Развитие исследовательских умений учащихся относительно задач на нахождение геометрических мест точек

Чем стремительнее развивается прогресс, тем более зависимыми мы становимся от точной науки. Математика повсюду: от кодирования данных для телефонных карт памяти, до сложнейших расчетов при прогнозировании погоды. Роль математики в современном мире бесценна. На современном уровне математика становится языком общения человека с природой, c социумом. Математика начинается, как только возникает закономерность и появляется интерес ее моделирования. Она формирует определённый образ мышления, умение абстрагировать, развивает логику, умение практически применять полученные знания.

Иногда большая часть знаний на уроках математики преподносится в готовом виде и не требует дополнительных поисковых усилий, и основной трудностью для учащихся является самостоятельный поиск информации, добывание знаний. Поэтому одним из важнейших условий повышения эффективности учебного процесса является организация учебной исследовательской деятельности и развитие её основного компонента — исследовательских умений, которые не только помогают школьникам лучше справляться с требованиями программы, но и развивают у них логическое мышление, создают внутренний мотив учебной деятельности в целом, демонстрируют практическую значимость изученного материала, а применение компьютерных технологий позволяет повысить качество образования, соответствовать реалиям сегодняшнего дня, дает возможность эффективнее распределять свое время, реализовывать творческий потенциал.

Исследовательская деятельность учащихся — это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для учащихся фактов, теоретических знаний и способов деятельности.

В качестве основного средства организации исследовательской работы выступает система исследовательских заданий.

Исследовательские задания — это предъявляемые учащимися задания, содержащие проблему. Решение ее требует проведения теоретического анализа, применения одного или нескольких методов научного исследования, с помощью которых учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание.

Цель исследовательского метода — вызвать в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения. Школьник должен почувствовать прелесть открытия. Таким образом, исследовательский процесс — это не только логико-мыслительное, но и чувственно-эмоциональное освоение знаний.

При решении задач на построение используется метод геометрических мест.

Понятие «геометрическое место точек», являющееся синонимом понятия «множество», одного из основных понятий современной математики, вводится в элементарной геометрии исключительно ввиду его наглядности, образности; слово «место» как бы отвечает на вопрос, где «помещаются» точки, обладающие тем или иным свойством.

Знание геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, облегчает нахождение решения для многих практических задач. Например, для решения задач на сопряжение окружностей и прямых, с которыми учащиеся встречаются довольно часто на уро­ках труда в школьных мастерских при опиливании криволинейных поверхностей (изготовление дуги для лобзика, отвертки, гаечного ключа и т. п.), при изготовлении приборов, пособий для школы, которые они часто делают не по чертежам, а по техническим рисункам, не выполняя деталировки каждой детали, необходимо знать соответствующие геометрические места. Без знания геометрических мест центров окружностей, касающихся данных прямых или окружностей при определенных ограничениях, семиклассники не смогут на уроках черчения понять способы решения задач на сопряжение углов дугами, сопряжение окружности с прямой при помощи дуги данного радиуса и т. п.

Следует учитывать, что понятие «геометрическое место точек» необходимо и в курсе алгебры при изучении графиков простейших функций в VII-VIII классах. График функции определяется как геометрическое место точек плоскости, координаты которых являются соответственными значениями аргумента и функции. Понятие графика необходимо и в курсе физики, где в последние годы все большее значение приобретает графически метод.

В VI-VII классах нельзя отказываться и от решения задач на построение методом геометрических мест, одним из основных методов конструктивной геометрии. Решая задачи на построение, учащиеся учатся применять свои знания, ибо они должны сами отвечать на поставленные вопросы. В настоящее время главной задачей учителей математики является не столько сообщение математических фактов, определений, формул, тео­рем, сколько необходимость учить детей мыслить, учить их самостоятельно работать.

Учащиеся VI класса не сразу сознательно, глубоко усвоят понятие «геометрическое место точек». Важно, чтобы они с данными словами связывали более полную группу геометрических фигур, чтобы понятие охватывало целый класс, а не один — два отдельных примера. Учащиеся должны видеть различные примеры геометрических мест точек в различных формулировках, чтобы на основе анализа и синтеза осознать общность этого понятия, охватывающего обширный класс геометрических фигур, создать себе соответствующее представление об этом понятии.

Трудным для понимания шестиклассников является и абстрактное понятие «множество». Приводимые примеры множеств (множество учащихся, деревьев в саду и т. п.), в большинстве своем, есть конечные множества, а почти все геометрические места точек, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, являются бесконечными точечными множествами.

Понятие геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, вводим на примере геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек. После изучения признаков равенства прямоугольных треугольников решаем задачу: «Найти точку, рав­ноудаленную от двух данных точек, А и В» (рис. 1).

Рис. 1.

Учащиеся обычно указывают лишь точку О, середину отрезка АВ. А нет ли на плоскости еще точек, равноудаленных от, А и В? При построении с помощью циркуля нескольких таких точек учащиеся самостоятельно припоминают свойство точек оси симметрии и говорят, что точек, равноудаленных от, А и В, будет много, все они лежат на оси симметрии данных точек, А и В.

Можно непосредственно, основываясь на признаках равенства прямоугольных треугольников, доказать, что всякая точка, равноудаленная от данных точек, А и В, лежит на их оси симметрии, то есть на перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ через его середину, и наоборот, всякая точка этого перпендикуляра равноудалена от точек, А и В. После этого даем определение геометрического места точек, обладающих некоторым свойством, как множества всех точек, обладающих этим свойством, и только таких точек, и предлагаем учащимся сформулировать результат решения задачи и записать в тетради, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек, есть ось симметрии данных точек. Здесь впервые встречаемся не с отдельной, фиксированной точкой, а с любой точкой прямой. До этого учащиеся почти всегда имели дело с неподвижными, определенными по положению точками, а здесь точка может перемещаться некоторым образом, но все время она обладает определенным свойством. Поэтому большую пользу окажет учащимся наглядное пособие с неподвижными точками, А и В и перемещающейся по их оси симметрии точкой О, соединенной резинкой с точками, А и В, с помощью которого хорошо разъяснить смысл выражения: «Любая точка оси симметрии равноудалена от, А и В».

Сущность метода геометрических мест состоит в следующем:

• 1) Решение задачи сводим к отысканию точки, удовлетворяющей определенным условиям.
• 2) Отбрасываем одно из этих условий, получим геометрическое место точек, удовлетворяющих оставшимся условиям.
• 3) Отбрасываем затем какое-нибудь другое условие, получим новое геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.
• 4) Искомая точка, удовлетворяющая всем условиям, является точкой пересечения полученных геометрических мест.