Арбитраж на основе подразумеваемой волатильности

Арбитраж на основе волатильности не является таковым с экономической точки зрения, то есть когда на различных рынках один и тот же актив имеет разную стоимость. В данной работе речь пойдет об эквивалентном арбитраже, то есть когда возникает разница в ожидаемых и реальных ценах. Арбитраж волатильности иногда еще называют торговлей волатильностью. Считается что инвестор «покупает» волатильность вместе с покупкой опциона «call» и хеджирует позицию таким образом, чтобы в результате портфель был дельта-нейтральным. Осуществление арбитража волатильностью заключается в следующем. Сначала инвестор выбирает некоторый базовый актив и вычисляет подразумеваемую волатильность на основе его цены и цены опциона. Причем, как сказано в книге Macmilan (2002), лучше рассчитывать подразумеваемую волатильность за довольно длинный промежуток времени, например, один год, если есть возможность. Потому что важно изменение данного параметра. Резкое изменение подразумеваемой волатильности может быть небезопасным сигналом, который может отражать не только изменение справедливой стоимости, но и наличие поступившей некоторым инвесторам инсайдерской информации. Выяснить, действительно ли на рынке появилась сильная асимметрия информации можно, заметив, что помимо скачка в значении подразумеваемой волатильности, резко также возросли объемы торгов. После того, как подразумеваемая волатильность была посчитана, рассчитывается прогнозная волатильность. Зачастую бывает достаточным рассчитать волатильность на основе ретроспективных данных. Однако, каждый трейдер может выбрать любую методику расчета. Об этом будет подробнее сказано в следующем подразделе. Далее инвестору необходимо сравнить величины полученных волатильностей. В случае, если подразумеваемая волатильность ниже настоящей, трейдер может совершать сделку по «покупке» волатильности, то есть конструировать портфель из «call» опциона, хеджированного базовым активом, либо другим опционом для сохранения дельта-нейтральности портфеля. Macmilan (2002) рассматривает в качестве такого рода портфелей стрэддл, спрэнгл и обратный спрэд. Однако многие исследователи анализируют прибыль от владения портфелем, состоящего из опциона «call» и базового актива.

Перейдем к рассмотрению работ, в которых анализируются модели, позволяющие заключить, что арбитраж на основе подразумеваемой волатильности возможен. Henrard (2003) строит модель, описывающую распределение прибылей и убытков от дельта-хеджированной позиции и оценивает риски при различном уровне волатильности, на основе которой производится хеджирование. Важно отметить, что данное исследование является общим случаем анализа Ahmad & Wilmott (2005). Henrard использует в качестве хеджирующего коэффициента дельту, посчитанную на основе волатильности в общем случае.

Построение модели происходит согласно предпосылкам Black и Scholes. То есть, движение цены базового актива описывается стохастической моделью Винеровского процесса. Результатом построения модели является выявление формулы для вычисления общей прибыли от хеджированной позиции.

· - стоимость опциона при подстановке выбранной для хеджирования волатильности.

· - волатильность, на основе которой производится хеджирование.

· - определяется в соответствии с формулой из модели Блэка-Шоулза Можно заметить, что в данной модели учитываются дивиденды по акциям. В рамках настоящей работы рассматривать такой случай не обязательно. Однако, в теории, полезно знать, как влияют дивиденды на распределение прибылей и убытков. Финальным результатом работы Henrard (2003) является определение границ общей прибыли (убытков) от дельта-хеджированной позиции. Он показал, что границы определяются в соответствии со следующими формулами.

Правая часть нижней формулы получается из условия максимизации произведения квадрата цены акции и коэффициента гамма из формулы выше. Рассмотренная модель позволяет получить выражение для прибыли в случае хеджирования на основании произвольной волатильности. Полученные выводы эксплуатируются в более поздних работах Carr (2005) и Ahmad&Wilmott (2005).

