Вид силовых полей в различных инерциальных системах отсчета

Рассмотрим действие силового поля на частицу массой т в системе отсчета А. Будем считать систему отсчета А условно неподвижной и все физические величины в ней будем писать без индекса (напр. x, t, p и т. д.). В другой системе отсчета А, движущейся с постоянной скоростью v₀ относительно первой, все физические величины будем писать со штрихом (напр. и т. д.).

В нерелятивистской физике, когда импульс материальной точки m определяется как произведение, скорость его изменения равна.

.

что и определяет силу взаимодействия этой точки с силовым полем в данной системе отсчета.

Если рассмотреть этот же процесс взаимодействия в другой системе отсчета А, движущейся относительно системы А со скоростью v₀, то получается, что силы взаимодействия должны быть равны.

Действительно, если пользоваться преобразованиями Галилея (1.1) v v — v₀ и t t ускорение точки a в системе А равно ускорению точки в системе В:

.

Отсюда следует, что.

или F F.

Совсем иная картина получается, если учитывать релятивистские эффекты.

Сначала рассмотрим взаимодействие в системах отсчета, которые движутся относительно А с постоянной скоростью v₀

a) параллельно действию силы;

b) перпендикулярно действию силы.

Затем мы обобщим результаты для системы отсчета, движущей под некоторым углом к направлению действия силы.

Предположим, что в системе, А имеем:

Тогда, (см.(2.6) и (2.4)).

; (2.11).

Допустим, что в момент времени t=0 начала систем отсчета А и А совпадали и часы обеих систем установлены на нуль.

Тогда в системе отсчета А для точки m имеем следующие начальные условия:

; ;

Тот факт, что сила F равна силе, совсем не очевидный, и, хотя в данном, конкретном случае это так, в дальнейшем мы увидим, что равенство одних и тех же сил в различных системах отсчета вовсе необязательно.

Время t, и скорость vточки m в системе отсчета А связаны со значениями t и v преобразованиями Лоренца (1.9) (1.11).

; (2.12).

Связь приращений времен dt в системах отсчета А и А можно найти продифференцировав время (2.12) по времени t. Получим:

или (2.13).

Для того, чтобы сравнить силы F и нам следует воспользоваться выражением. Поэтому, сначала мы найдем выражения для импульса р точки m в системе отсчета А, а затем продифференцируем его по времени t.

(2.14).

Используя выражения (2.13, 2.14 и 2.11), получим:

Итак, мы получили, что, в случае, когда одна система отсчета движется относительно другой вдоль линии действия силы, то координаты x, скорости, ускорения, импульсы точки m в системах отсчета А и А будут иметь различные значения, а вот сила, действующая на материальную точку в той и другой системе, будет одинакова.

Очевидно, что второй закон Ньютона в прежней формулировке здесь не работает: отношение силы, действующей на частицу, к ее массе равны в обеих системах (F/m F/m), а ускорения а и а не равны.

Рассмотрим теперь взаимодействие этой же частицы в системе отсчета, которая движется со скоростью v₀ перпендикулярно направлению действия силы F.

Пусть сила F действует вдоль оси Y.

Тогда в системе отсчета А имеем: вдоль оси Y частица движется со скоростью v и имеет координату y.

.

Составляющие импульса частицы т будут равны.

;

В системе отсчета А координата x, время t и скорость v связаны с аналогичными параметрами в системе А преобразованиями Лоренца:

;; ;

Приращения времен и, очевидно связаны уравнением:

;

Тогда скорости частицы вдоль осей X и Y будут равны:

;

Вычислим составляющие импульса частицы m в системе отсчета А.

;

Легко видеть, что.

С учетом этого равенства получим:

где.

Составляющие силы, действующей на частицу т со стороны силового поля в системе отсчета А будут равны:

;

В системе отсчета А, то на ту же материальную точку со стороны того же силового поля будут действовать следующие составляющие силы:

вдоль оси ;

вдоль оси ;

Мы получили чрезвычайно интересный результат.

В системе отсчета А материальная точка m движется под действием силы F, которая явилась результатом некоторого взаимодействия. Проекция F_x этой силы на ось X равна нулю.

Рассматривая это же взаимодействие в системе отсчета А, которая движется с постоянной скоростью v₀, перпендикулярно направлению силы F, мы выяснили, что в результате того же самого взаимодействия на точку m должна действовать сила F, проекция которой на то же направление уже не равна нулю.

Значение этой проекции зависит как от скорости движения частицы в системе отсчета А, так и от скорости движения системы отсчета А.

Отсюда следует, что структура силового поля может меняться в зависимости от того, в какой системе отсчета мы рассматриваем данное взаимодействие.

Эти изменения крайне малы по сравнению с самим полем при малых относительных скоростях систем отсчета.

Коэффициент пропорциональности в нашем случае (₀) даже при космических скоростях составляет 10^-10. Однако, далеко не всегда этой поправкой можно пренебрегать.

Отметим еще один результат. В системе отсчета А ускорение частицы m направлено вдоль оси Y (вдоль оси X точка движется с постоянной скоростью v₀), а вектор силы F направлен под некоторым углом к оси Y._.

Это означает, что сила и ускорение уже не совпадают по направлению. В направлении оси еще более парадоксальный с точки зрения дорелятивисткой физики результат: в этом направлении на частицу m действует сила, а ускорение равно нулю.

В заключение, мы приведем в таблице результаты рассмотрения движения этой же частицы в системе отсчета А, которая движется с постоянной скоростью v₀ под некоторым углом к направлению действия силы F. Вычисления, которые аналогичны предыдущим, читатель может проделать самостоятельно. Приведенные результаты являются обобщенными для первого и второго случаев.

Положив в этих выражениях =0 и, соответственно,, получим выражения для систем отсчета, движущихся относительно друг друга вдоль действия силы F. Положив и, соответственно,, получим равенства для систем, движущихся перпендикулярно линии действия силы F.

x.	(2.15).
t.	(2.16).
(2.17).
(2.18).
(2.19).
(2.20).
(2.21).
	(2.22).
	(2.23).

Теперь мы можем перейти к рассмотрению электромагнитных полей равномерно движущихся зарядов.