Толстые хвосты и фрактальная размерность рынка

К сожалению, изменение цен биржевых активов не может быть описано простым случайным процессом типа «белого шума». Широко известно, что доходности не подчиняются Гауссовому распределению, а описываются так называемыми распределениями с «толстыми» хвостами и высокими пиками. Это имеет место на любых масштабах. Высокий пик распределения свидетельствует о наличии «памяти» на рынке (и, следовательно, говорит о применимости технического анализа, а с ним и идеологем МТС). С другой стороны, — «толстые хвосты» распределений определяют высокую вероятность появления на рынке событий от 4-х до 6-ти, то есть событий отклоняющихся от средних на величину от 4-х до 6-ти среднеквадратичных отклонений. Данные события легко могут быть найдены на любом масштабе. Так называемые «крахи» (или катастрофы, а также спекулятивные пузыри) на дневных или недельных графиках представляют собой именно эти события. Существенные провалы и всплески котировок, вызванные со спекулятивным сбросом или скупкой бумаг (как говорят трейдеры «проливы» и «выносы»), достаточно часто встречаются на внутридневных графиках, и на своем масштабе также являются событиями с большим сигма. Ниже показано реальное распределение дневных доходностей индекса РТС и аппроксимирующее его нормальное распределение.

На рисунке хорошо виден как высокий пик в окрестности среднего значения доходности, так и толстые или «тяжелые» хвосты функции плотности распределения. С точки зрения распределения Гаусса вероятность появления событий значительно уклоняющихся от средних значений — так называемых выбросов, — экспоненциально уменьшается и практически равна нулю на всех масштабах. Тем не менее, рынки на всех масштабах демонстрируют нам такие события и не учитывать их — значит существенно недооценивать риски. С точки зрения разработчика торговых систем такой учет позволяет легко понять, как поведет себя торговая система при коллапсе рынка.

Одним из способов описания рынка является переход в фазовое пространство доходностей r_i и анализ получающихся временных рядов. Основным показателем здесь является простая волатильность, которая есть среднеквадратичное отклонение доходностей r_i финансового актива, вычисленная на основе N торговых периодов:

.

(1).

где — цена закрытия i-го интервала. Обычно, в качестве интервалов используют дневной промежуток и говорят при этом о дневной волатильности. Если за интервал принимают час, то такую волатильность уместно назвать часовой волатильностью и так далее.

Если бы распределение доходностей подчинялось нормальному распределению, то знание волатильности, измеренной на временном периоде, давало бы значение волатильности на временном периоде T согласно известной формуле Эйнштейна:

(2).

Так, волатильность в расчете на год будет:

_Y = _D250, (3).

где 250 — число торговых дней в году, а _D — дневная волатильность. К сожалению формулы (2) и (3) неверны практически для всех финансовых рынков и не описывают их существенные свойства: наличие памяти и склонность к большим выбросам. И то, и другое свойство рынка может быть учтено в модели фрактальной природы рынков [2]. Данная модель утверждает, что рынки самоподобны на различных временных масштабах, а волатильности, вычисленные на базе разных временных интервалов соотносятся друг с другом по следующей формуле:

Более того, утверждается, что дисперсия и волатильность растут с ростом масштаба быстрее, чем это предписано нормальным законом распределения, то есть H>0.5. Показатель степени H называется показателем Херста. Случай H=0.5 соответствует случайному блужданию Броуновской частицы, то есть процессу полностью лишенному памяти.

Для оценки показателя Херста мы проанализировали биржевые котировки акций НК ЛУКОЙЛ и РАО ЕЭС на временных интервалах от минутных до месячных. Результаты представлены на Рис. 2.

Рисунок 2. Зависимость логарифма волатильности акций НК ЛУКОЙЛ и РАО ЕЭС от логарифма масштаба.

Первая точка (T=1) соответствует одноминутным интервалам, вторая — 5-тиминуткам. Далее следуют 10-ти, 15-ти и 30-ти минутные интервалы, затем: час (T=60), два и четыре часа, день (T=495), неделя (T=2475) и месяц (T=10 692). Для расчета волатильности по минутным графикам использовались выборки размера 50 тысяч точек, для прочих периодов — выборки размера 1000 точек. Исключение было сделано для месячных периодов, каковых было меньше тысячи в силу относительной молодости рынка. фрактальный волатильность тестирование торговая Прекрасно видно, что при логарифмировании масштаба времени и волатильности, полученные значения хорошо укладываются на прямую линию, что и подтверждает степенной характер роста волатильности с ростом масштаба, то есть формулы (4). На этом же графике нанесены линии регрессий, позволяющие вычислить показатель H, а также показан случай «белого шума» H=0.5. Случай «белого шума» лежит далеко вне 95-ти процентного доверительного интервала для показателя H. Это позволяет утверждать, что рынок ликвидных бумаг действительно обладает фрактальными свойствами.

На первый взгляд отличие показателя H=0.64 от 0.50 не выглядит впечатляющим, но на самом деле оно более чем драматично. Так, например, учет рисков сделанный по результатам дневных торгов в пересчете на год по формуле (3) дает величину, заниженную более чем в два раза по сравнению с той, которая получится из формулы (4) и использовании реального показателя H.