Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов (на примере учебников по алгебре под ред. Г. В. Дорофеева)

Министерство Образования и науки Российской Федерации Вятский Государственный Гуманитарный Университет Математический факультет Кафедра математического анализа и методики преподавания математики Выпускная квалификационная работа

Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7 — 9 классов

(на примере учебников по алгебре под ред. Г. В. Дорофеева)

Выполнила студентка V курса математического факультета

Никифорова М.А.

/подпись/

Научный руководитель к.п.н., доцент Крутихина М.В.

/подпись/

Рецензент к.п.н., доцент Ситникова И.В.

/подпись/

Допущена к защите в ГАК Зав. кафедрой 6

Крутихина М.В.

" «6

Декан факультета 6

Варанкина В.И.

" «6

КИРОВ

• Введение 3
• § 1. Теоретические основы изучения функциональной линии в курсе алгебры основной школы 6
• 1.1. Цели место и изучения функциональной линии 6
• 1.2. Анализ школьной программы 9
• 1.3. Подходы к изучению понятия «функция» 10
• 1.4. Функциональная пропедевтика 11
• 1.5. Введение понятия функции, способов её задания и исследова-ния… 12
• § 2. Методические рекомендации по изучению функциональной линии по учебникам «Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс», «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» для 8 и 9 классов под редакцией Г. В. Дорофеева. 16
• 2.1. Характеристика комплекта учебников под редакцией Г. В. Дорофеева 16
• 2.2. Методические рекомендации по изучению функциональной линии в 7 классе 18
• 2.3. Методические рекомендации по изучению функциональной линии в 8 классе 19
• 2.4. Методические рекомендации по изучению функциональной линии в 9 классе 39
• 2.5. Опытное преподавание 53
• Заключение 55
• Список литературы 57
• Приложение 1 61
• Приложение 2 69

Понятие функции является одним из важных понятий математической науки и представляет большую ценность для школьного курса математики. Русский математик и педагог А. Я. Хинчин указывал, что понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важных понятий школьного курса математики, но тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которых группируется всё математическое представление.

В настоящее время появилось много новых школьных учебников по математике. При изучении в основной школе некоторые учителя сейчас используют учебный комплект по алгебре под редакцией Г. В. Дорофеева. Методические рекомендации по изучению функциональной линии по данному учебнику ещё не разработаны, поэтому работа по созданию таких методических рекомендаций весьма актуальна. При этом предложенные в данной работе методические рекомендации могут быть использованы для любого действующего учебника по алгебре. Это способствует развитию интеллектуальных умений и творческих способностей учащихся; развитию различных форм мыслительной деятельности, а также усиливает подготовку по теме.

Цель исследования состоит в изучении функциональной линии в курсе алгебры 7−9 классов и разработке методических рекомендаций по изучению данной темы по учебникам алгебры под редакцией Г. В. Дорофеева.

Объектом исследования являются процесс обучения алгебре в 7−9 классах.

Предметом исследования является процесс изучения функциональной линии в курсе алгебры 7−9 классов по учебникам алгебры под редакцией Г. В. Дорофеева.

Гипотеза.

Изучение функциональной линии будет более эффективным, в том случае когда:

1) в 5−6 классах проводится функциональная пропедевтика;

2) понятие «функция» вводится конкретно-индуктивным путём, при использовании генетического подхода;

3) исследование конкретных функций, то есть изучение её свойств, проводится комбинированным методом;

4) существенное внимание уделяется формулировке свойств на различных языках (словесном, графическом, аналитическом);

5) используется функциональная символика.

Учебники по алгебре под редакцией Г. В. Дорофеева дают возможность для осуществления этих рекомендаций.

Для реализации поставленных целей решались следующие задачи:

1) Выяснить роль, содержание и место функциональной линии в различных учебных комплектах по математике. Определить способы исследования функций в каждом из рассмотренных учебников.

2) Выявить особенности учебного комплекта по алгебре под редакцией Г. В. Дорофеева.

3) Проанализировать учебники [36], [35], и разработать методические рекомендации по изучению функциональной линии в данных учебниках.

4) Разработать уроки по теме «Линейная функция, её свойства и график», так как именно эта функция изучается первой и является базовой в исследовании свойств функций.

5) Показать возможности развития функциональной линии во внеклассной работе.

6) Осуществить опытное преподавание.

Для достижения поставленных целей использовались следующие методы исследования:

1) Изучение математической, методической и психолого-педагогической литературы.

2) Анализ школьной программы по математике.

3) Анализ учебных комплектов по алгебре для 7−9 классов.

4) Опытное преподавание.

5) Наблюдение за учащимися во время проведения факультативных занятий по математике.