Некоторые результаты в данной области также представил Carr (2005) в работе «FAQs in Option Pricing Theory». Он разобрал многие вопросы, относительное ценообразования опционов. Среди этих вопросов возникла тема выбора волатильности для осуществления дельта-хеджирования. В исследовании был поставлен конкретный вопрос, какую волатильность следует выбрать — подразумеваемую или историческую. В отличие от Henrard, который предполагал самостоятельное финансирование изменений портфеля, Carr конструирует функцию изменений в заимствованиях.

· - величина заимствований.

· -число акций Первое слагаемое символизирует изменение долларовой стоимости позиции по акции, второе — приращение совокупного капитала, третье — дивидендную доходность, четвертое — процент к выплате по заимствованиям. Здесь число акций можно интерпретировать как коэффициент дельта, основанный на произвольной волатильности. Carr решает дифференциальное уравнение и получает итоговую прибыль, выражение для которое практически идентично прибыли, полученной Henrard. Коэффициент гамма был определен как скорость изменения дельта-коэффициента. Таким образом, в финальном выражении прибыли Carr определил дельту как вторую производную стоимости опциона на основе произвольной волатильности по стоимости базового актива. После некоторых предположений, упрощений и подстановки подразумеваемой волатильности в качестве основы для хеджирования, формула для прибылей и убытков стала выглядеть следующим образом.

Разность квадратов волатильностей нельзя вынести за знак интеграла поскольку автор предположил некоторый закон изменения настоящей волатильности с течением времени.

На двух вышеизложенный работах основывается работа Ahmad и Wilmott (2005). Авторы усовершенствовали конечные результаты и сделали более легким для восприятия анализ. К тому же они сделали акцент именно на хеджировании на основе подразумеваемой волатильности и доказали, что прибыль от такого рода позиции положительна. Остановимся более подробно на данной работе. Предпосылки в рамках анализа аналогичны предположениям Блэка и Шоулза. Модель изменения цены акции — стандартный Винеровский процесс.

Волатильность, указанная в формуле, характеризует настоящую волатильность. Авторы утверждают, что стоимость опциона распределена по такому же закону, что и цена базового актива. Этот факт играет определяющую роль в проблеме снижения риска: случайную составляющую изменений можно компенсировать и избавиться от нее.

Коэффициент дельта определяется в соответствии с моделью Блэка-Шоулза.

Далее проводится анализ прибылей и убытков для позиции, хеджированной на основе настоящей волатильности и подразумеваемой. Необходимо рассмотреть оба случая для понимания откуда появляется в теории гарантированная прибыль при хеджировании с помощью подразумеваемой волатильности. Опишем составляющие портфеля в настоящий момент и спустя малый промежуток времени. Для удобства восприятия представим его в виде таблицы.

Таблица 1. Стоимости компонент арбитражного портфеля сегодня и через малый промежуток времени (Ahmad&Wilmott (2005, стр. 66)).

Составляющая портфеля.	Стоимость в момент времени.	Стоимость через малый промежуток времени.
Опцион «Call».
Акция.
Денежные средства.

Заметим, что в данной таблице представлены хеджирующие коэффициенты дельта с индексом «i», что означает использование подразумеваемую волатильность. В случае эксплуатации настоящей волатильности там должен стоять индекс «a». Прибыль за короткий промежуток времени составит разность суммы стоимостей компонент портфеля на следующий день и сегодня.

Используя лемму Ито и подставляя значение волатильности в формулу Блэка-Шоулза авторы получаю прибыль за короткий промежуток времени, выраженную в наблюдаемых параметрах.

Следует отметить, что в случае такого рода хеджирования, прибыль зависит от случайной составляющей, что означает высокий риск занятой позиции. Чтобы извлечь положительную прибыль, в данном случае, инвестор должен обладать способностью с высокой точностью предсказывать будущую волатильность. Как показано в работе Ahmad и Wilmott, динамика прибыли и убытка имеет очень большое отклонение, что может стать причиной потери всех денежных средств до того, как могла бы быть извлечена положительная прибыль.

В наиболее детальном рассмотрении нуждается рассмотрение прибыли в случае хеджирования на основе подразумеваемой волатильности. Приращение стоимости портфеля в данном случае задается следующим соотношением.

Согласно тем же самым подстановкам и вычислениям, что и в прошлом примере, конечный результат следующий.

Сравнивая со случаем, где позиция хеджируется на основе настоящей волатильности, можно заметить, что из финального выражения исчезла случайная составляющая. Этот факт означает более «гладкое» распределение прибыли. Однако. Следует заметить, что результат зависит от пути, по которому следует цена базового актива, а также от того, насколько «глубоко» «в деньгах» находится опционная позиция. Последнее следует из наличия коэффициента гамма в формуле. Дело в том, что данный коэффициент отражает скорость изменения дельты, когда цена базового актива колеблется вокруг страйка, то имеет смысл часто менять хеджирующий коэффициент. Стратегия получения положительной прибыли в данном случае намного проще. Необходимо покупать описанную выше позицию в случае, если волатильность выше подразумеваемой (рыночной) и продавать в противоположном случае. Общая прибыль к моменту экспирации составляет.

Авторы описывают важный практический вывод для выбора необходимой ценной бумаги и соответствующего опциона. Наибольшая прибыль может получиться, когда есть существенная разница между настоящей волатильностью и подразумеваемой. Таким образом, если инвестор имеет основания полагать, что будущая волатильность базового актива превысит подразумеваемую, то он может занять позицию, описанную в данной работе.

Подведем итог, какие преимущества и недостатки существуют у дельта-хеджирования с использованием подразумеваемой волатильности. Во-первых, колебания прибыли невелики, что снижает риск позиции. Во-вторых, точное знание, когда покупать такую позицию: достаточно чтобы подразумеваемая волатильность была ниже настоящей. В-третьих, однозначно и точно определяется дельта: с помощью подстановки подразумеваемой волатильности, которая вычисляется однозначно. В теории существует лишь один недостаток упомянутого способа хеджирования: неопределенность будущей прибыли, только уверенность в том, что она положительна. В дополнение ко всему вышесказанному авторы приводят выражения для вычисления ожидаемой прибыли и ее дисперсии исходя из максимизации прибыли.

Важной ступенью анализа Ahmad и Wilmott является конструирование оптимального портфеля из имеющихся доступных опционов. Рассматриваются опционы с разными сроками экспирации и разными страйками. Значение имеет только коэффициент гамма в данном случае. Общая прибыль от владения портфелем из проанализированных выше позиций вычисляется следующим образом.

· - количество опционов в позиции Общий вывод из исследования следующий: можно гарантированно получить положительную прибыль используя дельта-хеджирование на основе подразумеваемой волатильности. В данной работе именно этот факт и будет проверен на практике.

Выведенный результат также подтверждается в работах Ayache (2006) и Sinclair (2008), последний обобщил в своей книге все предыдущие работы, касающиеся хеджирования с помощью подразумеваемой волатильности.

Арбитраж волатильности проверялся в работе Yu&Pan (2017). Авторы проверяли подход Black&Scholes к хеджированию опционной позиции на предмет прибыльности такой стратегии, а также изобретали свою стратегию хеджирования. Также был проведен анализ хеджирования опционной позиции фьючерсом. Результат был получен следующий: на китайском фондовом рынке арбитраж волатильности выполнялся, прибыль по итогу рассматриваемого периода оказывалась положительной, причем в случае с хеджированием фьючерсами, риск был немного меньше, чем в случае с обыкновенными акциями.

Теоретические основы арбитража волатильности с использованием формулы Блэка-Шоулза рассматривалось в работе Jena&Tankov (2017). Авторы рассматривали возможности максимизации арбитражной прибыли и включили в финальные выводы транзакционные издержки. Однако, они не говорили об арбитраже на основе дельта-хеджирования на основе подразумеваемой волатильности. Исследование Ernst (2016) содержало в себе анализ арбитражных возможностей для европейских опционов, но на основе биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна. В рамках данной работы необходимо вернуться к методологии Ahmad&Wilmott (2005) и проверить возможность арбитража при рассмотрении дельта-хеджирования с помощью подразумеваемой волатильности.