Общие понятия.
Дифференциальные уравнения
Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра ©. Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение вида: Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению. Пример. Уравнение. Его общее решение. Положим С=2, тогда — частное решение. Производные искомой функции… Читать ещё >
Общие понятия. Дифференциальные уравнения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение вида:
(1),.
где — независимая переменная; - искомая функция переменной;
— производные искомой функции; - известная функция своих аргументов.
Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величины могут и не входить в него.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.
Пример.
- — уравнение первого порядка;
- — уравнение второго порядка;
— уравнение пятого порядка.
Определение 3. Всякая функция, которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).
Если — решение, то по определению.
(2).
Пример.
— решение, так как.
У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение:
где С — произвольная постоянная.
Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра ©.
Можно показать, что уравнение n-ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.
Пример.
Уравнение имеет решение:
.
Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.
(3).
дифференциальный уравнение линейный однородный.
Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функции и являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая — никогда в нуль не обращается.
Определение 6. Соотношение.
(4).
связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.
Пример.
Рассмотрим уравнение:. Отсюда или. Поэтому.
.
где С — произвольная постоянная.
— общий интеграл; - общее решение.
Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.
Пример. Уравнение. Его общее решение. Положим С=2, тогда — частное решение.
Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.
Пример. Уравнение имеет два общих решения:
1) 2).
Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.
Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .
Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.
Пример.. Общее решение .