Содержание модели межотраслевого баланса

Классическая модель Леонтьева имеет следующие особенности:

• — рассматривается экономика, состоящая из «чистых» отраслей, т. е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;
• — взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технология);
• — вектор спроса на товары считается заданным, т. е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;
• — вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т. е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;
• — равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения, т. е. стоимостный баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

Цель построения модели Леонтьева — анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объём выпуска соответствует суммарному (т. е. производственному и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается в разукрупненном до уровня отраслей виде. Предполагается, что каждая отрасль является «чистой», т. е. выпускает только один и только свой продукт. Это допущение и ряд других упрощений (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование невоспроизводимых ресурсов и др.) касаются, в основном, исходной модели. Их не следует относить к недостаткам модели, ибо она в дальнейшем обобщается и конкретизируется до разных уровней детализации.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресурсов по конкретным направлениям их использования. В модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая таблица — таблица межотраслевого баланса, составленная из коэффициентов прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. Предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-той отрасли, равное. Оно не зависит от объёма производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

= /, (i, j = 1, 2,…, n) (1).

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

С учётом формулы (1) систему уравнений баланса можно переписать в виде:

= (x1 + x2 + … + xn) + ,.

(i = 1, 2,…, n),.

или.

= ?aijXj+Yi (2).

если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат A, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

|| x1 || || a11 a12 … a1n || || y1 ||.

|| x2 || || a21 a22 … a2n || || y2 ||.

X = || … ||, A = || … … … … ||, Y = || … || ,.

|| xn || || a1n a2n … ann || || yn ||.

то система уравнений (2) в матричной форме примет вид:

X=AX+Y (3).

данное уравнение, где A — постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью «затраты-выпуск».

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчётов:

задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X, (4) (при этом E обозначает единичную матрицу n-го порядка).

задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A) Y, (5) (при этом (E-A)-1 обозначает матрицу, обратную (E-A)).

для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (3), а системой линейных уравнений (2).

Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Переписав матричное уравнение в виде: (E — A) X = Y, можно сделать следующие выводы:

Если матрица (E — A) невырожденная (т. е. если её определитель не равен нулю), тогда имеем:

X = (E — A) -1 Y (6).

Обозначим обратную матрицу В = (E — A)-1. Эта матрица В = (E — A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной форме уравнение (5) теперь запишется как:

X=BY (7).

Элементы матрицы В будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение: Xi =?biYj, I=1…n.

В отличие от коэффициентов прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

|| 1 || || 0 || || 0 ||.

|| 0 || || 1 || || 0 ||.

Y1 = ||… ||, Y2 = ||…||, Yn = ||… || .

|| 0 || || 0 || || 1 ||.

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:

||s11|| ||s12|| ||s1n||.

||s21|| ||s22|| ||sn2||.

Y1 = ||. .||, Y2 =||… ||,, Yn = ||… ||.

||sn1|| ||sn2|| ||snn||.

Следовательно, каждый элемент bij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить, продуктивна ли матрица. Матрица, А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E — A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица, А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным.

К необходимым же и достаточным условиям относят следующие:

• — матрица (E-A) неотрицательно обратима, т. е. существует обратная матрица (E-A) ?0;
• — матричный ряд E + A +A?+A? +…=? A? сходиться, причём его сумма равна обратной матрице (E-A);

Вычислительные аспекты решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.

Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т. е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т. е. включены в конечный продукт.