части неравенств и построим графики функций:

X +2Y = 4000,

2X +5Y = 10 000,

5X +2Y = 10 000,

X = 2250,

Y = 1750,

5X +2Y = 10 000,

X = 600,

X +Y = 1500,

X, Y = 0.

Учитывая знаки неравенств, получили многоугольник решений — АBCDE.

Найдем значения целевой функции в каждой вершине многоугольника:

1) А (600; 900), f (A) = 30*600 + 40*900 = 54 000 ден. ед.

2) В (600; 1700), f (B) = 30*600 + 40*1700 = 86 000 ден. ед.

3) С (1500; 1250), f © = 30*1500 + 40*1250 = 95 000 ден. ед. — max

4) D (2000; 0), f (D) = 30*2000 + 40*0 = 60 000 ден. ед.

5) Е (1500; 0), f (E) = 30*1500 + 40*0 = 45 000 ден. ед. — min

Таким образом получаем результат: максимальное значение целевой функции равно 95 000 ден. ед., что соответствует точке С многоугольника решений. Такой доход будет достигнут при выпуске продукции типа X в количестве 1500 штук и продукции Y в количестве 1250 штук.

Решая данную задачу на минимум, получим противоположное, т. е. минимальное значение целевой функции (45 000 ден. ед. в точке Е, при выпуске продукции типа X в количестве 1500 штук и отсутствии выпуска продукции Y).

Решая задачу на минимум мы находим оптимальное значение целевой функции, позволяющей минимизировать себестоимость произведенной продукции. Решая обратную задачу (на максимум) мы находим оптимальное значение целевой функции, позволяющее максимизировать доход от продажи выпущенной продукции.

Задача 2

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

· определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

· оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно.

Решение:

1. Сформулируем прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Целевая функция будет иметь вид max f (x) = 8X₁ + 3X₂ + 2X₃ + X₄.

Ограничения целевой функции будут иметь вид:

2X₁ + X₂ + X₃ + 3X₄? 300,

X₁ + 2X₃ + 1X₄? 70,

X₁ + 2X₂ + X₃? 340,

X₁, X₂, X₃, X₄ ?0.

Найдем оптимальный план выпуска продукции с использованием программного обеспечение Microsoft Excel. Получаем оптимальный план: X = (70; 135; 0; 0).

2. Сформулируем двойственную задачу:

· если в исходной задаче неравенства имеют вид "? «, то в двойственной задаче неравенства будут иметь вид »? «;

· число неравенства в двойственной задаче равно числу переменных в целевой функции исходной задачи;

· если исходная задача на «max» двойственная будет на «min»;

· коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются правые части неравенств исходной задачи;

· матрица коэффициентов в ограничениях двойственной задачи транспонирована к матрице коэффициентов исходной задачи;

· свободные члены ограничений в двойственной задаче равны коэффициентам целевой функции исходной задачи.

Таким образом, двойственная задача будет иметь вид:

min g (y) = 300Y₁ + 70Y₂ + 340Y₃

Ограничения двойственной функции будут иметь вид:

2Y₁ + Y₂ + Y₃? 8,

Y₁ + 2Y₃? 3,

Y₁ + 2Y₂ + Y₃? 2,

3Y₁ + Y₂? 1,

Y₁, Y₂, Y₃?0.

Найдем оптимальный план двойственной задачи. Используя теоремы двойственности.

Подставим значения оптимального плана исходной целевой функции в исходные ограничения, получаем: X = (70; 135; 0; 0).

· 2*70 + 1*135 + 1*0 + 3*0 = 275 < 300 (удовлетворяет условию неравенства);

· 1*70 + 0*135 + 2*0 + 1*0 = 70 =70 (удовлетворяет условию равенства);

· 1*70 + 2*135 + 1*0 + 0*0 = 340 = 340 (удовлетворяет условию равенства);

· max f (x) = 8*70 +3*135 +2*0 + 1*0 = 965 ден. ед.

Вышеизложенные расчеты означают, что при оптимальном плане II и III виды оборудования (фрезерное и шлифовальное оборудование) используются полностью, т. е. по максимуму их производственных возможностей. I тип оборудования (токарное) используется не полностью, т. е. существует некоторое время простоя этого оборудования.

