Гистограмма. 
Качество, как один из основных факторов успешной деятельности предприятия в современных условиях

Для наглядного представления тенденции изменения наблюдаемых значений применяют графическое изображение статистического материала. Наиболее распространенными графиками, к которым прибегают при анализе распределения случайной величины, являются полигон, гистограмма и кумулятивная кривая. Однако когда говорят о втором инструменте контроля качества, то упоминают только гистограмму, как наиболее часто применяемое на практике графическое изображение распределения.

Гистограмма - это инструмент, позволяющий зрительно оценить закон распределения статистических данных.

Рассмотрим все три упомянутых графических представления данных, с тем чтобы читатель смог оценить достоинства каждого из них и при необходимости применить на практике.

Полигоны, как правило, применяют для отображения дискретных изменений значений случайной величины, но они могут использоваться и при непрерывных (интервальных) изменениях. В этом случае ординаты, пропорциональные частотам интервалов, восстанавливаются перпендикулярно оси абсцисс в точках, соответствующих серединам данных интервалов. Вершины ординат соединяются прямыми линиями. Для замыкания кривой крайние ординаты соединяются с близлежащей серединой интервала, в которой частота равна нулю. Пример изображения значений пробивного напряжения в виде полигона, приведен на рис. 2.

Гистограмма распределения обычно строится для интервального изменения значения параметра. Для этого на интервалах, отложенных на оси абсцисс, строят прямоугольники (столбики), высоты которых пропорциональны частотам интервалов. Гистограмма интервального ряда изображена на рис. 3, где по оси ординат отложены абсолютные значения частот. Аналогичную форму гистограммы можно получить, если по оси ординат на рис. 3 отложить соответствующие значения относительных частот. Если на рис. 3 ширину класса (2,9) принять за единицу шкалы по оси абсцисс, то, например, для класса 176,5…179,4 В его высота 0,6 будет одновременно и площадью столбика, изображающего этот класс. При этом сумма площадей всех столбиков будет равна единице, что оказывается удобно.

Рис. 3. Гистограмма частот интервального ряда распределения

Если на рис. 3 кроме гистограммы нанести еще и полигон, то по мере роста числа измерений одновременно уменьшается ширина класса, и полигон превращается в так называемую кривую плотности вероятностей, представляющую собой кривую теоретического распределения (штриховая линия на рис. 3). Заметим, что площадь, ограниченная полигоном и осью абсцисс, в том случае, если по оси ординат отложены значения относительных частот, также равна единице. Как видно из рис. 3, кривая теоретических распределений имеет идеальную форму, к которой стремится реальный полигон, и она играет важную роль в теоретических исследованиях. Кстати, кривая похожа на кривую нормального распределения.

Для выяснения того, соответствует ли данное распределение результатов измерения нормальному распределению, иногда используют специальную вероятностную бумагу, называемую нормальной вероятностной бумагой. Представление данных на такой бумаге осуществляется следующим способом.

На основе полученных в результате измерения параметров качества значений абсолютных частот или соответствующих частостей подсчитывают накопленные частоты (частости). Накопленная частота (частость) каждого значения параметра качества получается суммированием всех частот (частостей), предшествующих значениям параметра.

График накопленных частот представляет собой кумулятивную кривую (кумуляту). Часто ее называют интегральной кривой. Кумулятивная кривая строится как для дискретного, так и для непрерывного изменения значений параметра. При этом следует отметить, что накопленные частоты (частости) интервального ряда относятся не к серединам интервалов, а к верхним границам каждого из них. Высота последней ординаты соответствует объему наблюдений всего ряда, или 100%. Зависимость на рис. 4 представляет собой полигон, построенный на основе таблиц накопленных частот, и носит название накопленного полигона, а ломаная кривая (штриховая линия) представляет собой кумулятивную кривую. Кумулятивная кривая имеет более плавный характер изменения, чем гистограмма или полигон частот, ибо накопление приводит к сглаживанию. Значения накопленных частот, соответствующих одно-, двухи трехкратному стандартному отклонению значения параметра качества от среднего значения исследуемого статического ряда, наносят на нормальную вероятностную бумагу.

В результате имеют на ней шесть точек: три точки, соответствующие большему значению параметра качества относительно его среднего значения, и три точки, соответствующие меньшему его значению (рис. 5). Если точки хорошо ложатся на прямую, то можно говорить о соответствии статистических данных нормальному распределению.

В данном примере точки не легли точно на прямую, но оказались довольно близко к ней. Поэтому можно сделать вывод о том, что результаты измерения имеют распределение, близкое к нормальному. Хотя распределение данных и близко к нормальному, точки на рис. 5 в начале и в конце заметно отклоняются от прямой, что, в общем-то бывает часто.

Рис. 4. Кумулятивная кривая

Из рассмотренных графических изображений становится понятным преимущество гистограммы при визуальной оценке закона распределения случайной величины. Однако не только в этом преимущество гистограммы, которая признана инструментом контроля качества.

