Методические приемы обучения решению текстовых задач детей в системе образования России в конце XIX — начале XX века

Развитие капиталистических отношений в России конца XIX — начала XX столетия, успехи российских ученых активизировали потребности в математически просвещенной молодежи, способной на высоком уровне овладевать классическими университетскими и инженерными программами подготовки специалистов, содержанием общего и реального образования.

В этот период активизируется работа по обеспечению математических дисциплин методическими материалами, расширяется издание специальной литературы для учителей математики.

Эта тенденция находит отражение в целях обучения арифметике в начальных училищах, а также в общеобразовательных школах и гимназиях, где, кроме более сложного алгебраического материала, программой предполагалось изучение элементарной геометрии и начал алгебры.

В частности, Ф. А. Эрн высказывает общепринятую в то время точку зрения на цели обучения арифметике: «Арифметика должна дать учащимся навык и уменье решать задачи. Решение всякой задачи состоит в определении зависимости между данными и искомым и в производстве ряда арифметических действий. Эти действия совершаются над числами, составляемыми и письменно обозначаемыми по известным правилам». [Пчелко 1940: 24].

Как известно, первым русским учебником по математике была «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, созданная в 1703 году. [Евтушевский 1874: 8] В учебнике помимо алгебраических присутствовали и арифметические задачи, но изучив содержание некоторых из них, можно прийти к выводу, что эти задачи не могли способствовать развитию у учащихся логического мышления. Учащийся мог только заучивать решение задач, запоминая те многочисленные правила, по которым решались задачи. Задачи не давались учащимся для самостоятельного решения. Ученик должен был уметь решать по данному правилу только неоднократно решенную им задачу или задачу, похожую на те, которые решались им раньше. Задачи в XVIII веке не выделялись в особую книгу, на задачи смотрели как на продолжение теории арифметических действий и помещали их в одной книге с теорией.

Первый сборник арифметических задач был составлен лишь в 1806 году учителем Пермской духовной семинарии Алексеем Вишневским. Сборник заключал в себе 10 отделов [Лексин 1914: 15]: 1) задачи на вычисления с квадратными и кубическими мерами; 2) примеры вычислений с конечными десятичными дробями; 3) задачи на тройное правило — прямое и обратное; 4) на все случаи тройных правил; 5) на правило товарищества; 6) на правило смешения; 7) на фальшивое правило и др.

Задач на отдельные действия и задач, требующих нескольких действий, но не подведенных под правило, не было.

После реформы 60-х годов изменяется не только жизнь общества, но и отношение к обучению. Больших успехов в этот период добивается В. А. Евтушевский. [Евтушевский 1874: 8] Он был первым, кто выделил основные этапы в решении задачи, посвятив этому вопросу специальную главу в своей «Методике». Евтушевский выделил следующие этапы: чтение и повторение условия, разбор задачи, составление плана решения, проверка, решение одной и той же задачи разными способами, составление задач самими учащимися. Правда, внешней стороне (повторению условия, выяснению неизвестного, форме записи и пр.) он уделил больше внимания, чем существу дела (разбору и плану), но больших требований к Евтушевскому здесь нельзя предъявлять, так как до него методика решения задач была абсолютно неразработанной.

Продолжателем дел В. А. Евтушевского стал В. А. Латышев. Прежде всего, Латышев дал правильную, точную и исчерпывающую формулировку значения задач в курсе арифметики: «Занятия арифметикой», говорил он, «должны постоянно сопровождаться решением задач как для развития навыка в вычислениях, так и для выяснения теории и, наконец, для развития сообразительности» [Пчелко 1940: 24]. Латышев первым указал на то, что для умения решать задачи большое значение имеет понимание связи и зависимости между величинами, входящими в условия задач; эту связь нужно, говорил он, объяснять на простых задачах.

В.А. Латышев подчеркнул как центральный момент в объяснении решения задачи, разбор задачи и при этом дал прекрасные образцы разбора нескольких задач. Придавая большое значение выработке у учащихся умения объяснять решение задачи, Латышев говорил не только об устном, но и письменном объяснении решения сложных задач.

В 60-е годы впервые делается попытка классифицировать задачи, которая принадлежит А. И. Гольденбергу. Он разделил все задачи на две основные категории: на арифметические и алгебраические задачи, но не смог определить признаки этих задач. Поэтому вопрос о классификации задач остался открытым.

Ученик А. И. Гольденберга Ф.И.Егоров разработал «технику» решения задач. Он подробно осветил вопрос о сущности аналитического и синтетического методов разбора задачи, показав и их практическое применение на разборе нескольких конкретных задач. Он показал прием, ставший впоследствии общеупотребительным, перехода от решения простых задач (в одно действие) к решению сложных задач (в два действия). Он довольно конкретно разработал различные образцы составления задач самими учащимися: по заданным числам, по данному учителем вопросу и др.

Ф.И. Егоров подчеркнул значение упражнения учащихся в самостоятельном решении задач; этот момент заслуживает большого внимания: он показывает новое, более высокое качество методики преподавания арифметики, большую эволюцию, проделанную в этом вопросе, на протяжении XIX века: к началу XX века ученики не только не заучивали решение задач, не только решали задачи под непосредственным руководством учителя, но учащимся стали давать новые задачи для самостоятельного разбора, для самостоятельного решения. Это стало возможным только потому, что в расположение задач был внесен порядок, система.

Вообще, методика решения задач разработана Егоровым настолько полно и обстоятельно, что последующим методистам оставалось только доработать некоторые детали, подробности; все же существенные, принципиальные вопросы были охвачены в методике Ф. И. Егорова.

Открытым оставался вопрос о классификации задач.

В 90-х и в начале девятисотых годов в педагогике появляются идеи трудовой школы. Трудовой принцип обучения объявляется как самый надежный и действенный принцип. Это нашло отражение в методической работе таких ученых, как С.И. Шохор-Троцкий, В. К. Беллюстин, К. П. Арженников, Ф. А. Эрн и других, на деятельности которых мы и остановимся.

С.И. Шохор-Троцкий в своей «Методике арифметики», изданной в 1886 году, выступил как изобретатель нового метода — «метода целесообразных задач». Сущность этого метода заключается в хорошо подобранной системе заданий-задач. Задача, по мнению Шохор-Троцкого, является исходной точкой в каждом моменте обучения. Сделав задачи главным средством для усвоения всей арифметики, Шохор-Троцкий наметил следующую схему работы над задачами [Пчелко 1940: 24]:

• 1. Сначала задачи на наглядных пособиях и работа для рук и глаз учеников над задачами.
• 2. Задачи из повседневной жизни и работа воображения над этими задачами.
• 3. Отвлеченные задачи работа суждения над этими задачами.
• 4. Логический вывод из всей работы со стороны учеников, поправка и вывод учителя.
• 5. Закрепление вывода на словесных упражнениях.

Эта схема не является универсальной, поэтому не смогла занять свое место в методике арифметики.

В.К. Беллюстин в вопросе о задачах дал мало нового по сравнению с тем, что было сделано его предшественниками и современниками. Следует только отметить, что он настойчиво указывал на большое значение синтеза в разборе задачи. Но синтез не исключает анализ. «Вообще говоря, при начале разбора и решении более полезен синтетический прием, а при конце — аналитический» [Пчелко 1940: 24]. Беллюстина в этом вопросе поддерживал К. П. Арженников. Он делил все задачи на чисто арифметические и типические. При рассмотрении типических задач Арженников делал попытку дать свою классификацию задач, в основу которой положено арифметическое содержание и способ решения [Арженников 1916: 2]:

• 1 тип — тройные правила (простое и сложное)
• 2 тип — соразмерное деление
• 3 тип — смешение
• 4 тип — задачи на вычисление времени
• 5 тип — задачи на квадратные меры
• 6 тип — задачи на кубические меры

Классификацию задач, проведенную К. П. Арженниковым, нужно признать оригинальной и заслуживающей большого внимания. Он оказался в этом вопросе ближе всех к истине.

Ф.А. Эрн, в отличие от своих предшественников, уделил большее внимание алгебраическим задачам. Например, в качестве основного признака задач алгебраического типа он считал признак условности одной из простых задач, на которые разлагается сложная задача, необходимость предположения для решения таких задач.

