Теоретические основы изучения темы «Логарифмические уравнения» в базовом курсе математики

Цель, содержание темы «Логарифмические уравнения» в базовом курсе математики

Под образованием понимается организованный процесс постоянной передачи старшими поколениями знаний и опыта младшим. Данное понятие применяется как в науке (психология, философия, педагогика), так и на практике школьного обучения. Образование сегодня отличается ростом внимания к учащимся, к их необходимости саморазвиваться, получению новых знаний, направленность школьников к социуму и себе, к развитию способностей поиска своего предназначения.

Математическое образование — процесс и результат получения школьниками знаний по математическим дисциплинам, способностей и навыков познавательной деятельности, развитие мировоззрения, качеств личности, творческих умений[18].

К главным целям обучения математике относятся:

• — получение качеств для формирования мышления и продуктивной деятельности, которые ярко выражены в математическом направлении, а также необходимые для развития каждого человека;
• — формирование условий для появления заинтересованности в математике и формирования математических навыков одаренных учащихся.

На основе вышеперечисленных целей можно выделить уровни обучения математике:

• 1 — общекультурный;
• 2 — общеобразовательный;
• 3 — творческий.

Образовательная цель рассмотрения логарифмических уравнений в средних общеобразовательных школах основана на необходимости познакомить школьников с логарифмическими уравнениями и способами их решения, научить решать логарифмические уравнения.

В учебниках по математике сегодня теме логарифмические уравнения уделяется разное место.

1. Колмогоров А. Н. и др. Алгебра и начала анализа 10−11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений — М.: «Просвещение». 2009[1].

Так, в учебнике А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа, 10−11 класс. 1].

Глава5. Показательная и логарифмическая функции.

§ 10. Показательная и логарифмическая функции.

39. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Основной отличительной чертой учебника является гармоничное комбинирование высочайшего научного уровня информации и разумного подбора методических приемов для его изложения. С использованием данного фактора учитель формирует математическое мышление старшеклассников и способствует точному осмыслению ими основных математических понятий.

Теоретический и практический материал учебника дает возможность осуществлять исследование рассмотренных тем на разном уровне: базовом и повышенном.

Концепция упражнений учебника позволяет сформировать дифференциацию на каждом этапе на уроке, поскольку она состоит из упражнения в зависимости от уровня сложности для каждого параграфа, к каждой главе и всему курсу. Кроме того существуют задания, которые необходимы для самостоятельной проверки знаний, а также для подготовки к экзаменам в школе и вузе. Этот учебник удовлетворяет требования базового уровня стандарта математического образования.

В каждом пункте учебника приводятся образцы решения типичных задач, которые соответствуют обязательному уровню подготовки по этой теме, а также наиболее трудные задачи для школьников, на отличном уровне усвоившие данную тему. Также в конце каждой главы даны вопросы и задачи на повторение, они позволяют школьникам проверять и контролировать свои знания по данным темам главы, также их можно использовать учителям для проведения опроса по главе. В главе «Задачи на повторения» приводятся упражнения для повторения всего курса, а задачи повышенной трудности содержит заключительная глава. В учебнике А. Н. Колмогорова тема «Логарифмические уравнения и неравенства» освещается в IV главе по названием «Показательная и логарифмическая функции» и содержит такие темы: обобщение понятия степени; корень n-й степени и его свойства; иррациональные уравнения; степень с рациональным показателем; показательная и логарифмическая функции; показательная функция; решение показательных уравнений и неравенств; логарифмы и их свойства; логарифмическая функция; решение логарифмических уравнений и неравенств; понятие об обратной функции; производная показательной и логарифмической функций; производная показательной функции. Число; производная логарифмической функции; степенная функция; понятие о дифференциальных уравнениях; сведения из истории; вопросы и задачи на повторение.

Недостатки данного учебника в том, что не дается определения логарифмического уравнения, а сразу же показан пример такого уравнения, говорится о его свойствах на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что является его решением. После чего показаны примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

2. Учебник С. М. Никольского и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений. — М.: «Просвещение» 2009 [3].

В учебнике С. М. Никольского тема «Логарифмические уравнения и неравенства» выделена двумя отдельными пунктами. Тема логарифмические уравнения приведена в 6 главе и содержит следующих тем.

§ 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

• 6.1. Простейшие логарифмические уравнения.
• 6.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
• 6.3. Простейшие логарифмические неравенства.
• 6.4. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Определение логарифмического уравнения приводится таким образом:

«Пусть — данное положительное, не равное 1 число, — данное действительное число. В таком случае уравнением называют простейшим логарифмическим уравнением». Затем показаны разнообразные примеры решения уравнений. В следующем параграфе рассматриваются уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного[3].

Положительной чертой учебника является дифференцированная система упражнений. Она включает много нестандартных задач, которые позволяют сформировать математическое мышление учащихся, и упражнений, значительно уменьшающих традиционный разрыв между содержанием обучения в школе и требованиями при поступлении в вузы. Кроме того существует раздел учебника, состоящий из ответов, рекомендаций и подробных решений.

