Лекция 4. Динамика газов. 
Основные уравнения движения газов

1. Понятие о линии тока и трубке тока

При движении газа на каждый его объем будут действовать не только силы, которые характерны для статики. Для движения идеального газа этими дополнительными силами будут силы инерции, а для реального газа — силы инерции и трения.

Прежде чем рассмотреть основные уравнения движения или динамики газов введем некоторые понятия.

Линия тока — это линия, касательные к которой в каждой точке совпадают с направлением скорости потока в этой точке. В установившемся потоке газа линии тока являются траекториями частиц.

В потоке газа можно выделить трубку, образующие которой дают линии тока.

Трубка тока — это элементарная струйка, образованная линиями тока (рис.1). Её поверхность образована всеми линиями тока, проходящими через замкнутый контур, ограничивающий площадь бесконечно малого размера, т. е. сечение элементарной струйки бесконечно малое. Давление и скорость в поперечном сечении элементарной струйки постоянны. Принято, что обмен газом между всем потоком и элементарной струйкой тока через её боковые границы отсутствует.

Рисунок 1.

2. Уравнение сплошности (неразрывности) движения газов

Теория движения газов строится на предположении неразрывности течения, сплошности.

Уравнение неразрывности выражает собой закон сохранения массы.

Так как газ через боковую поверхность трубки тока не проходит, массовый расход через поперечные сечения струйки одинаков.

Рисунок 1

Если рассматривать два произвольных сечения струйки тока (рис.1), то при установившемся течении уравнение сплошности для этих двух сечений имеет вид:

. (1.13).

Масса газа, втекающая в какой-либо объем в единицу времени, должна быть равна массе вытекающего газа. Для струйки несжимаемой среды, когда ₁=₂ это уравнение принимает вид:

. (1.14).

Поток газа состоит из струек, значит это справедливо для газа, в целом.

Если в качестве скорости принимать среднюю скорость потока, то выражение (1.14) справедливо для практических расчетов при течении в трубах и каналах, причем средняя скорость потока равна:

(1.15).

где V — секундный объем среды, м³/с;

f — площадь сечения, м².

3. Уравнение импульсов Эйлера

Уравнение импульсов (количеств движения) Эйлера имеет важное значение для некоторых практических расчетов.

В механике материальной точки теорему импульсов формулируют так: «изменение проекции количества движения на какую-нибудь ось равно проекции импульса действующей силы на ту же ось».

. (1.16).

Применим эту теорему к элементарной струйке установившегося потока движущегося без трения (рис.1).

Рисунок 1

Рассмотрим проекции сил и количеств движения на ось Х. Ось Z направлена вверх. Следовательно, проекция силы тяжести на ось Х будет равна 0.

Не равны нулю будут лишь проекции сил давления. За время d объем, заключенный между сечениями 1 и 2 переместится в бесконечно близкое положение 1' - 2'. Изменение количеств движения при переходе из положения 1 — 2 в положение 1' - 2' составит:

. (1.17).

Так как на основании закона сохранения массы, то уравнение (1.17) можно записать:

. (1.18).

На рассматриваемый элемент струйки действуют только силы давления, поэтому проекция импульса силы на ось О-Х составит:

. (1.19).

Подставив равенства (1.18) и (1.19) в уравнение (1.16) получим уравнение импульсов (уравнение Эйлера) для струйки газа:

. (1.20).

Поток газа складывается из отдельных струек, поэтому уравнение (1.20) справедливо для любого замкнутого контура, выделенного в потоке газа:

(1.21).

Уравнение импульсов можно сформулировать так: разность количеств движения газа, вытекающего из контура и втекающего в него, спроектированных на какую-нибудь ось, равна сумме сил, действующих на этот контур, спроектированной на ту же ось.

4. Уравнение Бернулли для трубки тока идеального газа

Уравнение Бернулли является математическим выражением закона сохранения энергии для трубки тока несжимаемой идеальной жидкости:

. (1.22).

Здесь первое слагаемое представляет собой объемную плотность кинетической энергии движущегося газа и называется динамическим давлением. Второе слагаемое Р имеет смысл объемной плотности потенциальной энергии и называется статическим давлением. Третье слагаемое представляет собой объемную плотность потенциальной энергии положения и называется геометрическим давлением.

Уравнение Бернулли показывает, что суммарная механическая энергия, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии по длине трубки тока остается постоянной.

В соответствии с уравнением Бернулли различные виды энергии могут переходить один в другой. Например: при горизонтальном движении газа, т. е. при Z= const, увеличение скорости потока приводит к уменьшению статическое давления, и наоборот, при уменьшении скорости статическое давление возрастает.

Иногда уравнение Бернулли для идеальной среды записывается и в таком виде:

(1.23).

разделив обе части уравнения (1.22) на удельный вес j=g;

5. Вывод уравнения Бернулли в избыточных давлениях

Мы говорили ранее, что в металлургической теплотехнике пользуются давлением, избыточным над атмосферным. Мы записали уравнение Бернулли (1.22) в общем виде. Теперь приведем уравнение Бернулли к такому виду, при котором все его члены будут выражены в избыточных давлениях. Для этого представим канал, окруженный воздухом плотностью _в, по которому движется газ плотностью _г (рис. 1). Принимая плотность газа и воздуха неизменными, напишем уравнение Бернулли для газа и воздуха применительно к сечениям канала Z₁ и Z₂.

Рисунок 1

Для газа.

.

Для воздуха (считаем, что он в спокойном состоянии, т. е. W_в=0).

.

Вычитаем из первого уравнения второе и получаем уравнение Бернулли для газа в избыточных давлениях:

или окончательно это можно записать так (с учетом ранее принятых обозначений):

. (1.24).

Это равенство справедливо для идеальной среды, лишенной вязкости. При движении реального газа по каналу часть его энергии затрачивается на преодоление различных сопротивлений и происходит потеря энергии. Тогда уравнение Бернулли можно записать так:

. (1.25).

Окончательно закон Бернулли формулируется так: «При установившемся течении несжимаемой жидкости или газа для различных сечений канала сумма давлений всех видов является постоянной.».