§ 1. Теоретические основы изучения функциональной линии в курсе алгебры основной школы.

1.1. Цели место и изучения функциональной линии.

Цели:

1. Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и конкретностью, как понятие функциональной зависимости. Ученик буквально на каждом шагу встречается с разными применениями функциональной зависимости, в том числе изображённой в виде графиков и диаграмм, чтение и составление которых предполагает определённое функциональное мышление.

2. Это понятие, как ни одно другое воплощает в себе черты современного математического мышления, приучает мыслить величины в их изменяемости и взаимосвязи, таким образом, идея функции способствует усвоению учащимися основ диалектического мировоззрения.

3. Понятие функции — это основное понятие высшей математики, поэтому качество подготовки учащихся средней школы к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно данное понятие изучено в школе.

4. Многие понятия школьного курса математики строятся на понятии функции, а также решение многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции, используют знания о ней. Идея функции может быть использована и в геометрии.

Итак, изучение понятия функции — это не только одна из важнейших целей преподавания математики в школе, но и средство, которое даёт возможность связать общей идеей разные курсы математики, установить связь с другими предметами (физикой, химией),

Место изучения функциональной линии в различных учебниках:

В школьных учебниках место изучения функций различно.

В учебниках [10], [12], в 7 классе вводятся понятия функции (как зависимость одной переменной от другой), аргумента, области определения функции, графика функции, рассматриваются способы задания функции. Там же изучается прямая пропорциональность, линейная функция и степенные функции вида у = х², у = х³, их свойства и графики. В 8 классе рассматриваются обратная пропорциональность и функция. В 9 классе вводятся понятия возрастающей и убывающей функций, чётности и нечётности функций. Рассматриваются квадратичная функция (её график и свойства), простейшие преобразования графиков (на примере квадратичной функции) и степенная функция с натуральным показателем.

В учебниках [11], [13], понятие функции вводится в 7 классе, как зависимость одной переменной от другой. Но здесь не вводится понятие аргумента, области определения функции, а рассмотрены только способы задания функции и график функции. После этого изучаются прямая пропорциональность и линейная функция, их графики. В 8 классе рассматривается квадратичная функция, сначала изучается график и свойства функции затем и. В 9 классе вводятся понятия области определения функции, возрастание и убывание функции, чётность и нечётность функции. Рассматриваются обратная пропорциональность и степенная функция .

В учебниках [2], [5], функция начинает изучаться в 7 классе. Здесь рассматриваются линейное уравнение с двумя переменными и его график, линейная функция, прямая пропорциональность и функция, их графики. Учащиеся учатся находить наибольшее и наименьшее значения этих функций на заданном промежутке. Вводится понятие о непрерывных и разрывных функциях, разъясняется запись, а также вводится функциональная символика. В 8 классе рассматриваются следующие функции:, ,, и их графики. В 9 классе вводятся определение функции, способы задания функции, область значения, область определения функции, свойства функций: монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, чётность и нечётность. Даны наглядно-геометрические представления о непрерывности и выпуклости функции. Произведён обзор свойств и графиков известных функций:, ,, ,, ,. А так же рассмотрены функции и, их свойства и графики, построение графика функции по известному графику функции. Кроме того, в 9 классе введены элементы теории тригонометрических функций и, их свойства и графики.

В учебниках [1], [4], изучение функциональной линии начинается в 7 классе. Здесь вводится понятие функции, таблица значений и график функции, пропорциональные переменные. Учащиеся знакомятся с прямой пропорциональностью, с линейной функцией, с функцией их свойствами и графиком, а также с графиком линейного уравнения с двумя переменными. В 8 классе изучается функция, в 9 классе рассматривается квадратичная функция и функция (особое внимание уделяется случаю n = 3).

В учебниках [3], [6], изучение функциональной линии начинается в 8 классе. Вводятся понятия функции, её графика, рассматриваются функции, ,, прямая пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, их свойства и графики. В 9 классе изучается степенная функция. Кроме того, здесь могут быть рассмотрены функции, ,, и. Но этот материал не является обязательным для изучения. На этом изучение функциональной линии (в основной школе) в данном комплекте заканчивается.

Итак, можно сделать вывод, что в учебниках [2], [5], функциональная линия является ведущей (здесь рассмотрены понятия и функции, которым не придаётся значения в других учебниках, например, непрерывность и выпуклость, функции, ,). В других учебниках (выше рассмотренных) внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии в этих учебниках умеренное. В рассмотренных учебниках содержание и место изучения данной содержательной линии отличается не существенно.

В различных учебниках используются различные способы исследования функции.

В учебниках [10], [12], применяется комбинированный метод в 7 и 8 классе, а в 9 классе — аналитический. В учебниках [11], [13], [15], [1], [4], используется комбинированный метод, в учебниках [2], [5], — графический метод.

1.2. Анализ школьной программы.

Функциональная линия — это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Изучаются линейная функция у = кх + b, степенные функции вида у = х², у = х³, квадратичная функция у = ах² + bх + с, обратная пропорциональность, функция, содержащая знак модуля, а также функции и, где n — натуральное число.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

Ш понимать, что функция — это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

Ш правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;

Ш находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

Ш находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;

Ш строить графики функций — линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;

Ш интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

1.3. Подходы к изучению понятия «функция».

Выделяют два подхода к введению определения понятия функции:

1. Генетический подход.

2. Логический подход.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции примерно до середины XIX века. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), правило, декартова система координат.

Генетическое развёртывание функции обладает рядом достоинств. В нём подчёркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нём, выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определёнными на числовых промежутках), то есть происходит сужение объёма понятия функции.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, что строить обучение функциональным представлениям следует на основе методического анализа понятия алгебраической системы. Функция при таком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения. Подход основан на трактовке понятия функции более позднего времени: вторая половина XIX в. — XX в.

Логический подход охватывает множества разной природы. Такое определение по структуре простое, позволяет чётко дать некоторые определения, относящиеся к функциональной линии, которые при генетическом подходе сделать нелегко (обратная функция и так далее).

Таким образом, если генетический подход оказывается недостаточным для формирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживает определённую избыточность. Отметим, что различия в трактовках функции проявляется с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшем изучении функциональной линии различия постепенно стираются, поскольку изучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а в основном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразные приложения в задачах.

В настоящее время в школьном курсе математики используется генетический подход.

1.4. Функциональная пропедевтика.

Основные задачи пропедевтики решают функциональные упражнения. Часть таких упражнений рассматривается в начальных классах, основное внимание им должно быть уделено в 5−6 классах.

Виды упражнений:

1) Упражнения с переменными, например, вычисление значений буквенных выражений при различных значениях переменных. Такие задания постепенно приводят к понятию функции и готовят учащихся к усвоению аналитического способа задания функции. При решении таких упражнений вычисления лучше записывать в форме таблицы, что готовит учеников к усвоению табличного способа задания функции.

2) Упражнения на составление формул при решении задач и наоборот задач по готовым формулам.

3) Упражнения на изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов, например, как изменяется сумма, если слагаемое изменяется на столько-то.

4) Упражнения на координатной прямой, координатной плоскости и в чтении графиков.

В 5 классе учащиеся должны уметь решать 2 задачи: изображать точку по координате и находить координату точки на луче, а в 6 классе эти задачи переносятся на координатную плоскость.

1.5.

Введение

понятия функции, способов её задания и исследования.

Введение

понятия функции.

Для введения понятия функции используется конкретно-индуктивный путь, поэтому полезно использовать метод проблемного изложения, разобрать несколько задач с подчёркиванием существенных признаков понятия (одна переменная зависит от другой, однозначная зависимость). Примеры должны быть разнообразными по содержанию, несущественные признаки должны варьироваться (несущественным является способ задания функции: формула, график, таблица). Необходимо подобрать контрпример для разных способов задания функции, выделить критерий, по которому можно определить, является ли зависимость функциональной (при каждом способе задания).

Критерии:

Ш Если зависимость задана таблицей, то в первой строчке не должно быть одинаковых чисел.

Ш В случае, когда функция задана графически, то любая прямая, параллельная оси Оу, должна пересекать график не более чем в одной точке.

Ш Если функция задана аналитически, то нужно следить за единственностью значений соответствующих зависимостей, например, .

При введении понятия «функция» следует обратить внимание на переход от одной формы задания функции к другой. В школе, как правило, он осуществляется по схеме: аналитическая модель таблица график. Для введения конкретных функций лучше использовать схему: словесная модель таблица график аналитическая модель.

Очень важно, чтобы учащиеся понимали, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком, но не всякая (некоторые функции, заданные графически, не могут быть заданы формулой, например, кардиограммы).

При введении записи необходимо, чтобы учащиеся понимали смысл буквы f, которая означает закон соответствия.

Способы исследования функций:

Содержание этой учебной задачи заключается в том, чтобы средствами, которыми владеют учащиеся в это время, устанавливать все свойства функции.

Выделяют три способа исследования функции: аналитический (исследование элементарными средствами и исследование с помощью производной), графический и комбинированный метод.

Результатом аналитического метода является построение графика функции. При исследовании используются уравнения и неравенства.

При графическом методе по точкам строится график, и с него считываются свойства.

Комбинированный метод используется в двух смыслах:

1) часть свойств обосновывается аналитически, а часть — графически;

2) сначала строится график по точкам, считываются свойства, а затем они доказывается без всякой опоры на график.

Необходимо уже в основной школе чётко разграничивать языки, на которых рассматриваются свойства функций: словесный, графический, аналитический.

Схема для чтения свойств функции :

Схема изучения конкретных функций:

1. Рассмотреть конкретные ситуации (или задачи), приводящие к данной функции.

На этом этапе изучения учащиеся должны убедится в целесообразности изучения данной функции, исходя из соображений практики или необходимости дальнейшего развития теории.

2. Сформулировать определение данной функции, дать запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.

На этом этапе изучения учащиеся получают чёткое представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

3. Ознакомить учащихся с графиком данной функции.

На этом этапе учащиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, отличать по графику данную функцию от других, заданных графиком функций, устанавливать влияние параметров на характер графического изображения функции.

4. Исследовать функцию на основные свойства: области определения и значений, возрастание и убывание, промежутки знакопостоянства, нули, экстремумы, чётность или нечётность (или отсутствие этих свойств), периодичность, ограниченность, непрерывность.

5. Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.

Этот этап является этапом закрепления основных понятий и теоретических положений, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования соответствующих умений и навыков.

Эта методическая схема является своеобразным планом — программой для изучения любой функции, но нужно иметь в виду, что содержание материала и практика обучения вносят в неё соответствующие коррективы.

Итак, при изучении функциональной линии необходимо в 5−6 классе проводить функциональную пропедевтику. Понятие «функция» лучше вводить конкретно-индуктивным путём, при использовании генетического подхода, а исследование конкретных функций проводить комбинированным методом.

А сейчас перейдём к рассмотрению конкретного учебного комплекта по алгебре.

§ 2. Методические рекомендации по изучению функциональной линии по учебникам «Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс», «Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных» для 8 и 9 классов под редакцией Г. В. Дорофеева.

2.1. Характеристика комплекта учебников под редакцией Г. В. Дорофеева.

Учебники [36], [35], продолжают линию учебных комплектов [37], и развивают идеи, которые заложены в общей концепции курса математики. Переход к учебникам [36], [35], можно осуществить, как после учебников [37], [33], так и после других учебников по математике для 5−6 классов, так как содержание алгебраического и арифметического блоков совпадают с содержанием других учебников для 7−9 классов.

В учебниках математики [36], [35], теоретический материал изложен достаточно интересно, в них содержится много фактов из истории математики, что делает его ещё более интересным. В данных учебниках содержится много сведений, которые приведены без доказательств, но есть и много задач на доказательство.

Что касается системы задач, то в данном учебном комплекте он разделен на две части по уровню сложности. В первой части (её обозначают буквой «А») помещены упражнения, которые требуют от учеников лишь умений решать по алгоритму, а во второй части («В») даны упражнения, при решении которых требуется умение мыслить и анализировать. В основном в каждой группе «В» (в конце) содержится задача-исследование. Хотелось бы отметить, что в учебниках [36], [35], формулировки упражнений интересны, разнообразны и в них прослеживается практическая направленность и связь с другими науками (например, физикой и геометрией). Много внимания уделено вычислительной культуре учащихся, обеспечена уровневая дифференциация в обучении.

Учебник является непосредственным продолжением учебников и. В нём получают дальнейшее развитие арифметическая, алгебраическая и вероятностно-статистическая линии курса. Учебник продолжает линию учебных комплектов [37], [36]. В данном учебнике уделено много внимания формированию вычислительной культуры учащихся, обеспечена уровневая дифференциация в обучении алгебре. Учебник содержит большое количество разнообразных упражнений и дополнительный материал в рубрике «Для тех, кому интересно». Дальнейшее развитие получает вероятностно-статистическая линия курса. Учебник завершает непрерывный курс математики для 5−9 классов общеобразовательных школ. В учебниках, содержание которых полностью соответствует современным образовательным стандартам, учтены результаты опыта преподавания математики последних десятилетий, а также отражены современные методические и педагогические тенденции — усилено внимание к формированию вычислительной культуры в её современном понимании, а также к обучению логическим приёмам решения задач. Включен новый для российской школы материал — элементы статистики и теории вероятностей.

В данном учебном комплекте предусмотрена роль и место алгебраической пропедевтики. Постоянно используется буквенная символика. Преобразование буквенных выражений, решение задач с помощью уравнений отнесены к 7 классу, где возрастное развитие учащихся в большей степени соответствует деятельности по выполнению формальных операций.

