Роль задач в обучении математике, классификация математических задач

В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль. Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой-то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т. е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

" Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки «надлежащих навыков мысли», навыков, направленных на поиски решения задач. В своей книге М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:

" Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия." .

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи. Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.

Каждая конкретная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических учебных целей. Эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением которое придаёт задаче — учитель. Дидактические цели определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей её применений из всех ролей, которым отводятся конкретные задачи, можно выделить её ведущую роль.

Обучающая роль математических задач.

Обучающую роль выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и её конкретным дисциплинам. Выделяют несколько видов задач по их обучающей роли:

• 1) задачи для усвоения математических понятий. Чтобы овладеть понятиями недостаточно выучить определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова, чётко знать свойства изучаемого понятия. Так, например, для усвоения понятия логарифма, большую пользу принесут упражнения в переходе от записей с показательными функциями и их значениями к записям в логарифмической форме и наоборот. В решении простейших логарифмических уравнений содержащих переменную под знаком логарифма, так и в его основании в формировании определения логарифма для конкретного заданного числа, при конкретном заданном основании в применении тождества.
• 2) Задачи для овладения математической символикой. Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.
• 3) Задачи для обучения доказательства. Обучение доказательства одна из важнейших целей обучения математике. Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. В курсе геометрии 7−8 классов практикуются доказательства по готовым чертежам, которые тоже служат обучению доказательства.
• 4) Задачи для формирования математических умений и навыков. Первые такие задачи следует решать с подробным объяснением со стороны учащихся всех новых деталей решения, это помогает осмысленному формированию умений. В первых упражнениях в умножении дробных чисел полезно выполнить подробные записи и объяснить их. Прочные навыки формируются тогда, когда они применяются совместно с ранее сформированными умениями и навыками в выполнении других действий. При изучении интегралов полезно включить их вычисление в систему других действий.
• 5) Обучающую роль играют и задачи претворяющие изучение новых математических фактов, создающие проблемную ситуацию, с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь следует рассматривать те задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы. Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужат задачи приводящие к такому уровню. Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьёзную роль, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теорем.

Развитие мышления у учащихся при решении математических задач.

• 1) Мыслительные умения, восприятия и память при решении задач.
• 2) Обучение мышлению — одно из основных назначений задач и упражнений заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.
• 3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления, во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач:
  • а) задачи и упражнения, включающие элементы исследования.
  • б) Задачи на доказательства. Такие задачи оказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. При выполнении доказательств, оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.
  • в) Задачи и упражнения в отыскании ошибок. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях. Помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности рассуждений и математической строгости.
  • г) Занимательные задачи. Интерес к математике должен быть следствием прежде всего увлекательности самой математики, её логического построения, практических применений. На уроках математики нужны хотя не сложные, но занимательные, требующие смекалки и сообразительности задачи и упражнения.
  • д) Отыскание различных вариантов решения и выбор лучшего из них. Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач.
  • е) Составление задач учащимися. Сознательное изучение математики и развитие мышления, формулирующееся самостоятельным составлением математических задач. Воспитывается самостоятельность, развивается творческая мыслительная активность. Также очень полезны упражнения составления уравнений по заданным их корням. Систему уравнений по данным решениям, задач по заданным уравнениям.

Воспитательная роль математических задач.

Процесс обучения связан с воспитанием учащихся. Правильно организованное решение задачи воспитывает трудолюбие. Решение трудных задач требует у учащихся проявления настойчивости, упорства в достижении цели. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности за приобретение математических ЗУН. Решение математических задач воспитывает особый математический стиль мышления.

Неопределённые задачи это задачи с неполным условием в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких-то указаний на свойство объекта или его связи с другими объектами.

Примеры:

• 1) В треугольнике одна сторона имеет 10 см., а другая 8 см., найти длину третей стороны.
• 2) Поезд состоит из цистерн товарных вагонов и платформ, цистерн на 4 меньше чем платформ и на 8 чем вагонов, какой длины поезд если каждая цистерна, вагон и платформа имеют длину 25 м.
• 3) Заасфальтировали на 30 км. Больше чем осталось. Сколько процентов дороги покрыто асфальтом.

Вывод: Решение неопределённой задачи обычно заканчивается неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значение из некоторого числового множества. Выявление этого множества и должно стать целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста задачи и взаимосвязи между данными величинами. Задачи этого типа требуют от учащихся мобилизации, практически всего набора знаний, умения анализировать условия, строить математическую модель решения, находить данные к задаче «между строк» условия.

Существуют также неопределённые задачи, но с избыточным составом условия, с лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или иной мере маскируют путь решения. (Пример: Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 9 и 40 см. и гипотенузой 41.).

Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условия, находить в нём нужные данные и отбрасывать не нужные.

Значение учебных математических задач.

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.

1) Образовательное значение математических задач.

При решении математических задач, человек приобретает математические знания, повышает своё математическое образование.

2) Практическое значение математических задач.

При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам. Готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемой практикой в повседневной жизни. При обучении математике учащимся следует предлагать задачи связанные со сложными дисциплинами, а также задачи с техническим жизненным содержанием.

3) Значение математических задач в развитии мышления.

Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее и особенно в данных сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач воспитывается правильное мышление и прежде всего приучаются к полноценной аргументации. Решение задач должно быть полностью аргументировано. Т. е. не допускаются обобщения, не обоснованные аномалии, предъявляются требования полноты дизъюнкции, соблюдается полнота и выдержанность классификаций. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления6 соблюдение формально-логической схемы рассуждения, лаконичное выражение мыслей, чёткая расчленённость хода мышления точность символики.

4) Воспитательное значение математических задач.

Прежде всего задача воспитывает своим текстовым содержанием. Правильно поставленное обучение решению математических задач, воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.