Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли как количественная мера синергетического эффекта объединения булеанов в системном обобщении теории множеств

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия Обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли как количественная мера синергетического эффекта объединения булеанов в системном обобщении теории множеств Луценко Евгений Вениаминович д.э.н., к.т.н., профессор В статье [1] предложено математическое выражение для обобщенного коэффициента эмерджентности Хартли Назван так автором в статье [1] в честь этого выдающегося ученого в связи со сходством математической формы данного коэффициента с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли [2], отражающим уровень системности локальной системы., количественно отражающего величину системного эффекта, возникающего при объединении систем. Для двух систем, образованных на базовых элементах множеств A и B (1):

(1).

Для объединения M систем семейства (2):

(2).

При получении этих выражений в статье [1] в соответствии с системной теорией информации (СТИ) [2] предполагается, что количество подсистем NA в системе, образованной на некотором множестве базовых элементов A, равно сумме числа сочетаний этих элементов от 1 до M:

(3).

Обобщим выражения (1) и (2) без использования этого предположения. Пусть — булеан (система), образованная на множестве базовых элементов A, а — система, образованная на множестве базовых элементов B. В объединение этих систем входят все подсистемы обоих этих подсистем, тогда как в систему, образованную на объединении базовых множеств, кроме того, входят подсистемы, включающие базовые элементы как 1-го, так и 2-го базовых множеств одновременно.

Поэтому система, образованная на объединении базовых множеств, имеет большую мощность, чем мощность объединения систем, образованных на исходных базовых множествах:

(4).

Вышесказанное практически полностью совпадает с классическим определением системного (синергетического, эмерджентного) эффекта: «Свойства системы превосходят сумму свойств ее частей и не сводятся к ним». При этом степень отличия свойств системы от свойств составляющих ее элементов (базового множества) обоснованно считать ее уровнем системности [1−9].

Поэтому предлагается считать, что разность в мощности этих систем (системы, образованной на объединении базовых множеств, и системы, являющейся объединением систем, образованных на исходных базовых множествах) представляет собой системный эффект, возникший за счет их объединения:

(5).

Используем классическую формулу Р. Хартли для количества информации, получаемого при идентификации элемента множества, состоящего из N элементов:

(6).

для расчета количества информации, получаемого при идентификации одной из подсистем системы, образованной на объединении базовых множеств, и системы, являющейся объединением систем, образованных на исходных базовых множествах:

(7).

Откуда непосредственно получаем выражение для обобщенного коэффициента эмерджентности Хартли, независящее от предположения о способе образования подсистем на основе элементов базовых множеств:

Заметим, что основание логарифма в выражении (7) не является существенным, т.к. берется их отношение.

Обобщим выражение (7) на произвольное количество систем. Пусть дано не 2 системы, а семейство систем:. Тогда для случая многих систем выражения (5) и (8) обобщаются следующим образом:

(9).

(10).

Кроме того, в каждой из систем могут возникать составные элементы из ее собственных базовых элементов. Это приводит к системному эффекту, в результате которого система отличается от множества, т. е. содержит больше элементов, чем в порождающем множестве. Этот вид системного эффекта аналитически выражается локальным коэффициентом эмерджентности Хартли (11), который был получен автором в 2001 году [9] и назван так в честь этого ученого, внесшего большой вклад с разработку научной теории информации Приходится об этом напоминать, т.к. в ряде материалов, широко распространившихся в научной печати и в Internet, их авторы без ссылки на первичный источник информации о коэффициентах эмерджентности Хартли и Харкевича, т. е. работы автора, используют большие фрагменты из этих работ. Чтобы убедится в этом достаточно сделать запрос: «коэффициенты эмерджентности Хартли и Харкевича»:

(11).

где:

W — количество базовых элементов в системе;

m — сложность составного элемента системы, т. е. подсистемы (количество базовых элементов в составном элементе);

M — максимальная сложность подсистем (максимальное количество базовых элементов в составном элементе).

Обобщение локального коэффициента эмерджентности Хартли (11), независящее от способа образования подсистем, имеет вид (12):

(12).

Например, при объединении 2-х систем, содержащих на 1-м уровне иерархии простые числа, а на 2-м уровне составные числа, являющиеся произведениями различных пар простых сомножителей, образуется объединенная система, 1-й уровень которой является объединением 1-х уровней исходных систем, а 2-й образуется по тому же алгоритму, что и в них (рисунок 1):

Рисунок 1. Объединение 2-х систем из простых чисел на базовом уровне и сложных чисел, образованных из пар простых, на 2-м уровне Пример взят и работы (1) и разработан с помощью авторской программы, размещенной по адресу: http://www.twirpx.com/file/370 725/ при параметрах «по умолчанию» и максимальным уровнем сложности.

В таблицах 1−4 приведены данные о том, какие составные числа произведениями каких простых являются в рассматриваемом примере:

Таблица 1. Состав элементов 1-й системы.

Таблица 2. Состав элементов 2-й системы.

Таблица 3. Состав элементов объединенной системы.

Таблица 4. Состав элементов подсистемы объединенной системы, содержащей элементы, образованные за счет системного эффекта.

