Расчет конденсации одномерного газа в различных условиях

1. Для числа одинаковых частиц N = 100 рассчитайте распределение температуры в системе в различные моменты времени. Определите участки цепочки, на которых происходит конденсация.

В расчетах принимайте r01 = r0 = 210−10 м, m1 = m = 12 атомных единиц массы, m2 = 120 атомных единиц массы, 1 = = 3,210−21 Дж, 2 = 1,110−21 Дж.

Решение Исследование физических процессов в реальных газах может проводиться на модели попарного взаимодействия молекул, определяемого потенциалом Леонарда — Джонса:

.

где — постоянная, характеризующая свойства взаимодействующих молекул, r — расстояние между молекулами, r0 — молекулярный радиус.

Рассмотрим линейную цепочку N молекул, расстояние между центрами соседних молекул составляет 50r0, то потенциальная энергия частиц будет не велика, а кинетическая энергия будет в тысячи раз больше и длина свободного пробега будет велика.

Если газ будет охлаждаться, межмолекулярные силы будут увеличиваться (потенциал Леонарда — Джонса), а кинетическая энергия убывать и наступит момент, когда они сравняются, то можно говорить о переходе молекул из газообразного в жидкое состояние (это своеобразная точка росы).

Анализируя функцию Леонарда — Джонса, ее экстремальное значение, можно наглядно увидеть процесс конденсации.

Время процесса охлаждения, зависит от мощности охлаждающего элемента.

Исследуя поставленные задачи, будут выведены величины кинетических и потенциальных энергий, построены их графики:

Рис. 1.

Момент пересечения графиков уменьшающейся кинетической и увеличивающейся потенциальной энергий будет характеризовать момент перехода той молекул из газообразного в жидкое состояние.

Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной температуры Т. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла.

Если одновременно измерить скорости большого числа N молекул газа и выделить некоторый малый интервал скоростей от V до V+ДV, то в выделенный интервал ДV попадает некоторое число N молекул. На графике удобно изображать зависимость величины (ДN/ ДV от скорости V).

Рис. 2. График вероятности скорости

При достаточно большом числе N эта зависимость изображается плавной кривой, имеющей максимум при:

V=Vнаив= (- наиболее вероятная скорость). (1).

Здесь m — масса молекулы, k= 1,38 *10 -23Дж/К — постоянная Больцмана.

Характерным параметром распределения Максвелла является так называемая среднеквадратичная скорость, где означает среднее значение квадрата скорости.

В молекулярной физике доказывается, что:

=, (2).

где м — молярная масса.

Из выражения для среднеквадратичной скорости следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа есть:

= (3).

Распределение Максвелла является одной из важнейших статистических закономерностей молекулярной физики.

Из выражения (3) находим температуры Т1:

T1 = (4).

Энергия системы с течением времени t уменьшается в среднем на 20%, т.к. от одной стенке частицы получают 30%, а другой отдает 10%.

С учетом потери энергия составит:

=0,8*= 0,8* 3,210−21== 2,5610−22 Дж. (5).

Температура газа упадет до величины:

Т11 = Т1*0,8=770*0,8=1230 K.

С учетом массы m=12 а.е.м.=12*1,67E-27=2,00E-26 кг, k=1,38E-23.

Максимальная скорость частицы изменится от:

=398,84 м/с до = 369,25 м/с (6).

Рассмотрим линейную цепочку N молекул, расстояние между центрами соседних молекул составляет 50r0. Все молекулы в начальный момент времени имеют кинетическую энергию. Направления скоростей движения молекул (знак проекции скорости на ось цепочки) выбираются равномерно случайно.

Пусть цепочка расположена между стенками. В начальный момент времени расстояние от крайних молекул до стенок равно 50r0.

С учетом межмолекулярного расстояния r=25*r0, одна молекула занимает объем:

V=(4/3)р (r0)3==(4/3) *3,14(50*2*10−10)3=3*10−29м3.

Концентрация молекул:

n=N/V=3*10+28 1/м3.

Среднее расстояние между молекулами, рассчитаем исходя от размеров молекул r01=r0 =2*10−10м и длины пробега.

Тогда: d=25r=2*10−8м; d2=1,25*10−25м2.

= 3,0*10−10 м (7).

Время пробега частицы определим из формулы:

t1 = л/v = 7,41*10−13=74,1пкс. (8).

Время полного пробега 1000 частиц (передачи энергии) составит:

t= t1*1000=74,1 мкс физический кинетический молекулярный Строим диаграмму:

Рис. 3. График изменения температуры

С течением времени в разных частях цепочки соотношение между средними значениями кинетической и потенциальной энергий может изменяться. При устойчивом уменьшении среднего расстояния до величины порядка r0 между молекулами в группе из N/10 молекул и примерно равных средних значениях кинетической и потенциальной энергий можно говорить о переходе этой группы молекул из газообразного в жидкое состояние.

Этот процесс будет наблюдаться на расстоянии r соизмеримом с молекулярным.

Так приняв начальное межмолекулярное расстояние r = 2 r0 =2*210−10 м = 4*10−10 м, с помощью электронной таблицы EXCEL рассчитаем потенциал взаимодействия в зависимости от расстояния между частицами.

Из уравнения потенциала Леонарда — Джонса:

(9).

для указанных начальных значений U® = -3,1E-12, уменьшая межмолекулярное расстояние, проводим расчет.

Таблица 1. Расчет потенциала Леонарда-Джонса от расстояния частиц.

Используя (Таблица 1) и строим график 4.

Рис. 4. График взаимодействия частиц

Как показывает график, максимальный потенциал взаимодействия наступает на расстоянии r=r0/0,89 или r=1,124*r0=2,248E-10=0,225нм Аналитический расчет функции ц на экстремум, приводит к точке:

(10).

Или, rэ=1,124*r0=2,248*10−10м=0,225нм, что подтверждает полученная таблица и график взаимодействия частиц.

Проведем расчет зависимости кинетической энергии частиц в зависимости от температуры и построим график.

Таблица 2. Изменение кинетической энергии частиц.

Рис 5. График изменения энергии кинетической энергии от температуры

Сравниваем значения изменения потенциальной энергии взаимодействия частиц (таблица 1) и кинетической энергии движения (таблица 2), замечаем, что в следствии, теплоотдачи газа энергии и скорость частиц постепенно падает, а расстояние между ними уменьшается и увеличивается потенциальная энергия взаимодействия.

В определенный момент эти энергии становятся равными, и наступит конденсация.

В нашем случае U®= Е=4,2 10−22 Дж произойдет при температуре газа T=20,3К0, скорости частиц V=205 м/с и расстоянии между молекулами r=1,4r0=2,8 *10 -10 м.

Конденсация наступит вблизи холодной стенки теплоотдачи.

Рис. 6.

2. Для цепочки, состоящей из двух частей: левой полуцепочки из N1 = 50 молекул массой m1, радиусом r01 и имеющих значение постоянной 1, и правой полуцепочки из N2 = 50 молекул массой m2 и радиусом r02 и имеющих значение постоянной 2, получите температуры в системе в различные моменты времени. Определите участки цепочки, на которых происходит конденсация.

В расчетах принимайте r01 = r0 = 210−10 м, m1 = m = 12 атомных единиц массы, m2 = 120 атомных единиц массы, 1 = = 3,210−21 Дж, 2 = 1,110−21 Дж.

Решение Первая, левая часть цепочки с N=50 такая же, как и предыдущая, поэтому все расчеты сохраняются:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа есть:

=.

Распределение Максвелла является одной из важнейших статистических закономерностей молекулярной физики.

Из выражения (3) находим температуры Т1:

T1 = (11).

Энергия системы с течением времени t уменьшается в среднем на 20%, т.к. от одной стенке частицы получают 30%, а другой отдает 10%.

С учетом потери энергия составит:

=0,8*= 0,8* 3,210−21== 2,5610−22 Дж.

Температура газа упадет до величины:

Т11 = Т1*0,8=770*0,8=1230 K.

С учетом массы m=12 а.е.м.=12*1,67E-27=2,00E-26 кг, k=1,38E-23.

Максимальная скорость частицы изменится от:

=398,84 м/с до = 369,25 м/с (12).

V=(4/3)р (r0)3==(4/3) *3,14(50*2*10−10)3=3*10−29м3.

Концентрация молекул:

n=N/V=3*10+28 1/м3.

Средне расстояние между молекулами, рассчитаем исходя от размеров молекул r01=r0 =2*10−10м и длины пробега.

Тогда: d=25r=2*10−8м; d2=1,25*10−25 м2.

= 3,0*10−10 м (13).

Время пробега частицы определим из формулы:

t1 = л/v = 7,41*10−13=74,1пкс.

Время полного пробега 500 частиц (передачи энергии) составит:

t= t1*500=37 мкс (14).

Аналогично, для цепочки частиц m2 находим.

Для частиц:

m2 =10 m1 =10*2,00E-26 кг =2,00E-25 кг, r02 =4,310−10 м, С учетом межмолекулярного расстояния r2=25r02=25*4,3*10−10.

одна молекула занимает объем:

V=(4/3)р (25r02)3==(4/3) *3,14(25*4,3*10−10)3=5E-24м3 (15).

Концентрация молекул:

n=N/V=2E+23 1/м3.

= 2,8E-10 м (16).

Время пробега частицы определим из формулы:

t2' = л/v = 7,06E-13с=70,6 пкс (17).

Время полного пробега 500 частиц (передачи энергии) составит:

t2*500=35,3 мкc.

Время полного пробега всей цепочки составит:

t=t1+t2=37,5 +35,3=72,8 мкс С учетом массы m2=120 а.е.м.= 2,00E-25 кг, k=1,38E-23.

Максимальная скорость частицы изменится от:

= 105м/с до =105*0,9=95 м/с (18).

Характер изменения потенциального взаимодействия частиц m2 остается прежним, т.к. он зависит только от отношения r0/r (Таблица 3).

Температура и кинетическая энергия частиц изменится, т.к. m2/m1 =10,.

T2 = (19).

Используя формулы:

=, ,.

Строим таблицы и графики изменения температуры, энергии и скорости частиц представлены ниже.

Таблица 3. Изменения температуры, энергии и скорости частицы m2.

Рис 7. График изменения кинетической энергии частицы m2 от температуры

Анализ графиков и таблиц показывает начало конденсации, условие Ек=U®, наступит после 500K, где Е=7*10−33, скорость частиц V<105 м/с.

Как было сказано во введении, процесс охлаждения газа зависит от мощности охлаждающего устройства:

.

где Е — отводимая энергия, Р — мощность охлаждающего устройства.

Так как мощность Р не задана, то полное время конденсации определим через пропорциональности отношения потенциалов к длине свободного пробега, где r1=50 r0, r2 — расстояние конденсации, к отношению времени свободного пробега частиц начале и в момент конденсации, тогда:

U (r1)=5*10−29 а время пробега составляла t0=7,40E-11, когда началась конденсация U (r2)=8*10−22 решая пропорцию, находим время t=1,18*10−03c =1,18 мс.

Рис. 8. График изменения кинетической энергии частицы от времени

Так как правая цепочка с массой m/2 имеет ниже скорость, то конденсация начнется с правой половины.