Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка.

L (y)? y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n — 1)} + … + a_{n — 1} y ' + a_n y = f (x), (12.1).

где коэффициенты a₁, a₂, …, a_n суть действительные числа, а правая часть f (x) непрерывна в некотором интервале (a, b) (a? — ?, b? + ?).

Так как интегрирование неоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородного уравнения.

L (y)? y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n — 1)} + … + a_{n — 1} y ' + a_n y = 0. (12.2).

Для нахождения общего решения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Так как коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны при всех значениях x, то согласно теореме Пикара и все решения уравнения (12.2).

L (y)? y (n) + a1 y (n — 1) + … + an — 1 y ' + an y = 0.

определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать ни интервал существования частных решений, ни область задания общего решения.

Эйлер доказал, что для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно построить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций, и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях. Ниже это утверждение доказывается для уравнения второго порядка и распространяется на уравнение n-го порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка.

L (y)? y '' + py ' + qy = 0, (12.3).

где p и q — действительные числа. Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (12.3).

L (y)? y '' + py ' + qy = 0 в виде.

y = eлx, (12.4).

где л — подлежащее определению число (действительное или комплексное). Согласно определению решения функция (12.4).

y = eлx.

будет решением уравнения (12.3).

L (y)? y '' + py ' + qy = 0,.

если л выбрано так, что функция (12.4)y = eлx обращает это уравнение в тождество.

L (eлx)? 0. (12.5).

Вычисляя L (eлx), т. е. подставляя функцию (12.4)y = eлx в левую часть уравнения (12.3).

L (y)? y '' + py ' + qy = 0.

и принимая во внимание, что.

(eлx)(k) = лk eлx, (12.6).

будем иметь.

L (e^лx) = (e^лx)'' + p (e^лx)' + q (e^лx) = (л² + pл + q) e^лx,.

так что.

L (e^лx) = (л² + pл + q) e^лx (12.7).

или.

L (e^лx) = P (л)e^лx,.

где.

P (л) = л² + pл + q.

л² + pл + q = 0. (12.8).

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами уравнения (12.3).

L (y)? y '' + py ' + qy = 0.

Заметим, что характеристическое уравнение (12.8).

л2 + pл + q = 0.

может быть составлено по данному дифференциальному уравнению (12.3).

L (y)? y '' + py ' + qy = 0.

заменой y '', y ' и y на л2, л и 1, т. е. степень л совпадает с порядком производной, если условиться считать, что производная нулевого порядка от функции есть сама функция y (0)? y.

Структура фундаментальной системы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (12.3).

L (y)? y '' + py ' + qy = 0.

зависит от вида корней характеристического уравнения (12.8).

л2 + pл + q = 0.