Рис. 5. Расположение экспериментальных точек на нормальной вероятностной бумаге

Гистограмма также очень удобна для визуальной оценки расположения статистических данных в пределах допуска. Чтобы оценить адекватность процесса требованиям потребителя, мы должны сравнить качество процесса с полем допуска, установленным пользователем. Если имеется допуск, то на гистограмму наносят верхнюю () и нижнюю () его границы в виде линий, перпендикулярных оси абсцисс, чтобы сравнить распределение параметра качества процесса с этими границами. Тогда можно увидеть, хорошо ли располагается гистограмма внутри этих границ. Так, на рис. 6 приведена гистограмма значений коэффициентов усиления 120 проверенных усилителей. В технических условиях (ТУ) на эти усилители указано номинальное значение коэффициента усиления на этот тип усилителей, равный 10 дБ. Номинальное значение представляет собой математическое ожидание, т. е. среднее значение коэффициента усиления для данного типа усилителя при его производстве, которое можно рассматривать как генеральную характеристику, а совокупность всех значений коэффициентов усилений выпускаемых усилителей — генеральную совокупность. В ТУ установлены также допустимые пределы изменения коэффициента усиления: нижняя граница допуска соответствует 7,75 дБ, а верхняя =12,25 дБ. При этом ширина поля допуска T определяется как величина, равная разности значений верхней и нижней границ допуска, т. е. Если бы расположить все 120 значений коэффициентов усиления в ранжированный ряд, то можно было бы убедиться, что все они лежат в пределах поля допуска, что создает иллюзию отсутствия проблем и, следовательно, отсутствия необходимости дальнейшего анализа, так как качество процесса в этом случае лежит в пределах поля допуска, установленного потребителем. В отличие от этого гистограмма сразу показывает, что распределение коэффициентов усиления хотя и находится в пределах поля допуска, но значительно сдвинуто в сторону нижней границы и у большинства усилителей значение этого параметра качества меньше номинала. Это, в свою очередь, дает дополнительную информацию для дальнейшего анализа и принятия решения.

Рис. 6. Гистограмма значений коэффициентов усиления усилителей

Если гистограмма имеет симметричный (колоколообразный) вид, то можно предполагать гауссовский закон распределения случайной величины. В этом случае среднее значение гистограммы приходится на середину размаха данных. Наивысшая частота оказывается в середине и постепенно снижается в обе стороны. Эта форма встречается чаще всего, в связи, с чем такой тип гистограмм называют обычным.

Когда выяснено, что гистограмма следует гауссовскому (нормальному) закону распределения, становится возможным исследование воспроизводимости процесса, т. е. определяется неизменность основных параметров процесса: среднего значения или математического ожидания М (х) и стандартного отклонения во времени. Оно важно при оценке процесса с помощью выборочных данных, когда требуется выяснить вероятность пересечения распределения генеральной совокупности границ поля допуска и появления в связи с этим несоответствия требованиям потребителя (пользователя). Если процесс имеет нормальное распределение, то не представляет труда определить возможность выхода распределения генеральной совокупности при заданных значениях М (х) и исхода из сравнения соответствующих трехсигмовых пределов и пределов поля допуска. Однако при этом необходимо учитывать следующую особенность. Из рис. 7 видно, что если брать в качестве границ допуска трехсигмовые пределы, то годными будут считаться 99,73% всех данных генеральной совокупности и только 0,27% данных будут считаться несоответствующими требованиям потребителя (пользователя), так как они расположены за границами заданного поля допуска. Таким образом, часть годных данных (0,27%) считают несоответствующими требованиям, и в этом состоит особенность трехсигмовых пределов, которые применяют на практике, сравнивая распределение данных с устанавливаемыми границами допуска.

Рис. 7. К понятию годности при выборе трехсигмовых пределов

С учетом сказанного предполагаемые годные (соответствующие трехсигмовым пределам) данные будем обозначать через С и их количество будет определяться трехсигмовыми пределами, т. е. и, учитывая, что = 1, С = 6. Для количественной оценки того, сколько из предполагаемых годных данных вошло в поле допуска, используют так называемый коэффициент годности :

Следует заметить, что коэффициент годности, представленный в данной формуле, является частным случаем коэффициента точности, который применяется при анализе воспроизводимости процесса по критериям точности и стабильности и который при сохранении тех же, что и в формуле обозначений, имеет следующий вид:

.

где — коэффициент, зависящий от типа распределения исследуемых данных (для гауссовского закона распределения =6, для закона равной вероятности =3,464 и т. д.).

В подавляющей части зарубежной литературы последнее отношение принято называть отношением или индексом годности.

Исследование воспроизводимости процесса с помощью позволяет оценить качество процесса в соответствии с требованиями потребителя. Чем больше величина, тем выше качество процесса и тем меньше вероятность несоответствия его выхода ожиданиям потребителя.

Для оценки вклада в протекание процесса систематических изменений применяют еще один индекс годности, который называют коэффициентом смещения (К), с помощью которого можно оценить изменение среднего значения распределения от его значения, заданного потребителем (рис. 8).

Рис. 8. Гауссовское распределение погрешностей параметров качества процесса при различных значениях коэффициентов смещения

Коэффициент смещения подсчитывается по следующей формуле:

где — абсолютное смещение среднего значения контролируемого параметра от начала координат (см. рис. 8).

Чем меньше К, тем меньше вклад систематических изменений в ходе процесса.

Часто на практике для оценки смещения среднего значения применяют индекс годности, когда в знаменателе вместо Т используют С, а в числителе вместо подставляют наименьшее значение разности между средним значением и границей допуска.

Когда не смещено от центра поля допуска, т. е., то значение не подсчитывается, а изменчивость процесса в этом случае определяется только изменчивостью стандартного отклонения. Различные значения индексов годности в зависимости от вида гауссовского распределения приведены на рис. 9.

Как видно из рис. 9, для оперативной количественной оценки того, насколько хорошо процесс отвечает предъявляемым требованиям, достаточно применения индекса годности. Существует следующее правило:

— процесс в удовлетворительном состоянии;

— процесс отвечает предъявляемым к нему требованиям;

— процесс не отвечает предъявляемым требованиям.

Рис. 9. Значения индексов годности в зависимости от параметров и s гауссовского распределения