Понятие вариационного ряда

Математическая статистика занимается изучением закономерностей, которым подчиняются массовые явления, на основе результатов наблюдений.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Математическая статистика позволяет обосновать ответ на вопросы: о случайности и закономерности изучаемого явления, как зависит результативный признак от факторного (как зависит доходность акций от уровня инфляции, при прочих равных условиях), сколько необходимо провести наблюдений для объективного суждения об изучаемом явлении, какой фактор сильнее влияет на результат. Методы математической статистики можно разделить на описательные и аналитические.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений за случайными процессами или в результате специально поставленных экспериментов, описать реальные наблюдения с помощью таблиц, графиков, числовых характеристик и т. д.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования, т. е.:

• а) оценка неизвестной вероятности события, оценка неизвестной функции распределения, оценка параметров распределения, вид которого известен, оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;
• б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Аналитические методы позволяют на основании выборочных наблюдений сделать статистически значимые выводы о наличии закономерностей для всей совокупности.

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Исходным материалом всякого статистического исследования является совокупность результатов наблюдения, представляющая собой первичный статистический материал. Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера, называется объектом наблюдения.

Всякий объект статистического наблюдения состоит из отдельных элементов — единиц наблюдения.

Результаты статистического наблюдения представляют собой числовую информацию — данные.

Статистические данные — это сведения о том, какие значения принял интересующий исследователя признак в статистической совокупности.

Значение признака при переходе от одного элемента к другому изменяются (варьируют), поэтому в статистике различные значения признака называют вариантами, а совокупность признака, расположенного в порядке возрастания или убывания — вариационным рядом.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным — контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е., обследуют каждый из объектов совокупности относительно признак, которым интересуются. На практике сплошное обследование очень часто провести невозможно. В таких случаях случайно отбирают ограниченное число объектов из всей совокупности и подвергают их изучению.

Основные понятия, связанные с выборками.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка. Понятие генеральной совокупности связано с понятием полного поля элементарных событий. Это поле может быть конечным или бесконечным.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число её объектов.

N — V — это генеральной совокупности;

n — V — это выборочной совокупности.

N > n.

При составлении выборки объект после проведенного исследования может быть возвращен, а может быть не возвращен в генеральную совокупность.

Повторной называется выборка, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называется выборка, при которой объект перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность.

Чтобы по результатам выборки можно было охарактеризовать генеральную совокупность выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Вариационные (статистические) ряды.

Пусть из генеральной совокупности сделана выборка Vn для обследования. Причем х1 наблюдалось п1 раз, х2 и п2 раз, также в хk, nk раз и Упi.

Наблюдаемые значения хi (х1, х2,…, хk) называют вариантами.

Числа наблюдений пi (п1, п2,…, nk) называют частотами вариант.

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют ранжированным вариационным рядом.

Относительной частотой называют отношение частоты выборки к объему выборки. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им относительных частот:

Пример: В группе из 27 человек на экзамене получили следующие оценки «5» — 3, «4» — 6, «3» — 10, «2» — 8:

Статистическое распределение частот (п = 27):

Статистическое распределение относительных частот:

Вариационный ряд может быть дискретным и непрерывным.

Вариационный ряд называется дискретным, если любые варианты отличаются на постоянную величину.

Варианты, которые отличаются один от другого на сколь угодно малую величину, образуют непрерывный вариационный ряд.

Замечание: Если число различных значений хi велико или является непрерывной случайной величиной, то составляют интервальное распределение выборки, т. е., множество всех значений разбивают на интервалы одной длины (k — ширина интервала). Ширину интервала можно вычислить по формуле:

Где:

п — число вариант.

Затем подсчитывают число вариант, попавших в каждый из интервалов, и составляют статистическое распределение: