Перпендикуляр
Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними. Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ… Читать ещё >
Перпендикуляр (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Ход урока.
Деятельность учителя | Деятельность ученика | |
— Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? — Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве? — Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей». | — В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии. — Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. | |
— Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? — А какие задачи решали? — Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь? — А что значит привести знания в систему? — Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока? — Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему. | — Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. — Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. — Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе. — Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения. — Перпендикулярность прямых и плоскостей. | |
— Перпендикулярность каких объектов мы изучили? — Будем работать с таблицей. < Открывает заголовок таблицы 1> — Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными? — Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок> — Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали? — Сформулируйте ее. < Открывает рисунок> — Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения. < Открывает рисунок> — В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их. <�Открывает соответствующие рисунки> — В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. А как вы думаете почему? — Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными? — Какие факты можно отнести в эту часть? — Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их — заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <�показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность — мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7. — Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». <�Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев> | — Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. — Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . — Они могут пересекаться и скрещиваться. — Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей. <�Формулируют> — Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. — Признак перпендикулярности прямой и плоскости <�формулирует>. — Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <�формулирует>. — Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <�формулирует>. — Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости. — Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . — Признак перпендикулярности двух плоскостей. Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна; одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости; одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой. <�Ученики формулируют следующие эвристики: Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости; прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости; данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой. Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. > | |
— Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства. — Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй — перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд — пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут. — Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <�Записи на доске делает ученик> — Хорошо. Послушаем теперь второй ряд. — Третий ряд, пожалуйста. | <�Работают> < Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали> — DOAB (DOABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости, DO, в частности, перпендикулярно АВ) — DOAC, DOBC (аналогично) — DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме). — DOABC (по условию). — ABCOD, COADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). — DABABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) — DOCABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) — DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей). | |
— Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними. | ||
Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <�Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве"> <�Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице> — Что называется расстоянием от точки до прямой? — Какие еще расстояния можете назвать? — Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. — То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице. — Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<�Открывает заголовок: «Углы в пространстве"> — Опишите это понятие. <�Открывает соответствующий рисунок> — Какие еще углы вы знаете? — Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников. | — Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой. — От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости. — Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой. — Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. — Между параллельными плоскостями — расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой. — Между скрещивающимися прямымирасстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой. — Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник. — Угол между прямыми. — Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними. — Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. — И угол между плоскостями — это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении. | |
— Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление. — Начнем с первого задания. — Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай. — Второй ряд, пожалуйста. — И последний угол? — Дорешаете дома. — Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от, А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку. — Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС. Эту задачу будем решать на новом рисунке. — Итак, начнем. — Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его. — Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? — Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости? — То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует? — А через какую точку пройдет проекция наклонной? — Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать? — А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС? — Как найти DК? — Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске. — Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача № 7. — Назовите их и докажите. — Как их найти? | — Так как ОDАВС, то АО — проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО — угол между DА и АВС. — Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ. — Угол между DВ и АВС — это DВО. — Угол между DС и АВС — это DСО. — Так как DО — перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО — искомое расстояние. — Мы доказывали, что СОDАВ, значит СО-расстояние от С до DАВ. — АВDОС, то АО-расстояние от, А до DОС. Так как DО перпендикулярно АВ, то DО — расстояние между D и прямой АВ. — АВС. — Наклонной. — Она должна быть перпендикулярной к проекции. — Через точку О, так как она проекция точки D. — Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М-середина ВС, тогда АМ — медиана правильного? АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОКВС, и ОК-проекция DК на АВС. При этом DКВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК-расстояние от точки D до прямой ВС. — Произвольно. — Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК — средняя линия? АМВ. — Аналогично, причем DL равно DК. — Они уже построены. — DКО — линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, DLО — линейный угол двугранного угла при ребре АС. — Например, DКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО. | |
— Это все задания, которые мы планировали решить на уроке. — А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. — Какие типы задач нами были рассмотрены? — Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии? | — на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями. — позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами. | |
— Что вы теперь умеете делать? — Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления. | — Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как-то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями. | |
Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе. | ||
Расстояния в пространстве (Таблица 1)
От точки до прямой | Между параллельными прямыми | От точки до плоскости | Между парал-лельными прямой и плоскостью | Между параллельными плоскостями | Между скрещивающимися прямыми | |
AM б | AM б | AM в | AM в | |||
Решение треугольников | ||||||
Углы в пространстве
Между прямыми | Между наклонной к плоскости и плоскостью | Между плоскостями | |
0 < ц ЎЬ 90 | 0 < ц < 90 | 0 < ц ЎЬ 90 | |
Решение треугольников | |||
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярные прямые | Перпендикулярные прямая и плоскость | Перпендикулярные плоскости | |
Записи на доске и в тетрадях
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Дано: ?АВС равносторонний,
О середина АВ,
ОD АВС.
АВ=6см, ОD=3см.
1. Найти пары перпендикулярных прямых.
Решение.
а) DOAB, DOAC, DOBC (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).
б) DCAB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме).
2. Найти пары перпендикулярных прямой и плоскости.
Решение.
а) DOABC (по условию).
б)ABCOD, COADB (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
3. Найти пары двух плоскостей.
Решение.
DABABC, DOCАВС, DOCADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).
4.Найти углы между DA, DB, DC и плоскостью ABC.
Решение.
Так как ОDАВС, то АО — проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно DАО — угол между DА и АВС.
5. Найдите расстояния от т. D до плоскости АВС, от С до АDВ, от, А до DОС.
6. Найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС.