Уравнение неразрывности установившегося движения жидкости

При рассмотрении движения жидкости считают, что в потоке жидкость сплошь заполняет занимаемое ею пространство без образования пустот, т. е. движение жидкости происходит неразрывно. В этом случае справедливо уравнение неразрывности движения, выводимое на основе закона сохранения массы. Получим вначале уравнение неразрывности при установившемся движении жидкости для элементарной струйки.

Пусть имеем элементарную струйку (рис. 17). Возьмем сечение 1−1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости и₁. Элементарный расход через сечение 1−1 [по формуле (67а), § 2.2] равен.

.

Затем возьмем сечение 2−2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью u₁. Элементарный расход через сечение 2−2 равен.

.

Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен (см. § 2.1); кроме того, в отсеке 12, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей н единицу времени через сечения 1−1 и 2−2, должны быть одинаковы, т. е. . Принимая во внимание, что сечения 1−1 и 2−2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать.

.

или.

. (69).

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки, которое читается так: элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.

Пусть теперь имеем поток жидкости (рис. 18). Взяв в потоке два произвольных сечения 1−1 и 2−2 и представив живые сечения их состоящими из суммы элементарных струек, можно написать — расход жидкости в сечении 1−1; - расход жидкости в сечении 2−2.

Но поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока, то в отсек между сечениями 1−1 и 2−2 через боковую поверхность движения жидкости не происходит; не изменяется и объем отсека. Следовательно, в отсек через сечение 1−1 поступает столько же жидкости, сколько за то же время выходит. Но так как сечения 1−1 и 2−2 взяты произвольно, то можно написать, что или, выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость v, получим.

. (69').

Это и есть уравнение неразрывности для потока жидкости, которое читается так: расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная. Из уравнения (69) для двух сечений можно написать.

(70).

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.