К началу XX века методы и приемы обучения арифметике, описанные в методических руководствах, находили в значительной части школ большее или меньшее применение: уделялось внимание решению задач, при решении задач находил применение аналитический прием решения (точнее, разбора) задачи.

Остановимся более подробно на этапе подготовки к решению сложных задач.

Раз решение сложных задач представляет значительные трудности, то возникает вопрос о тех приемах, которыми детей можно было подготовить к решению сложных задач.

В этом отношении предлагались следующие советы [Лексин 1914: 15]:

• 1. Так как решение сложных задач сводится к решению простых задач, то приступать к решению сложных задач следует только тогда, когда учащиеся уже достаточно поупражняются в решении простых задач.
• 2. Так как главное затруднение при решении сложных задач заключается в выборе данных и искомого, то необходимо уже при решении простых задач упражнять учащихся в придумывании вопроса к той или другой комбинации данных, и наоборот, в подборе данных к поставленному вопросу.

Упражнения эти могут быть приблизительно таковы:

• 1. Придумать вопросы к следующим задачам и решить их:
  • а) В саду 30 яблонь и 40 груш …
  • б) Крестьянин прошел утром 12 км и вечером 6 км…
  • в) Ученики сидят на 8 скамейках по 4 ученика на скамейке…
  • г) 48 кг товару разложено поровну в 4 ящика…
• 2. Придумайте условие и численные данные к следующим вопросам и решите составленные задачи:
  • а) Сколько чаю в обоих ящиках вместе?
  • б) Сколько учеников стало в классе?
  • в) Какое расстояние прошел крестьянин за все время?
  • г) Сколько км проходил крестьянин в час?

Обучение решению сложных задач Прежде всего, при обучении учащихся решению сложных задач необходимо предварительно показать, что всякая сложная задача состоит из нескольких простых задач, находящихся одна с другой в определенной зависимости. Это можно сделать двумя способами: во-первых, можно показать, что из двух или более простых задач можно составить сложную задачу, и, во-вторых, можно показать, что данная сложная задача распадается на ряд простых. Первый из этих способов можно назвать сложением, а второй разложением. Обратим внимание сначала на первый способ.

Читается простая задача: «Под одной яблоней мальчик нашел 6 яблок, а под другой 4. Сколько яблок нашел мальчик?» [Лексин 1914: 15] Ученики решают задачу, после этого учитель читает следующую задачу: «Под двумя яблонями мальчик нашел 10 яблок. Эти яблоки он разделил двум сестрам поровну. Сколько яблок получила каждая сестра?» После решения этой задачи учитель просит рассказать все, что узнали о мальчике. Таким образом, учащиеся составляют сложную задачу: «Под одной яблоней мальчик нашел 6 яблок, а под другой 4. Эти яблоки он разделил двум сестрам поровну. Сколько яблок получила каждая сестра?».

Можно применить и второй способ, при котором сложная задача дается ученикам в готовом виде, а учитель при помощи наводящих вопросов помогает учащимся решить ее.

Теперь рассмотрим, какие способы использовались при решении задач. Ф. А. Эрн в своей книге «Арифметика» [Лексин 1914: 15] выделил 2 способа: аналитический и синтетический. Рассмотрим на примере: «Магазин продал 15 м ткани по 4 руб. и 25 м по 3 руб. за метр. Сколько метров ситца может купить он на вырученные деньги, если 1 м ситца стоит 5 рублей?».

Воспользуемся синтетическим способом. Как и любая составная задача, эта сводится к решению нескольких простых задач:

• 1) Магазин продал 15 м ткани по 4 руб. Сколько денег он выручил? (15*4=60)
• 2) Магазин продал 25 м ткани по 3 руб. Сколько денег выручили? (25*3=75)
• 3) Магазин продал ткани одного сорта на 60 руб. и другого сорта на 75 руб. Сколько всего денег выручил магазин? (60+75=135)
• 4) Магазин от продажи ткани выручил 135 руб. Сколько метров ситца он может купить, если 1 м ситца стоит 5 рублей? (135:5=27)

Теперь воспользуемся аналитическим способом.