3. В учебнике Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс. / Шабунин М. И., Прокофьев А. А. — М.: БИНОМ, 2007. 424 с. [5] .

Тема логарифмические уравнения приведено в глава 10. Степенная, показательная, логарифмическая функции и содержит следующих тем: логарифмические уравнения; показательные и логарифмические неравенства.

В учебнике М. И. Шабунина тема «Логарифмические уравнения» [5] изложена в отдельных параграфах.

Глава 10. Степенная, показательная, логарифмическая функции.

§ 5. Логарифмические уравнения.

§ 6. Показательные и логарифмические неравенства.

Логарифмические уравнения излагаются следующим образом:

Простейшие логарифмические уравнения — уравнения двух видов:

.

где Уравнение имеет единственный корень. В общем случае, где. Уравнение при имеет единственный корень; при имеет решением любое отличное от единицы положительное число.

4. В учебнике Алгебра и начала математического анализа, 10−11 классы, Мордкович А. Г., -М.: «Мнемозина». 2013 [2].

В учебнике А. Г. Мордковича темы «Логарифмические уравнения» и «Логарифмические неравенства» выделены отдельными пунктами: показательная функция, ее свойства и график; показательные уравнения и неравенства; понятие логарифма; функция, ее свойства и график; свойства логарифмов; логарифмические уравнения; логарифмические неравенства; переход к новому основанию логарифма; дифференцирование показательной и логарифмической функций; В данном учебнике определение логарифмического уравнения приводится таким образом:

«Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида.

.

где — положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду".

Сформулирована теорема о равносильности.

«Пусть и, — решение системы неравенств.

Тогда уравнение равносильно на множестве уравнению [3].

Дано три главных способа решения логарифмических уравнений:

• 1) Функционально-графический метод. Заключается в применении графических изображений или различных свойств функции (он был приведен ранее при рассмотрении свойств функции).
• 2) Метод потенцирования. Заключается в теореме, которая изложена в параграфе.
• 3) Метод ввода новой переменной[2].

Таким образом, сравнительная таблица учебников по изучению темы «Логарифмическое уравнение» имеют следующий вид:

Таблица 1.1. Сравнительная таблица учебников по изучению темы «Логарифмическое уравнение» .

Следовательно, в данных учебниках на представленную тему отводится необходимое для усвоения темы количество информации.

С помощью сравнительного анализа учебников школьного курса, нами был сделан вывод, что для углубленного изучения темы «логарифмическое уравнение» наиболее результативно использование учебник Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 — 11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А. Н. Колмогорова. — 15 -е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 384 с. 1] и Алгебра и начала анализа (профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений./ А. Г. Мордкович. — 5-е изд. — М.: Мнемозина, 2013. — 375 с. 2] для изучения математики на базовом уровне, что характерно для гуманитарных классов подходит учебник А. Н. Колмогорова, для общеобразовательных классов учебники таких авторов, как С. М. Никольский и М. И. Шабунин [5]. Таким образом, можно утверждать, что в учебнике Мордковича А. Г. материал представлен в более разумной форме, что будет способствовать лучшему усвоению материалов.

Понятие логарифма и логарифмической функции дается после изучения тем: показательная функция, показательные уравнения, показательные неравенства. На основе этого у учащихся более четко формируется понятие логарифма, ясно складывается представление о логарифмической функции. Мордкович А. Г. выделяет 4 способа решения логарифмических уравнений, подробно иллюстрирует их примерами, приводит решение.

Учебник Никольского С. М. также отличается своей структурированностью. Понятие логарифма вводится после изучения показательной функции. Пункты, которые ориентированы на изучение десятичного логарифма и степенной функции отводятся для углубленного изучения. Решения логарифмических уравнений представлены скуднее чем в Мордковича. В полной мере приводятся лишь два метода решения такого типа уравнений. В конце главы в исторических сведениях автор приводит таблицы десятичных логарифмов и говорит о логарифмической линейке, что имеет важное значение для обучающихся, а также позволяет расширить свой кругозор.

Изучение темы логарифмическое уравнение в средней общеобразовательной школе заключается из нескольких функций: образовательная, воспитательная и развивающая, а также: информационная и эвристическая.

Таким образом, мы считаем, что для изучения темы «Логарифмические уравнения» в курсе алгебры и начал анализа 10 — 11 класс для общеобразовательных классов необходимо использовать учебники Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 — 11кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дуднинцын и др.: Под. ред. А. Н. Колмогорова. — 15 -е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 384 с. и Алгебра и начала анализа (профильный уровень). 10 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений./ А. Г. Мордкович. — 5-е изд. — М.: Мнемозина, 2004. — 375 с., т.к. они содержат в себе больше как теоретического так практического материала, что позволит лучше усвоить материал.