Расчет уравнений линейной и нелинейной регрессии
Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым. Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t — критерия (t — статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии: По предприятиям легкой промышленности региона… Читать ещё >
Расчет уравнений линейной и нелинейной регрессии (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
Контрольная работа по дисциплине
" ЭКОНОМЕТРИКА"
Брянск 2010
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (, млн. руб.) от объема капиталовложений (, млн. руб.)
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью — критерия Фишера, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
РЕШЕНИЕ:
1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Таблица 1
Наблю-дение | Объем капиталовложений, млн. руб.(X) | Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y) | |||||||
8,9 | 3,5 | 12,25 | 31,15 | ||||||
— 28,1 | — 16,5 | 272,25 | 463,65 | ||||||
6,9 | 4,5 | 20,25 | 31,05 | ||||||
4,9 | 5,5 | 30,25 | 26,95 | ||||||
16,9 | 7,5 | 56,25 | 126,75 | ||||||
15,9 | 10,5 | 110,25 | 166,95 | ||||||
— 10,1 | — 14,5 | 210,25 | 146,45 | ||||||
— 1,1 | — 0,5 | 0,25 | 0,55 | ||||||
— 0,1 | 4,5 | 20,25 | — 0,45 | ||||||
— 14,1 | — 4,5 | 20,25 | 63,45 | ||||||
Сумма | 0,0 | 0,0 | 752,5 | 1 056,5 | 77 845,0 | 47 675,0 | |||
Среднее | 68,5 | 112,1 | 7 784,5 | 4 767,5 | |||||
Для вычисления параметров модели следует воспользоваться формулами и расчетными данными из таблицы 1.
Модель зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений имеет вид Рис. 1
С увеличением объемов капиталовложений на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 1,404 млн руб.
2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков; построить график остатков.
и т.д.
Таблица 2
ВЫВОД ОСТАТКОВ | ||||||
Наблюдение | Предсказанное, | Остатки, | ||||
117,01 | 3,99 | 15,92 | ||||
88,93 | — 4,93 | 24,30 | ||||
118,42 | 0,58 | 0,34 | ||||
119,82 | — 2,82 | 7,95 | ||||
122,63 | 6,37 | 40,58 | ||||
126,84 | 1,16 | 1,35 | ||||
91,74 | 10,26 | 105,27 | ||||
111,40 | — 0,40 | 0,16 | ||||
118,42 | — 6,42 | 41,22 | ||||
105,78 | — 7,78 | 60,53 | ||||
ИТОГО | 1120,99 | 297,61 | ||||
Дисперсия остатков равна
Рис. 2
3). Проверить выполнение предпосылок МНК.
Проверка выполнения предпосылок МНК выполняется на основе анализа остаточной компоненты.
Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач — М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.
3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d — критерия Дарбина — Уотсона по формуле:
Используем данные табл. 3
Таблица 3
Наблюдение | |||||
3,99 | 15,92 | ; | ; | ||
— 4,93 | 24,30 | — 8,92 | 79,57 | ||
0,58 | 0,34 | 5,51 | 30,36 | ||
— 2,82 | 7,95 | — 3,4 | 11,56 | ||
6,37 | 40,58 | 9,19 | 84,46 | ||
1,16 | 1,35 | — 5,21 | 27,14 | ||
10,26 | 105,27 | 9,1 | 82,81 | ||
— 0,40 | 0,16 | — 10,66 | 113,64 | ||
— 6,42 | 41,22 | — 6,02 | 36,24 | ||
— 7,78 | 60,53 | — 1,36 | 1,85 | ||
Сумма | 297,61 | 467,62 | |||
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d2 до 2 (рис. 4.7). Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.
Анализ независимости с помощью критерия Дарбина — Уотсона Рис. 3
1) | 2) | 3) | 4) | |||||||
d1 | d2 | |||||||||
свойство не выполняется | применять другой критерий | свойство выполняется | преобразовать dn=4-d | |||||||
d1 | d2 | |||||||||
1,08 | 1,36 | 1,5712 | ||||||||
|r (1)|<0,36 | ||||||||||
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) — 1, 96 — (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).
Рис. 4
Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS — критерия:
где
— максимальный уровень ряда остатков,
— минимальный уровень ряда остатков,
— среднеквадратическое отклонение,
Расчетное значение попадает в интервал (2,7−3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
3.5. Обнаружение гетероскедастичности.
Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с Fкритерием.
х1 | У1 | y1 | еІ1 | х2 | У2 | y2 | еІ2 | |
95,71 | 137,11 | 116,23 | 7,67 | |||||
97,68 | 18,70 | 116,23 | 17,90 | |||||
107,51 | 90,41 | 118,62 | 2,61 | |||||
111,44 | 0,19 | 123,38 | 31,53 | |||||
115,37 | 31,65 | 130,54 | 6,44 | |||||
сумма | 278,06 | сумма | 66,15 | |||||
Используя надстройки Excel, найдем F — критерий равный 6,389.
Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что модель гомоскедастична.
В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.
Анализ ряда остатков Таблица 4
Проверяемое свойство | Используемые статистики | Граница | Вывод | |||
наименование | значение | нижняя | верхняя | |||
Независимость | d — критерий Дарбина-Уотсона | 1,36 | адекватна | |||
Случайность | Критерий пиков (поворотных точек) | 6 > 2 | адекватна | |||
Нормальность | RS — критерий | 2,96 | 2,7 | 3,7 | адекватна | |
Среднее = 0 ? | t — статистика Стьюдента | 0,000 | — 2,179 | 2,179 | адекватна | |
Вывод: модель статистически адекватна | ||||||
4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t — критерия (t — статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:
Где
Расчетная таблица Таблица 5
Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |||
Y-пересечение | а0 | 15,927 | 15,352 | 1,037 | |
Объем капиталовложений, млн. руб.(X) | а1 | 1,404 | 0,222 | 6,315 | |
Сравнивая расчетное значение с табличным значением (при n-2 и степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306 004). Делаем вывод о том, что фактор а0 следует исключить из модели, так как расчетное значение t меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).
5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью — критерия Фишера, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат (R2), называется коэффициентом детерминации.
Таблица 6 Расчет коэффициента детерминации
Наблюдение | ||||
15,92 | 8,9 | 79,21 | ||
24,30 | — 28,1 | 789,61 | ||
0,34 | 6,9 | 47,61 | ||
7,95 | 4,9 | 24,01 | ||
40,58 | 16,9 | 285,61 | ||
1,35 | 15,9 | 252,81 | ||
105,27 | — 10,1 | 102,01 | ||
0,16 | — 1,1 | 1,21 | ||
41,22 | — 0,1 | 0,01 | ||
60,53 | — 14,1 | 198,81 | ||
Сумма | 297,61 | 0,0 | 1780,9 | |
Чем ближе R2 к 1, тем качество модели лучше.
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Для проверки значимости модели регрессии используется F — критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где k — количество факторов, включенных в модель.
F > Fтаб. =5, 32 для a = 0, 05; k1 = 1, k2 = 8.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > Fтаб.
Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
где
Таблица 7 Расчет относительной ошибки аппроксимации
Наблюдение | Y | Предсказанное Y | |||
117,01 | 3,99 | 0,03 | |||
88,93 | — 4,93 | 0,06 | |||
118,42 | 0,58 | 0,005 | |||
119,82 | — 2,82 | 0,02 | |||
122,63 | 6,37 | 0,05 | |||
126,84 | 1,16 | 0,01 | |||
91,74 | 10,26 | 0,10 | |||
111,40 | — 0,40 | 0,00 | |||
118,42 | — 6,42 | 0,06 | |||
105,78 | — 7,78 | 0,08 | |||
Сумма | 1120,99 | 0,41 | |||
В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,13%.
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Прогнозное значение Х = 79*80% = 63,2
Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии
ожидаемой величины фактора х.
Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии регрессии.
Коэффициент Стьюдента для m = 8 степеней свободы (m = n-2) и уровня значимости равен 3,3554.
Таким образом, прогнозное значение будет находиться между верхней границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834 и нижней границей, равной 104,6588 — 21,8246 = 82,8342.
Эластичность линейной модели равна На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.
Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными прогноза.
Рис. 5
8). Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.
Уравнение гиперболической функции
Произведем линеаризацию модели путем замены В результате получим линейное уравнение Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.
