Методы поиска корней уравнения

• 1. Теоритическая часть.
• а) Процедура отделения корней:

Отделение корней произведём графически. Для этого построим график функции y=2x sinx — cosx.

Анализируя полученное изображение графика, можно утверждать, что два наименьших положительных корня и, уравнения y=2x sinx — cosx, находятся в интервалах (0,5;1) и (3;3,5) соответственно.

• б) Обоснование сходимости для уравнения y=2x sinx — cosx:
• в) Итерационные формулы, использованные в методе:
• г) Погрешность метода:
  • 2. Результаты расчётов.
• а) Программа расчётов (на языке C++):

Алгоритмы:

Для возрастающего участка функции:

Вводим =a, =b и. Точкой.

[],[,]. Если f ()0, то выбираем [] и положим и .)/2 и снова получаем 2 отрезка. В итоге, получаем совокупность вложенных отрезков:

[], []… [], где n=1,2… — количество итераций.

=)/. Положить X =)/2.

Для убывающего участка функции:

Вводим =a, =b и. Точкой.

[],[,]. Если f ()>0, то выбираем [,] и положим и. Если f ()<0, то выбираем [] и положим и .)/2 и снова получаем 2 отрезка. В итоге, получаем совокупность вложенных отрезков:

[], []… [], где n=1,2… — количество итераций.

=)/. Положить X =)/2.

Условия выхода:

| - |<=E.

Программный алгоритм метода деления отрезка пополам:

Дан сегмент [A, B], содержащий корень уравнения f (x), и epsilon=. Найти X.

Вводим a=A и b=B. Если f (a)epsilon.

Повторять: c=(a+b)/2 и если f (c)=0, то X=f (c); иначе если f (c)0, то b=c. Положить X=(a+b)/2.

Иначе если f (a)>f (b), то пока выполняется неравенство (b-a)>epsilon.

Повторять: c=(a+b)/2 и если f (c)=0, то X=f (c); иначе если f (c)0, то a=c. Положить X=(a+b)/2.

Вывести на экран: Номер итерации и величину X.

Код программы:

#include.

#include.

#include.

#include.

#include.

using namespace std;

double f (double x){return 2*x*sin (x)-cos (x);}.

int main ().

{.

int N=0;

double a, a1, b, b1, c, X, epsilon=0.1;?

setlocale (LC_ALL," Rus");

cout<<" Введите а" <

cin>>a;

cout<<" Введите b" <

cin>>b;

a1=a;b1=b;

if (f (a).

while ((b-a)>epsilon).

{.

N++;

c=(a+b)/2;

if (f (c)==0) {X=f (c); exit;}.

else {if (f (c)<0) a=c;

else if (f (c)>0) b=c;}.

X=(a+b)/2;

cout<<" N="<

cout<<" X="<<

}.

else.

while ((b-a)>epsilon).

{.

N++;

c=(a+b)/2;

if (f (c)==0) {X=f (c); exit;}.

else {if (f (c)<0) b=c;

else if (f (c)>0) a=c;}.

X=(a+b)/2;

cout<<" N="<

cout<<" X="<<

}.

cout<<" Корень уравнения на интервале («<<» ;" <<"):" <

_getch ();

return 0;

}.

б) Значения корней с необходимой точностью:

=0.65 327 118.

=3.29 231 002.

в)Количество итераций:

=30.

=29.

Метод итераций.

1. Теоритическая часть.

Преобразуем уравнение 2x sinx — cosx = 0 к виду x=g (x), допускающем применение метода итераций:

g (x)=x + б f (x) при б?0 равносильно исходному уравнению.

f'(x)>0 на [0,1]. Пусть M=f (x) и m=f (x).

Положим б= -, тогда g (x) = x — (2x sinx — cosx).

Найдём значение константы:

Для этого найдём производную f'(x) и f (x).

f'(x)= 3sinx + 2x cosx.

f'(x)=0.

3sinx + 2x cosx=0 sinx = x cosx отсюда x=2,17 462 602. Из графика функции f (x)=2x sinx — cosx видно, что точка M=f (x) = 2,17 462 602, значит б= -0.45 984 918.

Тогда x=g (x) примет вид:

x =x-0.45 984 9181(2x sinx — cosx).

а) Процедура отделения корней:

Отделение корней произведём графически. Для этого построим графики функций y (x)=x и g (x)= x-0.45 984 9181(2x sinx — cosx).

корень уравнение отрезок итерация.

Анализируя полученное изображение графика, можно утверждать, что точка пересечения функций y (x)=x и g (x)= x-0.45 984 9181(2x sinx — cosx) находится в интервале [0,4;0,8].

• б) Обоснование сходимости для уравнения:
• в) Итерационные формулы, использованные в методе:
• г) Погрешность метода:
  • 2. Результаты расчётов.
• а) Программа расчётов (на языке C++):

#include.

#include.

#include.

#include.

#include.

using namespace std;

double g (double x){ return x-0.459 849 181*(2*x*sin (x)-cos (x));}.

int main ().

{.

int N=0;

double x, a=0.8,b=0.4,eps=pow (10,-8);

double a1=b, b1=a;

setlocale (LC_ALL," Rus");

//cout<<" Введите а" <

//cin>>a;

//cout<<" Введите b" <

//cin>>b;

do.

{.

N++;

a=b;

b=g (a);

cout<<" N="<

cout<<" b="<<

cout<<" b-a="<<

}while (abs (b-a)>eps);

x=(a+b)/2;

cout<<<" Корень уравнения на интервале («<<» ;" <<"):" <

_getch ();

return 0;

}

б) Значения корней с необходимой точностью:

x=0.65 327 118.

в)Количество итераций:

N=16.