Понятие алгебраического числа степени n

Определение. Алгебраическим числом называется корень какого-либо алгебраического уравнения f (x)= a0xn+a1xn-1+…+an=0, (1) коэффициенты, которого a0, a1,…, an суть целые рациональные числа, не все равные нулю.

Если предположить, что коэффициенты в (1)-числа рациональные, то от этого класса определяемых чисел не изменится, так как и в таком случае можно (1) преобразовать в уравнение с целыми коэффициентами.

Определение. Если число б удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами степени n, но не удовлетворяет такому же уравнению степени.

Из этого определения вытекает, что уравнение (1) степени n, корнем которого является алгебраическое число б степени n, является не приводимым в поле рациональных чисел, т. е.что многочлен f (x) нельзя разложить в произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами степени не ниже первой.

В самом деле, если бы это было возможно, то мы имели бы, и тогда оказалось бы, что б удовлетворяет, по крайней мере, одному из уравнений f1(x)=0, f2(x)=0 степени.

К алгебраическим числам, очевидно, относятся все рациональные числа, так как последние удовлетворяют уравнению bx-a=0. (При этом ясно, что они будут алгебраическими числами степени 1, так как уравнению с меньшей степенью они удовлетворять не могут.) Алгебраическими числами также будут числа вида am, где, а — целое, а m — любое рациональное число, например число 3v5, которое удовлетворяет уравнению x3−5=0.

Неприводимый целочисленный многочлен f (x), корнем которого является б, определен с точностью до постоянного множителя.

Действительно, если б было бы корнем двух не приводимых многочленов f (x) и ц (x), отличающимся постоянным множителем, то НОД этих многочленов был бы отличен от многочлена нулевой степени (так как он должен делиться на x — б), а это не возможно, в силу неприводимости f (x) и ц (x).

Алгебраические числа, являющиеся корнями одного и того же неприводимого над полем рациональных чисел многочлена, называются сопряженными.

Определение. Если алгебраическое число б степени n является корнем многочлена (1), где n?1 с рациональными коэффициентами, то f (x) называется минимальным многочленом для б.

Теорема 1. Если f (x) — минимальный многочлен для алгебраического числа б и F (x) — многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F (б)=0, то f (x) — делитель F (x), то есть F (x)=f (x)g (x), где g (x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство. Согласно теореме о делении многочлена с остатком, многочлен F (x) можно представить в виде F (x)=f (x)g (x)+r (x), где g (x) и r (x) — многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r (x) меньше степени f (x).

Поскольку F (б)=0 и f (б)=0,то, придавая x значение б, получаем r (б)=0; б — корень многочлена r (x) с рациональными коэффициентами степени, меньше, чем у минимального для б многочлена, т. е.меньше, чем степень б. Это может быть только, если r (x) тождественно равен нулю, а, значит, F (x)=f (x)g (x).

Для данного б существует единственный минимальный многочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух минимальных многочленов для б должно быть рациональным числом, равным единице, что означает тождественное их равенство. Теорема доказана.

Теорема 2. Для любого алгебраического числа б минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство. Пусть f (x) — минимальный многочлен для б. Предположим, что f (x) приводим над полем рациональных чисел, т. е.что f (x)=щ (x)ш (x), где щ (x) и ш (x) — многочлены с рациональными коэффициентами степени, меньше, чем n.

Из равенства щ (б)ш (б)=f (б)=0 следует, что из двух чисел: щ (б) и ш (б), по крайней мере, одно равно нулю. Пусть, например, щ (б)=0, тогда б — корень тождественно неравного нулю многочлена щ (x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у f (x), а это противоречит тому, что f (x) — минимальный многочлен для б. Предположение, что многочлен f (x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т. е.f (x) неприводим над этим полем. Теорема доказана.

Теорема 3. Если б — корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F (x) с рациональными коэффициентами степени n, то б — алгебраическое число степени n.

Доказательство. Обозначим минимальный многочлен для б через f (x). Согласно теореме1 F (x)=f (x)g (x); где g (x) — многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку F (x) неприводим над полем рациональных чисел и f (x) отлично от постоянного, то g (x)=c, где c рационально, F (x)=cf (x), т. е.степень f (x) равна n и, следовательно, б — алгебраическое число степени n. Теорема доказана.

Пример 1. Пусть p — простое число. при любом целом б (б>1), не равном p-й степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно, это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел двучленного уравнения xp-б=0.

Если б — алгебраическое число степени n и f (x) — минимальный многочлен для б, то все корни б1, б2,…, бn уравнения f (x)=0, отличные от б, называются сопряженными с б. Один из корней б1, б2,…, бn, мы будем ставить его на первое место, совпадает с б, так что б= б1.