Алгебраические свойства групп бесконечных матриц

Бесконечные матрицы встречаются в разных разделах математики. Систематическое изучение началось в теории суммирования расходящихся последовательностей и рядов, в квантовой механике и теории решения бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных.

В теории рядов рассматриваются преобразования последовательностей типа (гп) -(—',) = ф (^п)), где г’п = Хд-^х апк^кПреобразование ф задается при помощи бесконечной ¦ матрицы, а = (йу). Необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование ф переводило любую сходящуюся последовательность в сходящуюся, найдены Кожимой.

Теория Гейзенберга—Дирака в квантовой механике использует решения двух линейных уравнений в бесконечных матрицах:

АХХА = 1 АХ — ХБ = О первое уравнение называется уравнением квантования). Для нахождения решений используется теория спектров операторов в гильбертовых пространствах.

Бурное развитие теории линейных пространств бесконечной размерности наступило в начале XX века. Основания были заложены главным образом исследованиями Р1вара Фредгольма и Вито Вольтерры. Они рассматривали теорию линейных уравнений с бесконечным числом уравнений и неизвестных с использованием представления в виде предела линейных уравнений с конечным числом уравенений и неизвестных, когда число уравнений и неизвестных становится бесконечным. Это привело к развитию теории интегральных уравнений. С другой стороны, работы Давида Гильберта, Джона фон Неймана, Эрхарда Шмидта и Фригеса Риса по теории интегральных уравнений послужили толчком к развитию теории линейных пространств бесконечной размерности. Это и привело к созданию теории банаховых и гильбертовых пространств.

Алгебраические свойства бесконечных матриц и бесконечномерных линейных или классических групп исследуются во многих статьях и монографиях. Это делается с разных точек зрения, среди которых мы отметим теорию ассоциативных колец и модулей, алгебраическую /С-теорию, теорию алгебр Ли и алгебраических групп, теорию бесконечных групп, функциональный анализ (кольца операторов, спектральный анализ), элементарный анализ (теория функций, последовательности и ряды), теорию представлений, теорию моделей, бесконечную комбинаторику и теорию вероятностей.

Бесконечные матрицы мы можем складывать как обычные матрицы. Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их. А именно, умножение бесконечных матриц не всегда определено. В анализе, где используются комплекснозначные и вещественнозначные бесконечные матрицы эту ситуацию преодолевают наложением на матрицы условий типа сходимости последовательностей коэффициентов в строках и столбцах. В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, типа конечнострочности или конечно-столбцовости. Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным. В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных.

Алгебраический подход к изучению бесконечных матриц начался в 40-вых годах ХХ-того века с работ Р. Бэра, Н. Джекобсона, Дж. Маки, И. Амитцура и других. Сначала они изучали кольцо конечиострочных бесконечных матриц, Mj (оо, R) над], кольцом R (кольцо эндоморфизмов левого свободного модуля) и кольцо Mrc (o°> R) конечиострочных и конечностолбцовых бесконечных матриц (кольцо непрерывных эндоморфизмов или кольцо эндоморфизмов with adjoint), которое появилось в исследовании счетномерных алгебр и других колец со свойствами конечности. Итоговая работа Н. Джекобсона о неприводимых модулях показала важность плотных подко-лец кольца Mr (°o,.R), т. е. колец содержащих кольцо M (-R) — состоящее из матриц имеющих только конечное число ненулевых элементов. Такие кольца и называются кольцами бесконечных матриц. Для многих математиков кольца бесконечных матриц служат только примерами патологий в кольцах. В монографии [41] бесконечные матрицы появляются главным образом в качестве контрпримеров. На первый взгляд бесконечные матрицы не имеют никакой обозреваемой структуры, возможно потому, что не удовлетворяют никаким условиям конечности (например, они никогда не являются односторонне нетеровскимп). На самом деле в работах многих математиков выявлена их богатая структура. Например, два унитальные кольца R и S Морита эквивалентны тогда и только тогда, когда M (-R) — М (5″) Мьс (оо, R) — Мьс (°о, S) Mrc (°o, R) — Мгс (оо) S) Mr (oo, R) — Mr (oo, S) (здесь Мьс (°о, R) обозначает кольцо всех матриц, у которых все ненулевые элементы только в конечном числе столбцов). Кольца Мг (°о, R) и МГс (°о> S) никогда неизоморфны, существуют кольца R, S такие, что R ~ Mr (°o. R) и S ~ Мгс (°°, S). Для групп Пикара имеем изоморфизмы Pic® ~ Pic (M® ^ Pic{Ur{oo, R)) [38], [35], [36], [37], [92], [39].

Исследования колец эндоморфизмов естественным образом возбудили интерес и к группам автоморфизов бесконечномерных модулей. Они интенсивно начались изу-чатся в работах Капланского [116], [117], Кадисона [115], Маки [129] и Розенберга [153] 1950;х годов. В громадном количестве работ рассматривались различные группы бесконечных матриц. Два крайних условия конечности накладываемые на бесконечные матрицы, они и наиболее широко обсуждались в литературе, это:

СЪ (К) — стабильная полная линейная группа, которая является индуктивным пределом групп СЬ (п, Я) относительно естесвенных вложений;

СЬс (Г2, Я) — группа автоморфизмов правого модуля (соответственно ОЬг (Г2, Я) для левого модуля где П — бесконечное индексное множество.

СЬ (/?) это не аналог стабильного кольца Л/(Л), которое не имеет единицы, а его расширения посредством добавления скалярных матриц. Элементами стабильной группы являются матрицы, которые формально бесконечны, но в действительности лишь в конечном числе мест отличаются от единичной матрицы. Эта группа устроена, в принципе, как конечномерные полные линейные группы СЬ (?г,, и даже проще. Она нашла широкое применение в алгебраической К-теории (достаточно посмотреть любую монографию по основам алгебраической /{'-теории [93], [133], [3]). Именно эта группа является модельной для построения /^-теории колец, однако, практически никакой специфики бесконечных матриц в ней не наблюдается.

Более интересным случаем, полностью выявляющим специфику бесконечных матриц, есть группа СЬс (Г2,Я) (соответственно СЬГ (Г2, Д)), в матрицах она представляется такими конечностолбцовыми (соответсвенно конечнострочными) матрицами, обратные к которым тоже являются конечностолбцовыми (соответсвенно конечно-строчными) матрицами. Надо отметить, что для бесконечных матриц условие конечности для обратной матрицы а~1 совершенно не вытекает из соответсвующего условия на саму матрицу а, как показывает следующий пример: а —.

1 -1 0 0 0.

0 1 -1 0 0.

0 0 1 -1 0.

0 0 0 1 -1 а.

1 1 1 1 1.

0 1 1 1 1.

0 0 1 1 1.

0 0 0 1 1.

Матрица, а является конечнострочной, но обратная к ней не является конечно-строчной. С другой стороны матрица, а имеет конечнострочною правую обратную к ней, именно: а = О -1 -1 -1.

V ••• о о -1 -1 о о о -1 о о о о о о о о.

Группа СЬс (Г2, Я) является формальным аналогом групп вЬ (п, Я), но фактически она устроена бесконечно сложнее. Следует отметить, что в случае бесконечного П, на самом деле, практически все результаты не зависят от мощности множества П. Это значит, что уже случай группы СЬс (М, Я), индексированной натуральными числами, является модельным для исследования структуры и свойств бесконечномерных групп. В дальнейшем эту группу будем обозначать просто СЬ0(оо, Я).

Среди условий конечности, накладываемых на бесконечные матрицы отметим ещё- следующие, встречавшиеся в литературе:

GLrc (N, Я) — группа конечностолбцовых и конечно строковых матриц, она является просто пересечением групп GLC (N, Я) и GLr (N, Я), самое интересное, что группы GLC (N, Я) и GLr (N, Я) максимальны и не содержатся в какой-то общей надгруппе;

GLb (N, Я) — группа, состоящая из матриц, а конечной ширины, то-есть таких, для которых существует такое т, что все элементы матриц, а и а-1 вне диагональной полосы ширины т нулевые;

GL?, C (N, Я) — финитарная группа, состоящая из всех матриц а, для которых все ненулевые элементы матрицы, а — е находятся в конечном числе строк (здесь е — единичная матрица).

Группа СЬьс (М, Я) и её- подгруппы интенсивно изучались в работах по теории локально конечных групп в случае когда Я = К — конечное или локально конечное поле [94].

Группа Я) связана с алгебрами Ли рассмотренными Вердие, её- подгруппы состоящие из периодических матриц имеют отношение к алгебрам Каца-Муди [114] и к группам конечных синхронных автоматов [17].

Исследование групп бесконечных матриц тесно связано с исследованием конечномерных линейных групп. Различные вопросы, связанные со структурой линейных групп, изучались уже К. Жорданом, Л. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж. Дьедонне и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп. Укажем те, которые имеют особенное отношение к бесконечным матрицам.

