Взаимосвязь логического и алгоритмического мышления школьников

Умение последовательно, четко и непротиворечиво излагать свои мысли тесно связано с умением представлять сложное действие в виде организованной последовательности простых. Такое умение называется алгоритмическим. Оно находит свое выражение в том, что человек, видя конечную цель, может составить алгоритмическое предписание или алгоритм (если он существует), в результате выполнения которого цель будет достигнута.

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) — сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью ее решение. Но определенную подготовку к ее достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Для этого, начиная с 1-го класса, нужно, прежде всего, учить детей «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинать эту работу следует с простейших алгоритмов, доступных и понятных им. Можно составить алгоритм перехода улицы с нерегулируемым и регулируемым перекрестком, алгоритмы пользования различными бытовыми приборами, приготовления какого-либо блюда (рецепт приготовления), представить в виде последовательных операций путь от дома до школы, от школы до ближайшей остановки автобуса и т. д.

Способ приготовления кофейного напитка написан на коробке и представляет собой следующий алгоритм:

• 1. Налить стакан горячей воды в кастрюлю.
• 2. Взять чайную ложку напитка.
• 3. Засыпать (всыпать) кофейный напиток в кастрюлю с водой.
• 4. Нагреть содержимое кастрюли до кипения.
• 5. Дать напитку отстояться.
• 6. Налить напиток в стакан.

Рассматривая такие инструкции, сам термин «алгоритм» можно не вводить, а говорить о правилах, в которых выделены пункты, указывающие на определенные действия, в результате выполнения которых решается поставленная задача.

Следует заметить, что сам термин «алгоритм» можно употреблять только условно, так как те правила и предписания, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, не обладают всеми свойствами, его характеризующими. Алгоритмы в начальных классах описывают последовательность действий на конкретном примере не в общем виде, в них находят отражение не все операции, входящие в состав выполняемых действий, поэтому их последовательность строго не определена. Например, последовательность действий при умножении чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число (800*4) выполняется так:

• 1. Представим первый множитель в виде произведения однозначного числа и единицы, оканчивающейся нулями: (8*100) *4;
• 2. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:
  • (8*100)*4 =8 *(100*4);
• 3. Воспользуемся переместительным свойством умножения:
• 8*(100*4)=8*(4*100);
• 4. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:
• 8*(4*100)=(8*4)*100;
• 5. Заменим произведение в скобках его значением:
  • (8*4)*100 =32*100;
• 6. При умножении числа на 1 с нулями нужно приписать к числу столько нулей, сколько их во втором множителе:
• 32*100=3200.

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчетливо все операции, учитель может предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит детям осознать способ деятельности. Например:

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9*(8*100) 800*7 (9*8)*100 (8*7)*100 (9*100)*8 8*(7*100) 9*100 8*700 72*100 56*100.

Объясни, как получено выражение, записанное справа:

4*6*10=40*6 2*8*10=20*8 8*5*10=8*50 5*7*10=7*50.

Можно ли утверждать, что значения произведений в каждой паре одинаковы:

45*10 54*10 32*10 9*50 60*9 8*40.

Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать данные математические задания в виде определенной программы.

Например, задание «найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше предыдущего» можно представить в виде алгоритмического предписания так:

• 1. Запиши число 3.
• 2. Увеличь его на 2.
• 3. Полученный результат увеличь на 2.
• 4. Повторяй операцию 3 до тех пор, пока не запишешь 5 чисел. Словесное алгоритмическое предписание можно заменить схематическим:

Рис. 11.

Это позволит учащимся более четко представить каждую операцию и последовательность их выполнения.

• * Задание 94. Сформулируйте в виде алгоритмических предписаний следующие математические задания и представьте их в виде схемы действий:
  • а) напиши 4 числа, первое из которых равно 1, каждое следующее в 2 раза больше предыдущего;
  • б) напиши 4 числа, первое из которых 0, второе больше первого на 1 третье больше второго на 2, четвертое больше третьего на 3;
  • в) напиши 6 чисел: если первое равно 9, второе 1, а каждое следующее равно сумме двух предыдущих.

Наряду со словесными и схематическими предписаниями можно задать алгоритм в виде таблицы.

Например, задание: «Запиши числа от 1 до 6. Каждое увеличь:

а) на 2; б) на 3″ можно представить в такой таблице:

Табл. 3.

Таким образом, алгоритмические предписания можно задавать словесным способом, схемой и таблицей.

Действуя с конкретными математическими объектами и обобщениями в виде правил, дети овладевают умением выделять элементарные шаги своих действий и определять их последовательность.

Например, правило проверки сложения можно сформулировать в виде алгоритмического предписания следующим образом. Для того, чтобы проверить сложение вычитанием, нужно:

• 1) из суммы вычесть одно из слагаемых;
• 2) сравнить полученный результат с другим слагаемым;
• 3) если полученный результат равен другому слагаемому, то сложение выполнено, верно;
• 4) в противном случае ищи ошибку.
• * Задание 95. Составьте алгоритмические предписания, которыми младшие школьники смогут пользоваться при: а) сложении однозначных чисел с переходом через разряд; б) сравнении многозначных чисел; в) решении уравнений; г) письменном умножении на однозначное число.

Для формирования умения составлять алгоритмы нужно научить детей: находить общий способ действия; выделять основные, элементарные действия, из которых состоит данное; планировать последовательность выделенных действий; правильно записывать алгоритм.

Рассмотрим задания, цель которых — выявление способа действия:

Даны числа (см. рисунок). Составь выражения и найди их значения. Сколько всего примеров на сложение можно составить? Как нужно рассуждать при этом, чтобы не пропустить ни одного случая?

Рис. 12.

При выполнении данного задания ученики осознают необходимость выделения общего способа действий. Например, фиксировать первое слагаемое 31, в качестве второго прибавлять все числа второго столбика, затем в качестве первого слагаемого фиксировать, например, число 41 и опять выбирать все числа из второго столбика, и т. д. Можно фиксировать второе слагаемое и перебирать все числа первого столбика. Важно, чтобы ребенок понял, что, придерживаясь какого-то определенного способа действия, он не упустит ни одного случая и ни один из случаев не запишет дважды.

В зале три люстры и 6 окон. К празднику для украшения от каждой люстры к каждому окну протянули гирлянду. Сколько всего повесили гирлянд? (При решении можно использовать схематический рисунок.).

Рис. 13.

Для формирования у учащихся умения выявлять способ действия полезны комбинаторные задания. Их особенность в том, что они имеют не одно, а множество решений, и при их выполнении Необходимо осуществлять перебор в рациональной последовательности. Например:

Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 55 522 (цифру 5 можно повторять три раза, 2 — два раза).

Для решения этой комбинаторной задачи можно воспользоваться построением «дерева». Выписывается сначала одна цифра, с которой можно начать запись числа. Дальнейший алгоритм действий сводится к записи цифр, которые можно поставить после каждой цифры, пока не получим пятизначное число. Следуя данному алгоритму, необходимо комбинировать и подсчитывать, сколько раз повторились цифры 5 и 2.

Рис. 14.

Получились «веточки» с различными числами: 55 522, 55 252, 55 225, 52 552, 52 525, 52 255. Затем выписывается цифра 2.

Рис. 15.

Записываем числа, двигаясь по «веточкам»: 22 555, 25 525, 25 552, 25 255. Ответ: можно записать 10 чисел.

* Задание 96. Подберите комбинаторные задачи, которые вы бы могли предложить ученикам первого, второго и третьего класса при изучении различных понятий начального курса математики.

умственный математика младший школьник.