Ещё одной особенностью курса является то, что часть материала (функция, тождество, равносильность уравнений) авторы переносят из 7 класса в 8, 9 классы. В старших классах основной школы уровень абстрактного мышления гораздо выше, чем в 7 классе, именно поэтому перенос оправдан.

В курсе начинают изучать новую содержательную линию «Анализ данных», что продиктовано самой жизнью, так как вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека. Поэтому школьный курс математики должен формировать соответствующие практические ориентиры, вооружать учащихся общей вероятностной интуицией, конкретными способами оценки данных.

Методическими особенностями учебного комплекта являются:

Ш обеспечение уровневой дифференциации;

Ш содержание материала организовано так, что происходит неоднократное возвращение ко всем принципиальным вопросам, причём на каждом следующем этапе учащиеся поднимаются на более высокий уровень;

Ш происходит опора на наглядно-образное мышление.

Итак, можно сделать вывод, что данный комплект отличается усиленным вниманием к арифметике, к формированию вычислительной культуры в её современном понимании: это прикидка и оценка результатов действий, проверка их на правдоподобие. Особое внимание уделяется обучению арифметическим и логическим приёмам решения текстовых задач. Каждая глава данного учебного комплекта содержит пункты: «Для тех, кому интересно», «Вопросы для повторения», «Задания для самопроверки».

2.2. Методические рекомендации по изучению функциональной линии в 7 классе.

Первоначальное знакомство с понятием функции происходит в 8 классе. Однако уже в 7 классе авторы учебника рассматривают такие функции, как линейная, степенные функции вида у = х², у = х³, функция, их графики (вводят названия этих графиков).

Данные выражения они называют зависимостью или связью абсциссы и ординаты точки (понятия абсциссы и ординаты даются перед рассмотрением данных функций). Также приведены некоторые свойства графиков функций (симметричность, расположение параболы относительно оси абсцисс, касание графика оси абсцисс). Даются понятия ветвей и вершины параболы. Эти функции рассмотрены в главе «Координаты и графики».

Таким образом, можно сделать вывод, что в данном учебнике роль функции ослаблена, т.к. в некоторых учебниках понятие функции вводится в 7 классе, и рассматриваются некоторые частные виды функций (линейная, обратной пропорциональности и т. д.). Например, в учебниках [10], в 7 классе рассмотрена линейная функция.

2.3. Методические рекомендации по изучению функциональной линии в 8 классе.

В 8 классе учебника функциональной линии посвящена одна глава «Функции».

Здесь рассматриваются следующие пункты:

1. Чтение графиков.

2. Что такое функция.

3. График функции.

4. Свойства функций.

5. Линейная функция.

6. Функция и её график.

Глава посвящена введению понятия функции, формированию представлений о свойствах функций, а также изучению линейной функции и функции. Изложение вопроса о функциях строится на базе опыта, приобретённого учащимися при изучении различных зависимостей между величинами, и большого запаса графиков, знакомых восьмиклассникам к этому моменту.

При изучении главы акцент делается не столько на определение понятия функции, сколько на введение нового языка, на овладение учащимися новой терминологией и символикой. Необходимо отметить, что новый язык постоянно сопоставляется с уже освоенным, то есть внимание обращается на умение переформулировать задачу или вопрос с языка функций на язык графиков или уравнений и наоборот. Так, в ходе изучения материала школьники учатся понимать эквивалентность таких формулировок, как: «найдите нули функций «, «определите, в каких точках график функции пересекает ось х», «найдите корни уравнения «.

При изложении материала много внимания уделяется графикам реальных зависимостей, важное место занимают практические работы, вопросы и задачи прикладного и практического характера. Учащиеся получают некоторые представления о скорости роста или убывания функции. Особенностью изложения материала является его прикладная направленность. При изучении линейной функции явно формулируется мысль о том, что с помощью этой функции описываются процессы, протекающие с постоянной скоростью, вводится идея аппроксимации. В ходе решения задач учащиеся моделируют с помощью изучаемых функций самые разнообразные реальные ситуации.

Примерное распределение учебного материала:

(Всего на тему отводится 14 часов)

В первом пункте «Чтение графиков» рассматривается три примера.

Пример 1: Родители измеряли рост сына каждые два года от 2 до 12 лет. Получились такие результаты:

Далее говорится о том, что родители построили график роста сына и объясняется, как нужно построить этот график. Затем по графику определяется, когда мальчик рос быстрее, а когда медленнее.

Этот пример позволяет повторить известный из курса 7 класса материал (глава 5, пункт 5.3 [3]) и продемонстрировать учащимся, как на графике отражается изменение скорости роста. Разбирая этот пример, следует обратить внимание на разные масштабы по осям. Вопрос о скорости роста в разные периоды времени, обсуждаемый в тексте, следует разобрать детально, так как к этому примеру учащиеся обратятся вновь при изучении линейной функции.

Два других примера демонстрируют возможность представления на одном чертеже сразу нескольких графиков: изменения веса двух детей, бега трёх спортсменов. Рассматривая эти графики, школьники учатся сопоставлять различные характеристики изображаемых процессов и извлекать самую разнообразную информацию, причём не только количественную.

При изучении этого пункта надо дать учащимся возможность активно поработать с графиками, так как для них график является опорным образом при усвоении понятий (таких, например, как свойства функций). В ходе анализа графиков разобрать все свойства функций, которые будут изучаться в следующих пунктах.

Система упражнений.

Большая часть упражнений — это задания, в которых по известным графикам нужно ответить на серию вопросов. Также здесь приведены упражнения, где по данной таблице требуется построить график и проанализировать его (например, строится график температуры, а проанализировать необходимо изменение температуры в течение месяца). Кроме того, есть задания, в которых описана конкретная ситуация и дано несколько графиков, ученикам необходимо выбрать, на каком из графиков описана эта ситуация.

При выполнении отдельных упражнений (по выбору учителя) полезно предлагать учащимся самим придумывать вопросы по графикам или же рассказывать, какую дополнительную информацию можно извлечь из этого графика.

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 691. Турист в течение 30 мин дошёл от лагеря до озера, расположенного в 2 км от лагеря, и, пробыв там 40 мин, вернулся обратно. На всю прогулку он затратил полтора часа. На каком из графиков (рис. 1) изображена описанная ситуация? (На вертикальной оси отмечено расстояние туриста от лагеря.)

Рис. 1

Это упражнение нужно обязательно разобрать с учениками, так как именно при решении таких упражнений у учащиеся формируется умение сопоставлять функцию и её график.

№ 693. Олег и Пётр соревновались на дистанции 200 м в 50-метровом бассейне. Графики их заплывов показаны на рисунке 2. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — соответствующее расстояние пловца от старта.

Используя графики, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени затратил каждый спортсмен на первые 50 м; на всю дистанцию? Рис. 2

б) Кто выиграл соревнование? На сколько секунд он обогнал соперника?

в) На сколько метров отстал проигравший от победителя к моменту финиша?

Прокомментируйте подробно весь ход соревнований.

В этом упражнении можно посоветовать учащимся перед ответом на поставленные вопросы рассмотреть графики. Целесообразно спросить их, что обозначает каждое звено изображённых на рисунке ломаных (отрезок ломаной описывает движение спортсмена на 50-метровке). Можно предложить аккуратно карандашом обозначить вершины ломаных буквами, что поможет не запутаться при ответе на вопросы.

Дополнительно, например, можно спросить, за сколько метров от финиша Пётр обогнал Олега; за сколько секунд каждый спортсмен проплыл половину дистанции; на сколько секунд быстрее Олег проплыл первую 50-метровку и др. Полезно предложить учащимся самим придумать вопросы по графику.

Выполнение задания 2 можно обыграть в форме соревнования комментаторов спортивного состязания.

№ 694. Используя графики, изображённые на рис. 2, постройте в одной системе координат графики движения этих же спортсменов, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной — расстояние, которое проплыл спортсмен с начала заплыва.

Определите по графику:

а) среднюю скорость движения каждого спортсмена на первой 100-метровке;

б) среднюю скорость движения каждого спортсмена на всей дистанции.

Объясните, что, с точки зрения содержания задач, означают точки пересечения графиков на рис. 2 и на вашем рисунке.

Здесь нужно посоветовать учащимся, что прежде чем строить новый график, целесообразно, используя график на рис. 2, составить таблицу значений новой зависимости.

Во втором пункте «Что такое функция» вводятся понятие функции, а также некоторые связанные с ним понятия: зависимая и независимая переменные, аргумент (независимую переменную называют аргументом), область определения функции (все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения функции). С этого момента начинает использоваться функциональная символика. Рассматриваются способы задания функции — графически, аналитически, таблично.

Функция трактуется как зависимая переменная, значения которой однозначно определяются значениями другой переменной (переменную у называют функцией переменной х, если каждому значению х из некоторого числового множества соответствует одно определённое значение переменной у). Таким образом, можно сделать вывод, что для введения понятия функции используется генетический подход.

Цель изучения данного пункта — это ознакомление учащихся с различными ситуациями, в которых употребляется термин «функция», введение нового словаря и обучение его применению. В тексте специально подчеркивается многозначность слова «функция» и широкий диапазон его применения в математике — для обозначения и зависимой переменной, и самой зависимости, и правила, по которому устанавливается зависимость между переменными.

Особенностью принятого подхода является его явный прикладной характер (само понятие функции вводится и иллюстрируется на основе зависимостей, взятых из реальной жизни). Обращается внимание на некоторые различия в применении символики в математике и в физике, обсуждается вопрос о сужении области определения функции в практических задачах — физических, геометрических и т. д.

Система упражнений.

В данном пункте содержатся упражнения на задание формулами функций, описывающих самые разнообразные реальные ситуации (это не новая для учащихся работа, они уже много раз задавали зависимости с помощью формул). В ходе выполнения указанной группы упражнений школьники овладевают новыми понятиями и осваивают введённую терминологию. Часть упражнений этого пункта направлены на усвоение функциональной символики (при выполнении некоторых из них учащимся придётся переводить на символический язык содержательные утверждения о функциях, то есть учится различными способами выражать одну и ту же мысль). Кроме того, есть задания, где по данному значению аргумента необходимо найти значение функции и, наоборот, по значению функции найти значение аргумента с использованием формулы и графика.

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 700. Число диагоналей p выпуклого многоугольника является функцией числа его сторон n. Задайте эту функцию формулой. Какова её область определения? Заполните таблицу, в которой даны некоторые значения аргумента n и функции p:

Проинтерпретируйте полученные результаты на геометрическом языке.

В этом задании от учащихся требуется применить некоторые знания из геометрии.

Рассмотрим, как составляется эта функция.

Каждая из п вершин соединяется диагональю со всеми остальными вершинами многоугольника, кроме двух соседних, т. е. с (п — 3) вершинами. Умножив п на, получим удвоенное число диагоналей многоугольника (так как каждая диагональ при таком способе подсчета посчитана дважды). Чтобы получить число диагоналей многоугольника, надо это произведение разделить на 2. Получаем формулу, выражающую число диагоналей многоугольника через число его сторон: .

Область определения функции: п — натуральное число, п ? 4.

Последнее задание требует от учащихся умения объяснять числовой результат. Комментарии могут быть разными, например: «Если в многоугольнике 14 диагоналей, то у него семь сторон», «В семиугольнике 14 диагоналей» и так далее.

№ 710. Дана функция Найдите значение этой функции для значения аргумента, равного -3; -2;0; 0,1; 5.

Основная трудность для учащихся — определить, в какую формулу подставлять заданные значения аргумента. Поэтому полезно сначала предложить ученикам назвать несколько значений х, для которых значение функции вычисляется по формуле, и найти значение функции для кого-нибудь из названных значений х. Затем пусть учащиеся назовут несколько значений х, для которых значение функции равно 5.

Упражнение следует выполнять подробно — для каждого из данных чисел определить, к какому из промежутков оно принадлежит и по какой формуле надо вести вычисление (следовательно, и т. д.).

№ 711. Дана функция Найдите значение этой функции при значении аргумента, равном:

а);; ;

б) ; ; .

Это задание аналогично заданию № 710, но в вычислительном отношении труднее. Полезно ввести подробную запись:

б) =;

;

.

№ 717. Пусть,. Найдите:

а) ;

в) .

Это более сложное задние на понимание символических записей, на их раскодирование. В пункте в) учащиеся фактически имеют дело со сложной функцией. Однако здесь, конечно, это понятие не вводится.

Чтобы понять смысл такой записи, как, надо просто внимательно её прочитать, а именно: значение функции f при значении аргумента, равном. Теперь ясно, как найти значение данного выражения:, .

В результате изучения пункта учащиеся должны понимать и правильно употреблять функциональную терминологию (функция, аргумент, область определения функции), записывать функциональные соотношения с использованием символического языка (). В несложных случаях выражать формулой зависимость между величинами, находить по формуле значение функции, соответствующее данному аргументу, и аргумент, которому соответствует данное значение функции.

В третьем пункте «График функции» вначале введены новые обозначения для числовых промежутков, которые уже рассматривались в 7 классе и задавались с помощью неравенств: отрезок, интервал, луч (замкнутый и открытый). Таким образом, с этого момента учащиеся могут пользоваться любым из обозначений. Например, множество чисел, больших 2, можно обозначать двумя способами: х > 2 и (2; +?).

После этого вводится собственно материал, связанный с графиками функций. Рассматриваемые в пункте две задачи являются центральными на данном этапе изучения материала. Первая — это нахождение с помощью графика значения функции, соответствующего заданному значению аргумента, а также значений аргумента, которым соответствует данное значение функции. Вторая — это построение графиков функций по точкам.

Пример, рассматриваемый в заключении, помогает разъяснить, что не всякое уравнение или график задают функцию.

Система упражнений.

В этом пункте содержатся упражнения на определение принадлежности точки графику, на сопоставление графиков и функциональных зависимостей, на определение точек пересечения графика с осями координат, на доказательство (например: докажите, что график функции целиком расположен в верхней полуплоскости). Большое внимание в упражнениях уделяется также построению графиков функций, заданных самыми разными формулами, по точкам, с помощью составления таблиц значений.

Комментарии к некоторым упражнениям:

№ 721. а) На рисунке 3 изображён график некоторой функции. Составьте по графику таблицу значений функции на промежутке [-1; 2] с шагом. Воспроизведите этот график в тетради.

б) Функция задана графиком (рис. 4). Составьте таблицу значений функции на промежутке [-1; 5] с шагом 0,5. воспроизведите этот график в тетради.

Рис. 3 Рис. 4

При выполнении таких упражнений изменяется форма задания функции без изменения способа задания. Оно полезно для формирования умения читать и строить график функции. При выполнении этого упражнения, для предупреждения ошибок, следует обратить внимание учащихся на масштаб по оси х и по оси у. Следует также заметить, что при построении графика в тетради можно взять другой масштаб, например, увеличить график, приняв за единицу 4 клетки.

№ 724. Составьте таблицу значений функции и постройте её график:

а), где ;

б), где .

Квадратичная функция еще не изучалась. Поэтому, чтобы аккуратно построить график, надо взять достаточно много точек из данного промежутка, например, рассматривать значения х с шагом 0,1 (или 0,2). Для облегчения работы можно воспользоваться калькулятором. Было бы хорошо, если бы работа выполнялась на миллиметровой бумаге.

Прежде чем составить таблицу значений функции, полезно обратить внимание на то, что отрезок и симметричен, поэтому составление таблицы может быть сокращено. Если сами учащиеся не заметят этой особенности формулы, можно навести их на эту мысль.

№ 738. На рис. 5 изображены графики функций, , и. Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 5

Чтобы соотнести график с соответствующей ему функцией, нужно использовать разные признаки. Так, график I целиком расположен ниже оси х. Это означает, что при всех значениях аргумента функция принимает отрицательные значения. Значит, этому графику может соответствовать одна из формул или (выражение, стоящие в правых частях, принимают отрицательные значения при всех значениях х). Чтобы выбрать из них нужную, вычислим ординату точки пересечения соответствующего формуле графика с осью у. Получим, что график функции проходит через точку (0; -1). Значит, графику I соответствует именно эта формула. Графику II соответствует формула, графику III — формула и графику IV — формула, .

В результате изучения данного пункта школьники учатся описывать графическую ситуацию по-разному, используя геометрический, алгебраический, функциональный языки. Например: «функция у = f(x) принимает значение, равное 0, при х = -1 и х = 2», «график функции у = f(x) пересекает ось х в точках с абсциссами, равными -1 и 2», «уравнение f(x) = 0 имеет корни -1 и 2». То есть, учащиеся должны понимать эквивалентность соответствующих формулировок и свободно переходить от одной из них к другой.

В следующем пункте «Свойства функций» рассмотрены такие свойства функции:

1) область определения;

2) наибольшее и наименьшее значение функции;

3) нули функции;

4) промежутки знакопостоянства;

5) промежутки возрастания и убывания функции.

Цель данного пункта — это показать наглядно с помощью графиков смысл вводимых понятий. Формализация свойств функций отнесена к старшим классам. Здесь же важно, чтобы учащиеся правильно употребляли новые термины, понимали, как указанные свойства отражаются на графике, и умели по графику отвечать на вопросы, касающиеся свойств функций.

Заметим, что усвоение свойств функций и, как следствие, выполнение заданий на установление свойств функции по ее графику, традиционно вызывает трудности у учащихся. Наиболее часто ученики путают промежутки возрастания или убывания с промежутками, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Параболу, ветви которой направлены вверх (вниз), многие считают графиком возрастающей (убывающей) функции. Для предупреждения подобных ошибок необходимо, чтобы свойства функций воспринимались учащимися осмысленно, а не формально. Этому может помочь обращение к содержательным графикам, например, к графику температуры. Учащимся стоит разъяснить, что как по графику температуры легко выяснить нужную информацию, так и график любой функции наглядно отражает все её свойства. Тот большой опыт работы с графиками реальных зависимостей, который приобрели учащиеся к данному моменту, поможет им перекинуть мостик от содержательных задач, связанных с графиками, к графикам произвольных функций.