&1. Проблема изучения нумерации чисел на уроках математики

Проблемой развития мышления учащихся занимались многие зарубежные и отечественные ученые Л.С., П. Я. Гальперин [4], В. В. Давыдов [6], Д. Дьюи [8], А. Н. Леонтьев [23], В. К. Ягодовская, А. С. Пчелко Н.С. Рождественский [37], И. Л. Никольская [31], Ж. Пиаже [34], С. А. Рубинштейн [38], А. А. Столяр [43], Д. Б. Эльконин [49], Т. С Веринг., Л. С. Выготский, И. Я. Лернер, Н. А. Менчинская, Д. Н. Середа, М. Н. Скаткин и др. [18].

Они теоретически и экспериментально доказали, что на сегодня школа еще не достаточно обеспечивает выпускникам необходимый уровень развития мыслительной деятельности.

Именно на уроках математики может происходить целенаправленное, систематическое формирование логических понятий и действий, т. к. именно в ней, в силу ее специфических особенностей, содержатся большие потенциальные возможности для развития логического мышления младших школьников. Никольская И. Л. [31, 32], Ивин А. А. [11].

На уроках математики, закладывается фундамент всех мыслительных операций, и одним из главных тем в курсе математики начального образования является «нумерация чисел», так как именно в процессе изучения данного материала закладывается «почва» для дальнейшего целенаправленного обучения и развития детей в данной науке. 3].

Так, в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения и др.). Как говориться в народной поговорке «клин клином выбивают», т. е., используя приемы сравнения и классификации при изучении фундаментальных тем, можно решать одну из важнейших задач уроков математики — развитие всех качеств и видов мышления, которые позволили бы в дальнейшем, детям строить умозаключения, делать выводы, обосновывая свои суждения — самостоятельно приобретать знания и решать возникающие проблемы. Это являлось бы достижением самой большой цели современного общества — воспитание объективно мыслящей личности. [9], [47].

Проблема формирования у младших школьников представления о нумерации чисел и действия с ними, как фундаментальной части курса математики, используя развивающие методы и приемы (приемы сравнения и классификации) является актуальным во все времена. Ведь математика, требует понимания и логического рассуждения, а потому отличается от гуманитарных предметов и требует включения аналитических способностей.

&1.1 Понятие натурального числа при изучении нумерации чисел Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 — 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717−1783 гг.). 7].

Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много».

Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»… Долгое время пределом познания было число «семь». 7], [40].

О непонятном говорили, что эта книжка «за семью печатями», знахарки в сказках давали больному «семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек».

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом «сорок сороков», равным 1600.

Позднее, когда число «сорок» уже перестало быть граничным, оно стало играть большую роль в русской метрологии как основа системы мер: пуд имел 40 фунтов, бочка-сороковка — сорок ведер и т. д.

Большой интерес вызывает история числа «шестьдесят», которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов. 7].

Следующим пределом у славянского народа было число «тьма», (у древних греков — мириада), равное 10 000, а запределом — «тьма тьмущая», равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое «большое число» или «большой счет»). В этой системе «тьма» равнялась 106, «легион» — 1012, «леодр» — 1024, «ворон» — 1048, «колода» — 1096, после чего добавляли, что большего числа не существует.

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в «исчислении песчинок» — до числа 10, возведенного в степень 8×1016, и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах — до бесконечности ?. 7], [40].

Натуральные числа имеют две основные функции:

характеристика количества предметов;

характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. д.) и количественного числа (один, два и т. д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи. [7], [40].

Рассмотрим методику ознакомления с основными математическими понятиями, изучаемыми в данной теме.

Понятие натурального числа дается на эмпирическом уровне. Число обозначается в порядке установления взаимно однозначного соответствия между предметами данной совокупности и словами — числительными.

В начальной школе: 1). Число — это количественная характеристика класса эквивалентных множеств. 2). Число — это элемент упорядоченного множества, член натуральной последовательности. 3). При изучении действий число выступает как объект, над которым выполняется арифметическое действие.

У учащихся необходимо сформировать следующие знания и умения:

• 1. Выделить число из других понятий.
• 2. Правильно назвать число.
• 3. Знать способы образования числа (в результате счета; в результате измерения; в результате выполнения арифметических действий).
• 4. Знать способы обозначения чисел с помощью цифр (Цифра — это знак для обозначения числа).
• 5. Знать различные функции числа. (Количественная функция, функция порядка, измерительная функция.)[15], [16]

Правила образования названий и чтения чисел.

• 1. Названия чисел от 10 до 20 образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, но имеет свою особенность — при чтении сначала называется нижний разряд, затем остальные (один — на — дцать; две — на — дцать).
• 2. Остальные названия чисел образуются по принципу поразрядности; чтение чисел начинается с единиц высшего разряда.

В учебниках М1И и М2И выделяются не концентры, а темы: «Однозначные числа», …, «Пятизначные и шестизначные числа», что способствует пониманию детьми различий между числом и цифрой. На первом этапе у учащихся формируются представления о количественном и порядковом числе. Запись числа 10 вводится в теме «Двузначные числа», когда детям предлагается считать десятками и сообразить о целесообразности данного счёта. Затем предлагается считать десятками и единицами сразу, что наводит на осознание того, что двузначные числа состоят их десятков и единиц (в качестве модели десятка предлагается треугольник, на котором 10 кружков). [12], [13], [14].

Последующая работа связана с установлением соответствия между предметной моделью двузначного числа и его символической записи.

Для этой цели предлагаются задания: «Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку», «Увеличь число 30 на 2 десятка, 3 десятка.

Наблюдай! Какая цифра изменяется в числе 30?" [15].

Для формирования умения читать и записывать четырехзначные числа детям предлагаются задания:

• 1) на выявление признаков сходства и различия двузначных, трёхзначных и четырехзначных чисел;
• 2) на запись четырехзначных чисел определёнными цифрами;
• 3) на сравнение чисел; на классификацию; на выявления правила построения ряда чисел. 16]

Таким образом, ребенок постепенно постигает состав числа, правила его записи и произношения.