Из второй теоремы двойственности следует, что Y₁ = 0, т.к. первое ограничение в исходной задаче — строгое неравенство.

Второе и третье ограничения в исходной задаче являются строгими равенствами, таким образом приведем неравенства двойственной задачи к равенствам и решим систему уравнений.

Оптимальный план двойственной задачи равен: Y = (0; 13/2; 3/2).

Т.е. min g (y) = 300*0 + 70*13/2 + 340*3/2 = 965 ден. ед.

3. Поясним нулевые значения переменных в оптимальном плане.

В исходной задаче X₃ и X₄ равны нулю. Это означает, что для максимизации выручки от продажи продукции целесообразно не выпускать продукцию вида В и Г. Только в этом случаю будет достигнут максимум целевой исходной функции. Из исходных данных видно, что для производства этих двух видов продукции необходимо большой расход мощностей оборудования, а цена очень низкая. Именно поэтому не следует включать в план производства продукты вида В и Г.

4. Поясним нулевые значения двойственной задачи.

В двойственной задаче Y₁ = 0. Это означает, что в нашем случае первый вид оборудования (токарное) недефицитно, т. е. предприятие обладает достаточными мощностями по токарных станков для производства продукции.

Второй вид оборудования (фрезерное) более дефицитно, чем третий вид (шлифовальное оборудование), т.к. 13/2 > 3/2.

5. Определим, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа.

Используем теорему об оценках.

y₃ = 3/2, Дb₃ = 24, b₃ = 364,

ден. ед.

max f (x) = 965 + 36 = 1001 ден. ед.

Таким образом, общая выручка продукции увеличится на 36 ден. ед.

Найдем новый оптимальный план:

Подставим значения оптимального плана исходной целевой функции в исходные ограничения, получаем: X = (70; 135; 0; 0).

2*X₁ + 1*X₂ + 1*0 + 3*0 = 300;

1*X₁ + 0*X₂ + 2*0 + 1*0 = 70;

1*X₁ + 2*X₂ + 1*0 + 0*0 = 364.

X₁ = 70,

X₂ = 147.

Новый оптимальный план составит: X = (70; 147; 0; 0).

6. Оценим целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно.

Исходные данные запишем в таблице.

ден. ед.

Продукцию «Д» целесообразно включить в общий план выпуска продукции, т.к. выручка от реализации превысит общую себестоимость и тем самым будет получена прибыль в размере 5 ден. ед. за 1 единицу продукции.

Задача 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида, третье предприятие — продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки (I = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы, А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы, А = () (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятия холдинга.

экономическая математическая модель матрица

Решение

1. Проверим продуктивность матрицы, А (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

Запишем матрицу А:

Найдем значение матрицы (Е-А):

Найдем значение матрицы |E-A|:

Найдем значение матрицы (Е-А)':

Определим значения каждого элемента матрицы :

Таким образом получили матрицу :

Найдем матрицу В:

На основании вышеизложенного можно сделать вывод, о том, что матрица, А — продуктивна, т.к. матрица (Е-А)^-1 существует о больше нуля.

2. Построим баланс производства и распределения продукции предприятия холдинга. Найдем значение матрицы X:

Найдем элементы первого квадранта по формуле:

Условно чистую продукцию найдем по формуле:

Z₁ = 396 — (40 + 0 + 40) = 316,

Z₂ = 407 — (81 + 163 = 122) = 41,

Z₃ = 435 — (174 + 44 + 174) = 43.

Таким образом получаем баланс производства и распределения продукции предприятия холдинга.

Задача 4

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя (повариантного) приведен ниже в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель, параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Построить адаптивную модель Брауна

4. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S — критерия взять табулированные границы 2,7 — 3,7).

5. Оценить точность модели на основе использования средней ошибки аппроксимации.