Таблица 8
Гиперболическая модель | ||||||||||||
Наблюдение | x | y | X | yX | X2 | |е/y|*100% | ||||||
0,0139 | 1,6806 | 0,1 929 | 8,9 | 79,21 | 117,551 | 3,449 | 11,899 | 2,851 | ||||
0,0192 | 1,6154 | 0,3 698 | — 28,1 | 789,61 | 87,861 | — 3,861 | 14,911 | 4,597 | ||||
0,0137 | 1,6301 | 0,1 877 | 6,9 | 47,61 | 118,608 | 0,392 | 0,154 | 0,329 | ||||
0,0135 | 1,5811 | 0,1 826 | 4,9 | 24,01 | 119,637 | — 2,637 | 6,953 | 2,254 | ||||
0,0132 | 1,6974 | 0,1 731 | 16,9 | 285,61 | 121,613 | 7,387 | 54,564 | 5,726 | ||||
0,0127 | 1,6203 | 0,1 602 | 15,9 | 252,81 | 124,390 | 3,610 | 13,030 | 2,820 | ||||
0,0185 | 1,8889 | 0,3 429 | — 10,1 | 102,01 | 91,820 | 10,180 | 103,632 | 9,980 | ||||
0,0147 | 1,6324 | 0,2 163 | — 1,1 | 1,21 | 113,010 | — 2,010 | 4,040 | 1,811 | ||||
0,0137 | 1,5342 | 0,1 877 | — 0,1 | 0,01 | 118,608 | — 6,608 | 43,665 | 5,900 | ||||
0,0156 | 1,5313 | 0,2 441 | — 14,1 | 198,81 | 107,902 | — 9,902 | 98,042 | 10,104 | ||||
Сумма | 0,1487 | 16,412 | 0,22 573 | 1 780,9 | 1121,0 | 0,00 | 350,888 | 46,373 | ||||
Среднее | 68,5 | 112,1 | 0,1 487 | 1,6412 | 0,2 257 | 4,637 | ||||||
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.
Индекс детерминации:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,30% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем Fкритерий Фишера:
F > Fтаб. =5, 32 для a = 0, 05; k1 = 1, k2 = 8.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > Fтаб.
Средняя относительная ошибка В среднем расчетные значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,64%.
Эластичность гиперболической модели равна На 71,42% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.
Рис. 6 Гиперболическая модель
8.2 Составить уравнения нелинейной регрессии степенной.
Уравнение степенной модели имеет вид:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:
Таблица 9 Логарифмирование
Наблюдение | y | lg (y) | x | lg (x) | |
2,0828 | 1,8573 | ||||
1,9243 | 1,7160 | ||||
2,0755 | 1,8633 | ||||
2,0682 | 1,8692 | ||||
2,1106 | 1,8808 | ||||
2,1072 | 1,8976 | ||||
2,0086 | 1,7324 | ||||
2,0453 | 1,8325 | ||||
2,0492 | 1,8633 | ||||
1,9912 | 1,8062 | ||||
Сумма | 20,4630 | 18,3187 | |||
Среднее | 112,1 | 2,0463 | 68,5 | 1,8319 | |
Обозначим
Тогда уравнение примет вид: линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 10.
Таблица 10
Степенная модель | |||||||||||
Наблюдение | y | Y | x | X | Y X | X2 | |е/y|*100% | ||||
2,0828 | 1,8573 | 3,86 842 | 3,4497 | 116,862 | 4,138 | 3,420 | 17,122 | ||||
1,9243 | 1,7160 | 3,30 207 | 2,9447 | 88,874 | — 4,874 | 5,802 | 23,754 | ||||
2,0755 | 1,8633 | 3,86 741 | 3,4720 | 118,226 | 0,774 | 0,650 | 0,599 | ||||
2,0682 | 1,8692 | 3,86 592 | 3,4940 | 119,587 | — 2,587 | 2,211 | 6,694 | ||||
2,1106 | 1,8808 | 3,96 963 | 3,5375 | 122,301 | 6,699 | 5,193 | 44,882 | ||||
2,1072 | 1,8976 | 3,99 870 | 3,6010 | 126,350 | 1,650 | 1,289 | 2,724 | ||||
2,0086 | 1,7324 | 3,47 969 | 3,0012 | 91,741 | 10,259 | 10,058 | 105,250 | ||||
2,0453 | 1,8325 | 3,74 807 | 3,3581 | 111,376 | — 0,376 | 0,338 | 0,141 | ||||
2,0492 | 1,8633 | 3,81 835 | 3,4720 | 118,226 | — 6,226 | 5,559 | 38,765 | ||||
1,9912 | 1,8062 | 3,59 651 | 3,2623 | 105,837 | — 7,837 | 7,997 | 61,425 | ||||
Сумма | 20,4630 | 18,3187 | 37,5148 | 33,5923 | 1,621 | 42,52 | 301,355 | ||||
Среднее | 112,1 | 2,0463 | 68,5 | 1,8319 | 3,7515 | 3,3592 | |||||
Перейдем к исходным переменным x и y:
Получим уравнение степенной модели регрессии:
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.
Коэффициент детерминации равен 0,8308:
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,08% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем Fкритерий Фишера:
F > Fтаб. =5, 32 для a = 0,05; k1 = 1, k2 = 8.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > Fтаб.
Средняя относительная ошибка В среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических значений на 4,25%.
Эластичность степенной модели равна На 84,0% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора X (объемом капиталовложений) на один процент.
Рис. 7 Степенная модель
8.3. Составить уравнения нелинейной регрессии показательной.
Уравнение показательной кривой:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:
Обозначим Получим линейное уравнение регрессии:
Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 11.
Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование данного уравнения:
Определим индекс корреляции:
Связь между показателем у и фактором х можно считать сильной.
Коэффициент детерминации равен 0,7708.
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 77,08% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).
Рассчитаем Fкритерий Фишера:
F > Fтаб. =5, 32 для a = 0,05; k1 = 1, k2 = 8.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > Fтаб.
Средняя относительная ошибка В среднем расчетные значения для показательной модели отличаются от фактических значений на 4,82%.
Рис. 8 Показательная модель Таблица 11
Показательная модель | ||||||||||||||
Наблюдение | y | У | x | Ух | x2 | |е/y|*100% | ||||||||
2,0828 | 149,96 | 0,0365 | 0,0013 | 3,5 | 12,25 | 112,95 | 64,81 | 8,051 | 6,653 | |||||
1,9243 | 100,06 | — 0,1220 | 0,0149 | — 16,5 | 272,25 | 87,24 | 10,47 | — 3,236 | 3,852 | |||||
2,0755 | 151,51 | 0,0293 | 0,0009 | 4,5 | 20,25 | 114,42 | 21,00 | 4,582 | 3,851 | |||||
2,0682 | 153,05 | 0,0219 | 0,0005 | 5,5 | 30,25 | 115,91 | 1,20 | 1,095 | 0,936 | |||||
2,1106 | 160,40 | 0,0643 | 0,0041 | 7,5 | 56,25 | 118,94 | 101,24 | 10,062 | 7,800 | |||||
2,1072 | 166,47 | 0,0609 | 0,0037 | 10,5 | 110,25 | 123,64 | 19,03 | 4,363 | 3,408 | |||||
2,0086 | 108,46 | — 0,0377 | 0,0014 | — 14,5 | 210,25 | 89,52 | 155,78 | 12,481 | 12,237 | |||||
2,0453 | 139,08 | — 0,0010 | 0,0000 | — 0,5 | 0,25 | 107,26 | 13,97 | 3,738 | 3,368 | |||||
2,0492 | 149,59 | 0,0029 | 0,0000 | 4,5 | 20,25 | 114,42 | 5,85 | — 2,418 | 2,159 | |||||
1,9912 | 127,44 | — 0,0551 | 0,0030 | — 4,5 | 20,25 | 101,86 | 14,91 | — 3,861 | 3,940 | |||||
Сумма | 20,4630 | 1406,04 | 47 675 | 0,0299 | 752,50 | 408,26 | 34,857 | 48,20 | ||||||
Среднее | 112,1 | 2,0463 | 68,5 | 140,604 | 4 767,5 | 40,826 | 4,82 | |||||||
Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов (табл. 12).
Таблица 12
параметры/модель | Коэффициент детерминации R2 | F — критерий Фишера | Индекс корреляции | Средняя относительная ошибка | |
Линейная | 0,8329 | 39,88 | 0,9126 | 4,13 | |
Гиперболическая | 0,8030 | 32,61 | 0,8961 | 4,64 | |
Степенная | 0,8308 | 39,29 | 0,9115 | 4,25 | |
Показательная | 0,7708 | 26,9 | 0,8779 | 4,82 | |
Все модели имеют примерно одинаковые характеристики, но большее значение F — критерия Фишера и большее значение коэффициента R2 имеет линейная модель. Её можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Задача 2
Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
Номер уравнения | А | Б | |||||||||||||
переменные | переменные | ||||||||||||||
у1 | у2 | у3 | х1 | х2 | х3 | х4 | у1 | у2 | у3 | х1 | х2 | х3 | х4 | ||
— 1 | b13 | а11 | a12 | а13 | — 1 | b12 | а11 | a12 | а13 | ||||||
b21 | — 1 | b23 | а23 | a24 | — 1 | b23 | а21 | а23 | a24 | ||||||
b32 | — 1 | а31 | a33 | а34 | b32 | — 1 | а31 | a33 | а34 | ||||||
Решение
А) Составим структурную модель:
y1 = b13y3 + a11x1 + a12x2 + a13x3
y2 = b21y1 + b23y3 + a23x3 + a24x4
y3 = b32у2 + a31x1 + a33x3 + а34х4
Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
В первом уравнении две эндогенные переменные: у1 и у3 (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2 и х4.
Таблица 1 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у2 и х4
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | ||
у2 | x4 | ||
— 1 | a24 | ||
b32 | а34 | ||
В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты взяты из уравнений 2 и 3 системы.
Определитель представленной в табл. 1 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.
Во втором уравнении три эндогенные переменные: у1, у2 и у3 (Н = 3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1 и х2 (D = 2). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и x2, которые отсутствуют во втором уравнении (табл. 2).
Таблица 2 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х1 и х2
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | ||
х1 | x2 | ||
а11 | a12 | ||
а31 | |||
Определитель представленной в табл. 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении две эндогенные переменные: у2 и у3 (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х2, которые отсутствуют в третьем уравнении (табл. 3).
Таблица 3 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | ||
у1 | x2 | ||
— 1 | a12 | ||
b21 | |||
Определитель представленной в табл. 3 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и третье уравнение идентифицируемо.
СФМ идентифицируема так как каждое ее уравнение идентифицируемо.
Б) Составим структурную модель:
y1 = b12y2 + a11x1 + a12x2 + а13х3
y2 = b23y3 + а21х1 + a23x3 + a24x4
y3 = b32y2 + а31x1 + a33x3 + a34x4
Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
В первом уравнении две эндогенные переменные: у1, и у2 (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4 (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у3 и х4.
Таблица 4 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у3 и х4
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | ||
у3 | x4 | ||
b23 | a24 | ||
— 1 | а34 | ||
В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты взяты из уравнений 2 и 3 системы.
Определитель представленной в табл. 4 матрицы не равен нулю, достаточное условие выполнено, и первое уравнение идентифицируемо.
Во втором уравнении две эндогенные переменные: у2 и у3 (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и x2, которые отсутствуют во втором уравнении (табл. 5).
Таблица 5 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | ||
у1 | x2 | ||
— 1 | a12 | ||
Определитель представленной в табл. 5 матрицы равен нулю (так как вторая строка равна нулю), а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие не выполнено, и второе уравнение неидентифицируемо.
В третьем уравнении две эндогенные переменные: у2 и у3 (Н = 2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2 (D = 1). Необходимое условие идентификации D + 1 = Н выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х2, которые отсутствуют в третьем уравнении (табл. 6).
Таблица 6 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у1 и х2
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | ||
у1 | x2 | ||
— 1 | a12 | ||
Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
СФМ неидентифицируема так как не все ее уравнение идентифицируемы.
В) По данным таблицы, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:
y1 = а01 + b12y2 + a11x1 + е1
y2 = а02 + b21y1 + a22x2 + е2
n | y1 | y2 | x1 | x2 | |
28,3 | 51,7 | ||||
4,4 | 11,5 | ||||
33,1 | 64,6 | ||||
14,6 | 38,4 | ||||
35,9 | 64,1 | ||||
39,5 | 55,0 | ||||
Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 7.
