Создание теории. 
Теория алгебраических структур

Для начала отметим, что алгебраические структуры являются частью универсальной алгебры, т. к. она рассматривает их общие свойства.

Первые работы по общей теории универсальных алгебр относятся к 30-м годам 20 века и принадлежат американскому математику Г. Биркгофу. В те же годы советские математики А. И. Мальцев и А. Татарский заложили основы теории моделей, т. е. множеств с отмеченными на них отношениями.

В дальнейшем теория универсальных алгебр и теория моделей столь тесно переплелись между собой, что привело к возникновению новой дисциплины, пограничной между алгеброй и математической логикой, — теории алгебраических систем, изучающей множества с определенными на них алгебраическими операциями и отношениями.

Алгебра (от араб. ЗбМИСээ, «аль-джабр» — восполнение) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма^.

Алгебра — упорядоченная пара множеств. Первое множество () — элементы какой-либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество () — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Университетские курсы теории групп тоже можно назвать элементарной алгеброй.

Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля аксиоматизируются и изучаются.

Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).

Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).

Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путём расширения и обобщения алгебры.

Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.

Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, ?, Ч, ч) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a, b, c, x, y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, a+b=b+a для любых a и b), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.

Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что 3x + 1 = 10» или, в более общем случае, «Найти число x, такое что ax + b = c». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.).

Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали x билетов, то ваша прибыль составит 3x? 10 рублей, или f (x) = 3x? 10, где f— функция, и x— число, от которого зависит функция.»).

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)^[4]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств^[5]

Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка, где.

• — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
• — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
• — +: V+V > V— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества, обозначаемый ;
• — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества, обозначаемый; причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

для любых (коммутативность сложения);

для любых (ассоциативность сложения); существует такой элемент, что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

для любого существует такой элемент, что (существование противоположного элемента относительно сложения).

(ассоциативность умножения на скаляр);

(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре.

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли.