Кинематический вывод преобразований Лоренца

Приступим теперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашего рассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие, т. е. событие, происходящее в очень малом месте пространства и за очень короткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t = t₀ испустим импульсную сферическую бесконечно тонкую световую волну.

Уточняем — испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткий световой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t = t₀ в точке N и есть пример мгновенного точечного события. Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие — угодно.

Приведем еще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x.

Мгновенным точечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении, например, левого конца A стержня с фиксированной точкой N оси x. Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то момент времени правого конца B с фиксированной точкой M на оси x.

Теперь, одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощью наблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K, или в двух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга — «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K, — движущейся со скоростью вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем в обеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так, как мы разъяснили выше.

Пусть x, y, z, t — координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x, y, z, t — координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К.

Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x, считая что всегда y = y и z = z. Тогда в системах отсчета К и К координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x, t соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время — x, t.

Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида.

x = (x, t), t = (x, t).

Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К.

Наша конечная цель — найти вид функций и в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x₁ оси x в момент t₁ мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t₂ этот импульс оказался в точке x₂ оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t₃ этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x₃ = x₁.

Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K. Мы увидим, что в точке x₁ в момент времени t был испущен в положительном направлении оси x короткий световой импульс, который в момент времени t₂ достиг точки x₂, отразился в ней и в момент времени t₃ оказался в точке x₃, причем теперь x₃ x₁.

Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K:

x₃ = x₁

и в системе отсчета K:

Точка x₁ = x₃ на оси x системы отсчета K движется со скоростью в отрицательном направлении оси x, если ее наблюдать в системе отсчета K.

Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций и .

Нахождение функции . Составим функциональное уравнение для определения функции. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:

Вычитая первое соотношение из третьего, получаем Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству Следовательно,.

или Таким образом, видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

В этом уравнении величины x₁, t₁, x₂, t₂, x₃, t₃, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x₁, x₂ и t₁. Величины x₃, t₂ и t₃ можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем следовательно,.

Далее, из второго соотношения имеем, а следовательно,.

мы воспользовались выражением для t2 и условием x3 = x1.

Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции :

которое должно выполняться для произвольных значений x₁, x₂ и t₁.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x₂. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением

на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и. Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:

Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид где F — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:

После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что Или Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что, а следовательно,.

F.

где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.

Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид:

где — некоторые пока не определенные постоянные.

Нахождение функции. Найдем теперь аналогичным образом функцию. Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде:

Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение т. е. уравнение Видим, что функция удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины и. Величины и выразим через указанные величины:

Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:

которое выполняется при произвольных значениях и.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по :

производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от. Положим теперь в выведенном уравнении, и тогда придем к дифференциальному уравнению или уравнение Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:

в котором — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение или соотношение Так как аргументы у функций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях.

и совершенно произвольны, то получаем, что, а следовательно, где — пока неопределенные постоянные.

Определение констант. Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного события в инерциальных системах отсчета и имеют вид Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.

Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0, 0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета координаты 0, 0 (тоже нулевые координаты), и наоборот.

Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0, 0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

Теперь неопределенными остались только константы и .

Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и. Имеем:

Таким образом, приходим к заключению, что константы и равны друг другу:

=.

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где — пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно и. Имеем уравнения Следовательно, и поэтому Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси с некоторой положительной скоростью (положительной), определенной в системе отсчета K. Здесь — некоторое пока неизвестное нам число.

Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:

из которых непосредственно заключаем, что и что величины a и a' удовлетворяют соотношению Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, t и x', t` мгновенного точечного события в системах отсчета K и K':

И где величины a' и a связаны вышеуказанным соотношением.

Чтобы найти числа a' и a, выставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K '. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т. е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K'. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования.

Требование 2. Длины l и l' двух покоящихся в системах отсчёта K и K' стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K', относительно которых эти стержни движутся одинаковы.

Возьмём стержень длинны l0, покоящийся в «движущейся» системе отсчёта K'. Пусть он лежит на оси x' и его левый конец пусть имеет координату x’A, а правый — координату x’B

Из мерим длину этого стержня в «покоящейся» системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA — xB = l, чтобы найти длину движущегося со скоростью u стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат.

Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения:

Вычтем из и учтём условие Тогда получим Таким образом, имеем соотношение Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0, расположенный в «неподвижной» системе отсчёта K, и измерить его длину l' в «движущейся» системе отсчёта K', то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение Потребуем теперь, чтобы Тогда мы придём к равенству, а следовательно, с учётом выведенного соотношения к равенствам Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что a = 1 при u = 0, когда мы имеем формулы тождественных преобразований.

Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0. Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта.

Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований:

которые называют формулами преобразований Лоренца.

В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K', имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.

Пусть мы имеем часы, неподвижные в «движущейся» системе K', находящиеся в точке x’A = x’B. Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t'A (событие A) и окончившийся в момент времени t'B (событие B), так что t'B — t'A = t0, где t0 — период колебаний часов в «собственной» системе отсчёта.

(где они покоятся). Обозначив через xA, xB, tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K, получаем Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний t часов, определённого в «движущейся» системе K' имеем следующую формулу так как x’A = x’B. Следовательно, окончательно получаем формулу для кажущегося, т. е. кинематического, замедления хода движущихся часов.