Числа, показанные на рисунке 3 черным цветом на 2-м уровне объединенной системы, есть на 2-м уровне либо 1-й системы, либо 2-й. Если бы системы объединялись как множества, то никаких других элементов на 2-м уровне объединенной системы и не было бы. Но при объединении систем в объединенной системе могут возникать элементы, образованные из сочетаний базовых элементов нескольких исходных систем одновременно, которых не было в исходных системах и которые могли образоваться только в объединенной системе. В нашем примере на рисунке 3 это числа, показанные более крупным шрифтом и красным цветом на 2-м уровне объединенной системы, образованные из различных пар простых чисел, одно из которых принадлежит 1-й системе, а 2-е — второй (см. таблицы 1−4).

Все полученные выражения стандартно обобщаются также на непрерывный случай путем замены факториалов при расчете числа сочетаний на гамма-функции [9].

В результате запуска этой программы с последовательно увеличивающимся параметром «уровень сложности» при одних и тех же диапазонах базовых элементов, указанных выше, получим результаты, сведенные в таблице 5 и на рисунке 2:

Таблица 5. Зависимость локальных и обобщенного коэффициентов эмерджентности Хартли от сложности объединяемых систем.

Рисунок 2. Зависимость локальных и обобщенного коэффициентов эмерджентности Хартли от сложности объединяемых систем На рисунке 2 использованы обозначения:

• — LKEH_SYS1 — локальный коэффициент эмерджентности Хартли для систем Sys₁ и Sys₂;
• — LKEH_SYSU — локальный коэффициент эмерджентности Хартли для объединенной системы (объединения систем Sys₁ и Sys₂), хорошо аппроксимируется кубическим степенным полиномом:

y = -2E-05×6 + 0,0006×5 — 0,0078×4 + 0,0603×3 — 0,3513×2 + 1,4537x — 0,1555.

R2 = 1.

— OKEH — обобщенный коэффициент эмерджентности Хартли.

Из таблицы 5 и рисунка 2 видно, что при повышении уровня сложности от 4 до 9 уровень системности 1-й и 2-й подсистем не увеличивается. Это связано с тем, что из-за небольшого количества базовых элементов этих системах отсутствуют иерархические уровни с 5-го по 9-й, т. е. на них нет ни одного элемента. На других зависимостях также виден «эффект насыщения», проявляющийся в том, что с увеличением уровня сложности системный эффект увеличивается все медленнее и медленнее и выходит на некоторую асимптоту, определяемую количеством базовых элементов в исходных подсистемах.

В статье предлагается общее математическое выражение для количественной оценки системного (синергетического) эффекта, возникающего при объединении булеанов (систем), являющихся обобщением множества в системном обобщении теории множеств и независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Для этой количественной меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности Р. Хартли» из-за сходства его математической формы с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли, отражающим степень отличия системы от множества его базовых элементов. Для локального коэффициента эмерджентности Хартли также предложено обобщение, независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Приводятся численные оценки системного эффекта при объединении двух систем с применением авторской программы, на которую дается ссылка.

Перспективы.

В перспективе планируется более тщательно исследовать свойства объединения систем, конкретизировать полученные математические выражения для различных способов образования подсистем на основе элементов базовых множеств, разработать системные обобщения других операций над множествами См.: http://ru.wikipedia.org/wiki/Операции%20над%20множествами.

Библиографический список булеан математический множество.

• 1. Луценко Е. В. Реализация операции объединения систем в системном обобщении теории множеств (объединение булеанов) / Е. В. Луценко // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2011. — № 01(65). — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2011/01/pdf/29.pdf.
• 2. Луценко Е. В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем): Монография (научное издание). — Краснодар: КубГАУ. 2002. — 605с Для удобства читателей некоторые из этих работ приведены на сайте автора: http://lc.kubagro.ru.
• 3. Луценко Е. В. Программная идея системного обобщения математики и ее применение для создания системной теории информации / Е. В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2008. — № 02(36). — Шифр Информрегистра: 420 800 012 016. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/02/pdf/11.pdf.
• 4. Луценко Е. В. Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации (Часть 1-я: задачи 1−3) / Е. В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2008. — № 03(37). — Шифр Информрегистра: 420 800 012 031. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/03/pdf/12.pdf.
• 5. Луценко Е. В. Неформальная постановка и обсуждение задач, возникающих при системном обобщении теории множеств на основе системной теории информации (Часть 2-я: задачи 4−9) / Е. В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2008. — № 04(38). — Шифр Информрегистра: 420 800 012 049. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/04/pdf/03.pdf.
• 6. Луценко Е. В. Количественные меры возрастания эмерджентности в процессе эволюции систем (в рамках системной теории информации) / Е. В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2006. — № 05(21). — Шифр Информрегистра: 420 600 012 089. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2006/05/pdf/31.pdf.
• 7. Луценко Е. В. Универсальный информационный вариационный принцип развития систем / Е. В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2008. — № 07(41). — Шифр Информрегистра: 420 800 012 091. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2008/07/pdf/10.pdf.
• 8. Луценко Е. В. 30 лет системе «Эйдос» — одной из старейших отечественных универсальных систем искусственного интеллекта, широко применяемых и развивающихся и в настоящее время / Е. В. Луценко // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. — Краснодар: КубГАУ, 2009. — № 10(54). — Шифр Информрегистра: 420 900 012 110. — Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2009/10/pdf/04.pdf.
• 9. Луценко Е. В. Существование, несуществование и изменение как эмерджентные свойства систем // Квантовая Магия. — 2008. — Т. 5. — Вып. 1. — С. 1215−1239 [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL512008/p1215.html.