• 1) Чтобы узнать, какое количество метров ситца может купить магазин, нужно найти, сколько денег он выручит.
• 2) Чтобы найти, сколько денег выручил магазин, необходимо узнать, сколько денег было выручено от продажи ткани каждого сорта.
• 3) Чтобы узнать, сколько денег было выручено от продажи ткани по сортам, нужно количество ткани умножить на цену за метр.

В.А. Евтушевский утверждал, что необходимо как можно чаще давать детям решать задачи разными способами, подыскивая при этом простейший, т.к. это способствует развитию мышления учащихся. [Евтушевский 1874: 8] Поскольку аналитический способ решения задач является сложным для понимания учащимися, необходимо проводить подготовительные упражнения, которые заключаются в анализе простых задач. Все подготовительные упражнения можно разбить на две ступени [Пчелко 1940: 24]. К первой ступени относятся задачи, в которых оба «данных» числа не указываются, относительно ко второй ступени. Аналитическое решение простых задач с одним неизвестным «данным» имеет целью убедить учеников в том, что если в содержании задачи одно нужное число не указано, то такую задачу и решать нельзя. Примером таких упражнений может быть следующая задача: «На грядке было 10 огурцов. Мать сорвала их и отдала своим детям. Сколько досталось каждому?» Работы второй ступени имеют целью убедить учеников в том, что простые задачи могут быть представлены в таком виде, когда не указывается ни одно «данное» число. Учителю необходимо приучить детей разбираться и в таких задачах. С этой целью можно предлагать решить задачи типа: «Крестьянин продал несколько пудов муки. Сколько денег он получил?» Работы этого рода надо проделывать до тех пор, пока ученики в совершенстве не будут знать, какие данные и сколько их должно быть в условии задачи, чтобы ее можно было решить сразу, одним действием.

Как известно, мышление младших школьников отличается образностью, при объяснении способа решения сложных задач необходимо использовать наглядность. Автор «Хрестоматии по методике начальной арифметики» А. С. Пчелко [Пчелко 1940: 24] предлагает такую ситуацию: учитель читает задачу: «Один мальчик имел 3 коп., а другой 2 коп. На эти деньги они купили 10 листов бумаги. По сколько листов досталось каждому?». Затем он вызывает двух учащихся и предлагает им проделать действия из задачи, давая им при этом деньги и листы бумаги. Учащиеся должны сообразить, что сначала необходимо сложить деньги, затем узнать, сколько листов бумаги приходится на одну копейку, и, наконец, решить, сколько получит каждый.

Одним из средств, контролирующих сознательность в работе детей при решении сложных задач, служит составление задач ими самими. В помощь детям учитель может привести пример задачи, а затем попросить составить свою задачу по аналогии.

Рассмотрев вопрос о психологических особенностях младших школьников, мы выяснили, что внимание и память детей данного возраста развиты слабо и отличаются непроизвольностью. Именно поэтому при решении задач необходимо использовать разнообразные приемы.

Изучив этот вопрос, мы установили, что любая текстовая задача состоит из взаимосвязанных условий и требований.

Основными методами решения таких задач являются арифметический и алгебраический, а процесс решения задачи включает следующие основные этапы:

• 1) Анализ;
• 2) Поиск плана решения;
• 3) Осуществление плана решения;
• 4) Проверка найденного решения.

Рассмотрены некоторые приемы выполнения этих этапов. Главный прием — это моделирование. Прежде всего, решить текстовую задачу — это значит построить ее математическую модель (выражение или уравнение). Но чтобы облегчить поиск математической модели, нужны модели вспомогательные. Они могут быть графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж), знаковыми (краткая запись, таблица) и др.

Не менее важными являются творческие виды работы над задачей:

• — сравнение задач с другими видами заданий;
• — составление задач, незадач;
• — постановка различных вопросов к одному условию;
• — использование различных условий к одному вопросу;
• — сравнение задач;
• — составление обратных задач;
• — изменение условия задачи;
• — изменение данных;
• — использование лишних данных;
• — использование задач с недостающими данными;
• — решение задач различными способами.

Для осознания структуры составной задачи необходимо использовать приём разбиения задачи на простые и последовательное решение их:

• — использование наводящих вопросов;
• — составление схемы анализа.