Электропроводная ньютоновская жидкость

В данной курсовой работе мы рассмотрим электропроводную ньютоновскую жидкость, в которой взвешено большее количество твердых сферических однородно намагниченных частиц. Мы также установим, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических магнитных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

Эффективная вязкость суспензии магнитных частиц в электропроводной жидкости

Для начала вычислим эффективную вязкость суспензии твердых шариков. Жидкость, в которой взвешено большое количество мелких твердых частиц (суспензия), можно рассматривать как однородную среду, если мы интересуемся явлениями, характеризующимися расстояниями, большими по сравнению с размерами частиц. Такая среда будет обладать эффективной вязкостью, отличной от вязкости основной жидкости. Эта вязкость может быть вычислена для случая малых концентраций взвешенных частиц (т.е. суммарный объем всех частиц предполагается малым по сравнению с объемом всей жидкости). Вычисления сравнительно просты для случая шарообразных частиц.

В качестве вспомогательной задачи необходимо предварительно рассмотреть влияние, которое оказывает один погруженный в жидкость твердый шарик на течение, обладающее постоянным градиентом скорости. Пусть невозмущенное шариком течение описывается линейным распределением скоростей.

(1).

где — постоянный симметрический тензор. Давление в жидкости при этом постоянно:; условимся в дальнейшем отсчитывать давление от этого постоянного значения. В силу несжимаемости жидкости () тензор должен иметь равной нулю след:

. (2).

Пусть теперь в начало координат помещен шарик радиуса. Скорость измененного им течения обозначим посредством; на бесконечности должно обращаться в нуль, но вблизи шарика отнюдь не мало по сравнению с. Из симметрии течения ясно, что шарик останется неподвижным, так что граничное условие гласит: при .

Рассмотрим уравнение Навье-Стокса для движений с малым числом Рейнольдса. Для стационарного движения несжимаемой жидкости это уравнение имеет вид.

.

Член имеет порядок величины. Выражение же. Отношение первой величины ко второй есть как раз число Рейнольдса. Поэтому при членом можно пренебречь, и уравнение движения сводится к линейному уравнению.

. (3).

Вместе с уравнением непрерывности.

(4).

оно полностью определяет движение. Полезно также заметить уравнение.

(5).

получающееся применением операции к уравнению (3).

Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение шара в вязкой жидкости. Эта задача вполне эквивалентна задаче об обтекании шара потоком жидкости, имеющим на бесконечность заданную скорость. Распределение скоростей в первой задаче получается из решения второй задачи просто вычитанием скорости; тогда жидкость на бесконечности оказывается неподвижной, а шар движется со скоростью —. Если мы рассматриваем движение как стационарное, то надо, конечно, говорить именно об обтекании жидкостью неподвижного шара, так как при движущемся шаре скорость жидкости в каждой точке пространства меняется со временем.

Поскольку, то может быть представлена в виде ротора некоторого вектора :

.

причем обращается на бесконечность в нуль. Вектор должен быть аксиальным для того, чтобы его ротор был полярным вектором, как скорость. В задаче об обтекании полностью симметричного тела-шара-нет никаких выделенных направлений за исключением направления. Этот параметр должен входить в линейно — в виду линейности уравнения движения и граничных условий к нему. Общий вид векторной функции, удовлетворяющей всем этим требованиям, есть, где — единичный вектор в направлении радиус-вектора (начало координат выбираем в центре шара), а — скалярная функция от. Произведение можно представить в виде градиента некоторой другой функции. Таким образом, получаем.

(6).

где, , .

Искомое решение уравнений движения (3)-(5) может быть получено непосредственно из найденного решения (6), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора (а не от вектора). Таковым является.

.

где () обозначает вектор с компонентами. Раскрывая эти выражения и выбирая постоянные и в функции так, чтобы удовлетворить граничным условиям на поверхности шарика, получим в результате следующие формулы для скорости и давления:

(7).

(8).

(- единичный вектор в направлении радиус-вектора).

Переходя теперь к самому вопросу об определении эффективной вязкости суспензии, вычислим среднее (по всему объему) значение тензора плотности потока импульса, совпадающего в линейном по скорости приближении с тензором напряжений — :

.

Интегрирование можно производить здесь по объему сферы большего радиуса, который затем устремляется к бесконечности.

Прежде всего, пишем тождественно:

. (9).

В стоящем здесь интеграле подынтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри твердых шариков; ввиду предполагаемой малости концентрации суспензии его можно вычислять для одного отдельного шарика, как если бы других вообще не было, после чего результат должен быть умножен на концентрацию суспензии (число шариков в единице объема). Непосредственное вычисление такого интеграла требовало бы исследование внутренних напряжений в шариках. Можно, однако, обойти это затруднение путем преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности бесконечно удаленной сферы, проходящей только через жидкость. Для этого замечаем, что ввиду уравнения движения имеет место тождество.

;

поэтому преобразование объемного интеграла в поверхностный дает.

.

Член с мы опустили, имея в виду, что среднее давление непременно обращается в нуль (действительно, это есть скаляр, который должен определяться линейной комбинацией компонент тензора; но единственный такой скаляр).