6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для диагностики аномальных наблюдений разработаны различные критерии. Например, для всех или только подозреваемых в аномальности наблюдений вычисляем среднее значение и среднеквадратическое отклонение двух (или четырех) соседних с ними значений:

Y_cp(t) = (Y (t-1) + Y (t+1))/2, t=2,3…N-1;

S_y(t) =

Далее вычисляем величину h (t):

h (t) = (Y (t) — Y (t-1)) / S_y(t)

Если рассчитанная величина h (t) превышает табличный уровень (для трех наблюдений он равен 2,1), уровень Y (t) считается аномальным. Как видно из таблицы все значение h (t) ниже табличного, поэтому можно сделать вывод об отсутствии аномальных наблюдений.

2. Построим линейную модель

где а₀ и a₁ — параметры модели, а t =1, 2,…, n.

В результате получим так называемую систему нормальных уравнений:

Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, получим:

где, и — среднее значения, соответственно, моментов наблюдения и уровней ряда.

Параметры линейной модели будут соответственно равны:

Таким образом получена линейная модель. Параметр а₁=5 показывает, что при возрастании t на единицу, показатель Y_t = в среднем увеличивается на 2,6.

3. Построим модель Брауна.

Расчетное значение в момент времени получается по формуле

Y_p(t) = a₀(t — 1) + a₁(t — 1) k (5.3.1)

где k — количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза E (t) = Y (f) — Y_p(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

где в — коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1 в зависимости от значения б (б = 0,4 или б = 0,7).

Рассмотрим модель Брауна со значением б = 0,4.

Рассмотрим модель Брауна со значением б = 0,7

Как видно из вышеизложенных расчетов модель Брауна со значением б = 0,4 лучше приближает опытные данные, так как сумма отклонений расчетных данных от реальных величин гораздо меньше. Проиллюстрируем на графике вышеуказанные расчеты.

Как видно из графика, выводы сделанные по результатам построения двух моделей Брауна подтверждены графически.

4. Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Построим расчетную таблицу.

Для проверки условия случайности возникновении отдельных отклонений от тренда часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена, т. е.

Если е_t-1 < е_t > е_t+1, если е_t-1 >е_t < е_t+1, тогда р=1.

Если е_t-1 < е_t < е_t+1, если е_t-1 >е_t > е_t+1, тогда р=0.

Существует определенная зависимость между средней арифметической, дисперсией; количества поворотных точек р и числом членов исходного ряда наблюдений n. В случайной выборке средняя арифметическая (математическое ожидание) числа поворотных точек равна, а их дисперсия вычисляется по формуле. Учитывая эти соотношения, критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как

где р — фактическое количество поворотных точек в случайном ряду.

В нашем случае n=9, р=6. Подставляем данные значения в формулу и получаем 6 > 2 — неравенство выполняется, таким образом свойство случайности уровня остатков ряда выполняется.

Наличие (отсутствие) автокорреляции проще всего проверить с помощью критерия Дарвина—Уотсона. С этой целью строится статистика Дарвина— Уотсона (d-статистика), в основе которой лежит расчетная формула:

.

Сравним полученное значение с верхним и нижним критическим значением (d₁ = 1,08, d₂ = 1,36). Таким образом получили d₁ < d < d₂ — область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции.

Соответствие рада остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S-критерия:

R/S = (е_max — е_min)/S

где е_max и е_min — максимальный и минимальный уровни рада остатков соответственно;

S — среднеквадратическое отклонение.

.

R/S = (3,7 — (-2,3)) / 2,6 = 2,3 < 2,7, т.к.

расчетное значение R/S критерия не попадает между табличными границами (2,7; 3,7), то уровни ряда остатков не подчиняются закону нормального распределения.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации найдем по формуле:

Средняя относительная ошибка аппроксимации не превосходит 15% - точность модели считается приемлемой.

Из вышеизложенного можно сделать вывод о том, что так как не выполняются все условия адекватности, выбранная трендовая модель не является адекватной реальному раду экономической динамики.

Построим точечный прогноз по формуле:

Построим интервальный прогноз по формуле (, т.к. Р=70%):

Таким образом, с вероятностью 70% можно утверждать, что:

— прогнозируемая величина Y₁₀ будет находится в интервале от 63,93 до 70,67;

— прогнозируемая величина Y₁₁ будет находится в интервале от 68,73 до 75,87.

Изобразим графически выполненные расчеты.

Из графика видно, что построенная линейная модель достаточно хорошо приближает опытные данные.