Таблица 7 Фактические данные для построения модели
n | y1 | y2 | x1 | x2 | |
28,3 | 51,7 | ||||
4,4 | 11,5 | ||||
33,1 | 64,6 | ||||
14,6 | 38,4 | ||||
35,9 | 64,1 | ||||
39,5 | |||||
Сумма | 155,8 | 285,3 | |||
Средн. знач. | 26,0 | 47,6 | 5,8 | 11,3 | |
Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели:
y1 = d11x1 + d12x2 + u1
y2 = d21x1 + d22x2 + u2
где u1 и u2 — случайные ошибки.
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.
Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у = у — уср и х = х — хср (уср и хср — средние значения). Преобразованные таким образом данные табл. 7 сведены в табл. 8. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов dlk. Переменные, означающие отклонение от средних значений, изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.
Для нахождения коэффициентов d1k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:
Таблица 8 Преобразованные данные для построения приведенной формы модели
n | y1 | y2 | x1 | x2 | y1* x1 | x1* x2 | y1* x2 | y2* x1 | y2* x2 | |||
2,3 | 4,2 | 1,2 | 0,7 | 2,72 | 1,36 | 0,78 | 1,56 | 4,84 | 2,77 | 0,44 | ||
— 21,6 | — 36,1 | — 4,8 | — 10,3 | 104,24 | 23,36 | 49,94 | 222,86 | 174,24 | 372,52 | 106,78 | ||
7,1 | 17,1 | 4,2 | 2,7 | 29,72 | 17,36 | 11,11 | 19,02 | 71,04 | 45,47 | 7,11 | ||
— 11,4 | — 9,1 | 3,2 | — 7,3 | — 35,99 | 10,03 | — 23,22 | 83,36 | — 28,98 | 67,10 | 53,78 | ||
9,9 | 16,6 | 1,2 | 5,7 | 11,59 | 1,36 | 6,61 | 56,29 | 19,31 | 93,78 | 32,11 | ||
13,5 | 7,5 | — 4,8 | 8,7 | — 65,41 | 23,36 | — 41,89 | 117,29 | — 36,01 | 64,57 | 75,11 | ||
Сумма | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 46,87 | 76,83 | 3,33 | 500,37 | 204,45 | 646,20 | 275,33 | |
Подставляя рассчитанные в табл. 8 значения сумм, получим:
46,87 = 76,83d11 + 3,33d12;
500,37 = 3,33d11 + 275,33d12.
Решение этих уравнений дает значения
d11 = 0,53 и d12 = 1,81.
Первое уравнение приведенной формы модели примет вид:
У1 = 0,53x1 + 1,81х2+ u1.
Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:
Подставляя рассчитанные в табл. 8 значения сумм, получим:
204,45 = 76,83d21 + 3,33d22;
646,20 = 3,33d21 + 275,33d22.
Решение этих уравнений дает значения
d21 = 2,56 и d22= 2,32.
Второе уравнение приведенной формы модели примет вид:
у2 = 2,56x1 + 2,32x2 + u2.
Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х2 из второго уравнения приведенной формы модели:
x2 = (у2 — 2,56х1) / 2,32.
Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
y1 = 0,53x1 + 1,81(y2 — 2,56x1) / 2,32 = 0,53x1 + 0,78у2 — 2,00x1 =
= 0,78у2 — 1,47x1.
Таким образом,
b12 = 0,78; а11 = -1,47.
Найдем x1 из первого уравнения приведенной формы модели:
х1 = (у1 — 1,81x2) / 0,53.
Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:
у2 = 2,32x2 + 2,56 (у1 — 1,81x2) / 0,53 = 2,32x2 + 4,82y1 — 8,73x2 = 4,82y1 — 6,41x2.
Таким образом,
b21 = 4,82; а22 = -6,41.
Свободные члены структурной формы находим из уравнений:
A01 = y1,cp — b12y2,cp — a11x1,cp = 26,0 — 0,78 * 47,6 — 1,47 * 5,8 = -2,637;
A02 = y2,cp — b21y1,cp — a22x2,cp = 47,6 — 4,82 * 26,0 — 6,41 * 11,3 = -4,926.
Окончательный вид структурной модели:
y1 = a01 + b12y2 + a11x1 + е1 = -2,637 + 0,782y2 — 1,47x1 + е1
y2 = a02 + b21y1 + a22x2 + е2 = -4,926 + 4,818y1 — 6,41x2 + е2