При вычислении интеграла по сфере очень большого радиуса в выражении (7) для скорости следует, конечно, сохранить лишь члены ~. Простое вычисление дает для этого интеграла.

.

где черта обозначает усреднение по направлениям единичного вектора. Искомые средние значения произведений компонент единичного вектора представляют собой симметричные тензоры, которые могут быть составлены только из единичных тензоров. Имея это в виду, легко найти, что.

.

Производя усреднение, получаем окончательно:

. (10).

Первое слагаемое в (10) после подстановки в него из (1) дает; член же первого порядка малости в этом слагаемом тождественно обращается в ноль после усреднения по направлениям (как и должно было быть, поскольку весь эффект заключен в выделенном в (9) интеграле). Поэтому искомая относительная поправка в эффективной вязкости суспензии определяется отношением второго члена в (10) к первому. Таким образом, получим.

, (11).

где — малое отношение суммарного объема всех шариков к полному объему суспензии.

Уже для суспензии с частицами в виде эллипсоидов вращения и окончательные формулы становятся очень громоздкими. В потоке суспензии с нешарообразными частицами наличие градиентов скорости оказывает ориентирующее действие на частицы. Под влиянием одновременного воздействия ориентирующих гидродинамических сил и дезориентирующего вращательного броуновского движения устанавливается анизотропное распределение частиц по их ориентации в пространстве. Этот эффект, однако, не должен учитываться при вычислении поправки к вязкости: анизотропия ориентационного распределения сама зависит от градиентов скорости (в первом приближении — линейно) и ее учет привел бы к появлению в тензоре напряжений нелинейных по градиентам членов.

Представляет интерес изучить этот вопрос для суспензии магнитных частиц в электропроводной жидкости. Хотя в отсутствии внешних полей такая суспензия не обладает макроскопической намагниченностью и в ней нет макроскопических токов проводимости, локальные магнитные поля частиц и индуцируемые ими в окрестности частиц токи придают задаче большое своеобразие.

Рассмотрим электропроводную ньютоновскую жидкость* [см. стр. 11], в которой взвешено большое количество твердых сферических однородно намагниченных частиц. Вычислим эффективную вязкость и тензор вязких напряжений такой среды, следуя программе энергетического метода. Покажем, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

Отправной точкой энергетического метода является исследование магнитной гидродинамики в окрестности уединенной частицы, помещенной в потенциальный поток магнитный электропроводный жидкость гидродинамика.

. (12).

Здесь — постоянный тензор** [см. стр. 11] скорости деформации невозмущенного частицей течения. В случае чисто вязкого обтекания для скорости и давления найдено:

.

. (13).

Здесь — радиус частицы, — расстояние от начала координат, где помещена частица, — вязкость несущей жидкости. Расчет дополнительных возмущений, вносимых МГД-эффектами. В приближении малых значений чисел Гартмана, Рейнольдса и магнитного числа Рейнольдса для поправок давления, скорости, электрических потенциалов индуцированного поля в жидкости () и в частице () найдено:

.

(14).

.

Здесь — величина магнитного момента частицы и — его орт, — коэффициенты электропроводимости жидкости () и частицы (), — скорость света.

Энергию, диссипируемую в единице объема суспензии за единицу времени, вычислим как произведение числа частиц в единице объема на вклад отдельной частицы:

. (15).

Здесь первый интеграл вычисляется по объему жидкости, а второй — частицы; далее.

;

тензор напряжений в жидкости,.

() — (16).

плотность тока проводимости в жидкости и частице, — напряженность магнитного поля в жидкости. Отметим, что плотность тока в (16) определяется по чисто вязкому профилю скорости (13) и невозмущенной напряженности поля,. Учитывая уравнения движения.

,.

Имеем.

.

Используя (16) и закон сохранения заряда, запишем.

.

.

Тогда в первом приближении по возмущению.

. (17).

Здесь — чисто вязкий вклад. Переходя в (17) к интегралам по поверхности и учитывая непрерывность на поверхности частицы электрического потенциала и нормальной компоненты тока, имеем.

(18).

Здесь — внешняя поверхность объема , — нормаль к ней. При интегрировании по бесконечно удаленной поверхности сохранится вклад слагаемых в подынтегральном выражении, уменьшающихся с расстоянием как. Используя соотношения (13), (14), (16), найдем, что вклад электромагнитного слагаемого обращается в нуль, а в разложениях по степеням ненулевой вклад дадут члены разложения.

;

; (19).

.

.

В результате интегрирования находим выражение через тензор скорости деформации невозмущенного течения.

(20).

Здесь.

,.

;

.

.

Средний тензор скорости вычисляется путем усреднения локального значения тензора скорости сдвига.

.

по объему, содержащему большое число частиц. Окончательный результат вычислений, следующий:

. (21).

Здесь.

.

. (22).

.

Эффективная вязкость суспензии есть тензор четвертого ранга в выражении мощности диссипации через средний тензор скорости сдвига:

. (23).

Соотношение (23) можно получить из соотношения (10), подставив в него выражение для тензора скорости деформации невозмущенного течения через усредненный тензор деформации, разрешив уравнение (21) относительно :

. (24).

