Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий

Во многих задачах управления сложными процессами и объектами нам приходится сталкиваться с проблемой принятия решений при выполнении операций в условиях неопределенности. Неопределенными могут быть как условия выполнения операции, так и сознательные действия конкурентов или других лиц, от которых зависит успех операции. Кроме того, неопределенность в той или иной степени может относиться также и к целям (задачам) операции, успех которой далеко не всегда может быть исчерпывающим образом охарактеризован одним единственным числом — интегральным показателем эффективности. В машиностроении подобные ситуации возникают при планировании развития производства, рассмотрении альтернативных вариантов выбора технологий, оборудования, материала, анализе эффективности работы.

В этом плане к числу наиболее эффективных методов принятия решений в сложных ситуациях относится метод анализа иерархий (МАИ), предложенный американским ученым Т. Саати. Данный метод опирается на декомпозицию сложной проблемы на ее более простые составляющие части и дальнейшую математическую обработку (моделирование) последовательности суждений лиц, принимающих решения (ЛПР), которые формируются в виде совокупности парных сравнений.

В рамках МАИ на первом этапе решения проблемы образуется доминантная иерархия, формируемой начиная с вершины (цели — с точки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии или факторы, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно определяет перечень альтернатив, подлежащих выбору). Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня функционирует как критерий для всех элементов нижестоящего уровня.

Рассмотрим простой пример, наглядно иллюстрирующий формирование иерархии при реализации МАИ.

Выбрать заготовку по 8-ми критериям для изготовления корпусных деталей. На выбор даётся три заготовки: отливка, поковка, штамповка. Критерии: шероховатость, волнистость, твердость поверхностного слоя, припуск, форма, стоимость, материал и технологические возможности. Соответствующая нисходящая иерархическая декомпозиция представлена на рис. 1.

После иерархического воспроизведения проблемы реализуется второй этап — установления приоритетов для критериев и оценка альтернатив в соответствии с принципом дискриминации и сравнительных суждений. Проводится опрос лиц принимающих решения (ЛПР) или экспертов. В МАИ элементы проблемы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», «интенсивности») на общую для них характеристику. Очевидно, что установление важности элементов при попарном сравнении есть отражение способности человека к высказыванию относительных (сравнительных) суждений притом, что он обычно затрудняется сразу оценить многоаспектную проблему в целом.

Другой пример выстраивания иерархии для решения сложной проблемы представлен на рис. 2.

Пусть — множество элементов некоторого уровня иерархии и абсолютные веса или интенсивности этих элементов, которые нам неизвестны заранее. В рамках МАИ с участием ЛПР формируется матрица попарных сравнений элементов на основе субъективных суждений, численно оцениваемых по определенной шкале. На основе выраженных численно результатов попарных сравнений потом решается задача нахождения абсолютных весов. В идеале, при полной согласованности суждений матрица попарных сравнений имеет вид рис. 3.

Матрица является квадратной и обладает свойством обратной симметричности:

.

.

Рис. 1. Формирование иерархии при решении проблемы «выбор материала»

Реально получаемые матрицы сравнений при опросе людей не всегда являются полностью согласованными, то есть структура матрицы, представленная на рис. 3, нарушается.

Когда проблема представлена иерархически, матрица попарных сравнений составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели управления.

Затем подобные матрицы строятся для парных сравнений альтернатив по отношению к каждому из критериев второго уровня.

Матрица составляется, если записать сравниваемую цель (или критерий) вверху и перечислять сравниваемые элементы слева и сверху. В примере, связанном с выбором оборудования, требуется сформировать девять матриц: одну для второго уровня и восемь — для третьего уровня (по числу введенных критериев второго уровня).

Рис. 2. Матрица попарных сравнений при согласованности суждений

Для проведения субъективных парных сравнений разработана шкала относительной важности, представленная в таблице 1.

Таблица 1.

Шкала относительной важности.

Таким образом, значение элемента матрицы, равное 5, означает, чтоый элемент (критерий, альтернатива) имеет существенное превосходство надым элементом и, напротив, важность (приоритетность) -го элемента по отношению кму составляет всего .

В таблицах 2 и 3 приведены примеры заполнения матриц попарных сравнений, формируемых при решении проблемы «выбор оборудования».

Для того, чтобы понять суждения участников дадим краткое описание заготовок.

Отливка. Самая большая шероховатость, волнистость низкая, повышенной твёрдостью поверхностного слоя, большими величинами припусков на обработку, высокой стоимостью, самая лучшая форма, самый большой выбор материалов, большие технологические возможности.

Поковка

Средняя шероховатость, большая волнистость, повышенной твёрдостью поверхностного слоя, большими величинами припусков на обработку, низкая стоимостью, плохая форма, худший выбор материалов, большие технологические возможности.

Штамповка. Самая низкая шероховатость, волнистость низкая, достаточная твёрдость поверхностного слоя, малыми величинами припусков на обработку, самая высокая стоимостью, хорошая форма, большой выбор материалов, большие технологические возможности.

Выбор материала: матрица попарных сравнений для уровня 2.

После формирования матриц попарных суждений наступает третий этап окончательного определения (синтеза) приоритетов, обеспечивающих получение осмысленных решений в рамках проблемы многокритериального планирования.

Выбор оборудования: матрицы попарных сравнений.

Определим геометрическое среднее элементов строк полностью согласованной матрицы попарных сравнений А, представленной на рис. 3.

. (1.1).

После нормализации вектора получаются компоненты вектора приоритетов.

. (1.2).

моделирование решение неопределенность Если теперь умножить матрицу на вектор, то получим.

. (1.3).

Приведенные соотношения (1.1), (1.3) означают, что в случае полной согласованности попарных суждений, что выполняются для матрицы, имеющей приведенный на рис. 3 вид, проводимые вычисления восстанавливают истинные веса элементов по результатам попарных сравнений. Это позволяет оценить степень их важности в целом. Полная согласованность попарных сравнений означает, что элементы матрицы удовлетворяют уравнению .

Как уже отмечалось, получаемые на практике матрицы попарных сравнений не являются согласованными. Поэтому требуется оценить степень согласованности высказанных суждений. Полученные соотношения (1.1) — (1.3) определяют возможность подобной оценки степени согласованности суждений для любой обратносимметричной матрицы. Действительно, как следует из соотношения (1.3) для полностью согласованной матрицы, величина играет роль собственного числа, соответствующего собственному вектору. В общем же случае для любой обратносимметричной матрицы величина наибольшего собственного числа удовлетворяет неравенству.

.

Поэтому величина.

в МАИ используется в качестве индекса согласованности. Кроме того, вводится отношение согласованности.

.

где индекс согласованности, получаемый при усреднении множества данных для матриц попарных сравнений при случайном равновероятном (то есть полностью неосмысленном) выборе количественных значений суждений из шкалы 1/10, 1/9,…, 9, 10, но с сохранением свойства обратной симметрии.

Таблица 4.

Индекс согласованности при случайной оценке сравнений.

Значения приведены в табл. 4. Величина считается приемлемой, если она имеет значения порядка 20% и менее. Если выходит из этих пределов, то можно рекомендовать лицам, формулирующим суждения, пересмотреть их с использованием дополнительной информации. В таблицах 2, 3 приведены значения, ,, соответствующие попарным оценкам, также приведенным в этих таблицах для данной конкретной задачи.

Таким образом, чтобы оценить степень согласованности реально получаемых в ходе опроса матриц попарных сравнений требуется рассчитать ИС, ОС на основе определения величины по следующим формулам:

, (1.4).

.

.

.

где исследуемая матрица. Выражения (1.4) по сути повторяют цепочку выражений (1.1) — (1.3), проводимых для согласованной матрицы .

После того как, возможно и не с первого раза, получены достаточно согласованные оценки на различных уровнях и их локальные приоритеты, в МАИ осуществляется синтез глобальных приоритетов. Для этого по каждойой альтернативе вычисляется величина.

(1.5).

где компонент вектора локальных приоритетов дляой альтернативы третьего (нижнего) уровня относительного критерия верхнего (второго на рис. 1) уровня; компонент вектора приоритетов критериев второго уровня;, количество элементов, выделенных в иерархии на втором и третьем уровнях.

В таблице 5 приведены итоговые результаты определения приоритетов выбора для различных уровней и полученные глобальные приоритеты, поясняющие смысл формул (1.4), (1.5).

Матрица глобальных приоритетов.

Например, для числовых значений, приведенных в табл. 5, глобальный приоритет отливки вычисляется как.

.

При проведении оценок следует иметь в виду все сравниваемые элементы, чтобы сравнения были релевантными. Нетрудно убедиться в том, что для проведения обоснованных сравнений не следует рассматривать более, чем 7…9 элементов. В таком случае маленькая погрешность в каждой относительной величине меняет ее не очень значительно.

В некоторых задачах при формировании оценок попарных суждений следует учитывать совокупное мнение группы независимых участников опроса. В этом случае каждая оценка формируется как геометрическое среднее мнений участников:

.

где — мнения участников опроса.

Заготовка отливка была использована для изготовления корпусных деталей, так как она имеет наивысший приоритет, тогда как поковка и штамповка имеют приоритеты и .