Здесь — тензор, обратный тензору, компоненты которого определяются системой уравнений.

. (25).

Подставив (24) в (10) с учетом (23), получим следующее:

. (26).

Отыскиваем в виде комбинации определяющих тензорных параметров, квадратичной по, симметричной относительно перестановок индексов в первой и второй парах:

(27).

Подставляя (27) в (25) и собирая слагаемые при одинаковых тензорных комбинациях, находим неизвестные постоянные в (27) в виде.

,.

.

С помощью (27), (28), (21), (26) находим.

. (28).

Кинетические коэффициенты определяются формулами.

, ,.

.

Здесь.

, ,.

.

Производя вычисления по полученным формулам с сохранением членов ~ но отбрасывая ~, находим.

.

,. (29).

Выполненные расчеты отвечают полной аксиальной упорядоченности ориентации магнитных моментов. Если, наоборот, частицы ориентированы случайным образом, вязкость вырождается в скаляр:

. (30).

Вычисленная поправка сравнима с поправкой Эйнштейна при .

Для частиц железа и ртути это дает характерный размер см.

Тензор вязких напряжений в магнитной электропроводной суспензии, движущейся свободно, без воздействия внешних полей, есть.

(31).

Соотношение (31) с точностью до коэффициентов тождественно известному результату для тензора вязких напряжений суспензии эллипсоидов вращения. Это естественно, поскольку в обоих случаях симметрия среды определяется вектором-направлением.

Для гидродинамического описания суспензии наряду с уравнениями.

(32).

необходимо привлечь уравнения изменения. Его можно получить, исключив в кинематическом соотношении.

(33).

скорость вращения частицы с помощью уравнения баланса действующих на частицу моментов сил. Сферическая частица в потоке электропроводной жидкости испытывает ориентирующий момент.

.

Он уравновешивается моментом трения, который с учетом МГД-эффектов и с учетом соотношения (24).

.

МГД-поправка к моменту трения пропорциональна и зависит от взаимной ориентации векторов. Эта зависимость, однако мала (~10%), и можно считать.

.

Найдя из уравнения и подставляя его в (33), получим.

. (34).

Сохраняя члены ~ и отбрасывая ~, имеем.

.

Уравнение (34) с точностью до совпадает с уравнением динамики единичного вектора оси вращения эллипсоида.

Соотношения (31) и (34) показывают, что в гидродинамическом отношении суспензия сферических намагниченных частиц в электропроводной жидкости в отсутствие внешних полей подобна суспензии эллипсоидов вращения в обычной жидкости.

• *Н.ж.- вязкая жидкость подчиняющаяся при своем течении закону вязкого трения Ньютона. Для прямолинейного ламинарного течения этот закон устанавливает наличие линейной зависимости между касательной напряжением в плоскостях соприкосновения слоев жидкости и производной от скорости течения по направлению нормали к этим плоскостям () — динамический коэффициент вязкости. В общем случае пространственного течения для Н.ж. имеет место линейная зависимость между тензорами напряжений и скоростей деформации. Свойствами Н.ж. обладают большинство жидкостей (вода, смазочное масло) и все газы. Жидкости, для которых указанные выше зависимости не являются линейными, называются неньютоновскими жидкостями. К ним относятся ряд суспензий и растворов полимеров.
• **Тензор — абстрактный объект T, имеющий определенную систему компонент в каждой рассмотренной системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты изменяются по вполне определенному закону. Каждая точка n-мерного пространства задается в выбранной системе координат набором n-чисел (). Переход от одной системы координат к другой означает преобразование и выполняются следующие свойства:
  • 1. где и — непрерывно диф-мые функции;

2. якобиан преобразования ;

Тензор ранга 0 -тензор, имеющий только одну компоненту с одним и тем же значением, во всех координатных системах является скаляром. Примеры скаляров в физике — масса, заряд. Тензор ранга 1 является вектором. Примеры векторов в трехмерном пространстве — скорость, импульс, сила, напряженность электрических и магнитных полей. Некоторые тензоры ранга 2 также имеют специальные названия в геометрии и физике, теории римановых пространств и в теории относительности, тензор напряжений и тензор деформации в механике сплошной среды и т. д.

В заключение отметим, что при расчете диссипации мы не учитывали вклад, связанный с вращением частицы, отличным от квазитвердого вращения с жидкостью. Это привело бы к возникновению перекрестных эффектов между симметричной и антисимметричной составляющими тензора скорости деформации, имеющих второй порядок малости по. Использование стационарного решения для обтекания частицы обосновано малым временем установления профиля обтекания по сравнению с макроскопическим гидродинамическим временем: .

• 1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т.3. М.: Наука, 1966.
• 2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
• 3. Покровский В. Н. Напряженность, вязкость и оптическая анизотропия движущейся суспензии жестких эллипсоидов.// УФН. 1971.
• 4. Берковский Б. М., Кашевский Б. Э., Порошин Ю. В. Магнитная частица в поле вязкой электропроводной жидкости.// Магнит. Гидродинамика. 1987.