Традиционно самый большой интерес вызывают нормальные подгруппы. Центральный результат в этой области получен Х. Бассом, описавшим строение нормальных делителей стабильной группы СЬ (/?) [3], откуда получается описание на стабильном уровне строения нормальных делителей полной линейной группы СЬ (тг, Л) над кольцами. Для нестабильной ситуации аналоги результата Басса для СЬ (п, Я) были позднее получены в работах А. А. Суслина, Дж. Уилсона, А.3.Голубчика и некоторых других авторов. С другой стороны работы Р. Бэра и Н. Джекобсона, рассматривающие кольца эндоморфизмов бесконечномерных модулей (отметим здесь описание Бэром двусторонних идеалов), и работы Р. Бэра и С. Улама, описывающие нормальное строение группы подстановок бесконечного множества, возбудили интерес к нормальному строению СЬс (М, В). В работах А. Розенберга [153], Г. Максвела [135], Ю. Хаузен [99], Э. Робертсона [147], [148], Д. Аррела [44], [45], [46] описывались нормальные подгруппы или подгруппы нормализуемые элементарными матрицами в группе СЬс (М. К) для различных классов колец. Оказалось, что, как в результате Басса, они попадают в интервалы, связанные с конгруэнц-подгруппами соответсвующими двусторонним идеалам. И. Фаруки дал пример бесконечного множества несчетных цепей в решетке нормальных подгрупп группы СЬс (М, Ж) обобщая определение кон-груэнцподгрунпы [83]. Р. Берне и И. Фаруки описали максимальные нормальные подгруппы в группе целочисленных матриц СЬс (М, Z), они естественным образом индуцированы гомоморфизмами Z —> Ъ^Ъ (р— простое) [60].

Ряд авторов рассматривал подгруппы, определяемые в теоретико-групповых терминах: абелевы, разрешимые, нильпотентные, силовские и т. д.- основные достижения в этой области принадлежат в конечномерном случае Дж. Диксону, Б. Верфрицу, Д. А. Супруненко, В. П. Платонову, А. Е. Залесскому и другим алгебраистам минской школы. Для группы СЬс (М, Я) аналогичные исследования проведены Б. И. Плотки-ным [29], М. Р. Седнёвой [32], И. Д. Р1ванютой [19], Л. А. Курдаченко, И. Субботиным [122] и другими.

Предметом постоянного интереса является описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений — особое внимание к этому вопросу было стимулировано работами 60-х годов Р. Стейнберга и Дж. Мплнора по стабильной группе Стейнберга. В работах П. Вермеша и его учеников: Д. Айреша, К. Пастора, И. Денсша исследовалось порождение стрингами разных групп бесконечных матриц, как и разложение в комплексное произведение подгрупп. В частности, они показали, что группа конечнострочных и конечностолбцовых матриц имеет ширину два относительно стрингов (диагональных матриц с конечными блоками на главной диагонали) над полем комплексных чисел [175]. В последнее время В. Толстых решил проблему Бергмана, показывая, что существует натуральное к такое, что полная линейная группа конечностолбцовых матриц над телом имеет конечную ширину не больше к для произвольного множества образующих [33].

С теоретикомодольной точки зрения группа СЬс (М, В.) и её- подгруппы исследовались в работах П. Неймана, Д. Макферсона, Д. Эванса, С. Томаса, Дж. Бергмана, М. Дросте, Р. Гебеля, В. Толстых и других. Они рассматривали в группе СЬс (М, К) в случае, когда К — ноле, подгруппы малого (счетного) индекса [82] и максимальные подгруппы [130], направление тесно связанное с исследованием максимальных подгрупп конечных простых групп. Выяснилось, что некоторые типы максимальных подгрупп в конечномерном случае являются такими и бесконечном случае. Но, с другой стороны, появляются новые типа максимальных подгрупп естественные для бесконечного случая, как стабилизаторы максимальных идеалов или фильтров, почти стабилизаторы подможеств той же мощности, что их дополнения. Отметим тоже, что группа СЬс (М, К) не является суммой счетной возрастающей последовательности своих собственных подгрупп, это вытекает из того, что она удовлетворяет свойству кофинальности.

После завершения классификации конечных простых групп внимание математиков привлек вопрос описания счетных локально конечных простых групп. Эти вопросы рассматривались в работах Хирша, Кловса, О. Кегеля, Верфрица, Р. Хартли, А. Залесского, У. Мейерфранкенфельда, Ф. Лайнена, О. Пульизи, Б. Лашингера и других. Получено описание счетных локально конечных подгрупп в группе СЬг, с (оо, К) над конечным полем К. Оказалось, что они являются обобщениями простых конечных групп классических серий [94].

Еще один важный аспект в исследовании линейных групп связан с изучением решетки Ьа^&'о, ??) подгрупп группы С, содержащих некоторую выделенную подгруппу Со, — такую задачу обычно называют описанием промежуточных подгрупп. Интерес к этой задаче тесно соприкасается с проектом классификации максимальных подгрупп конечных простых групп, в течение последних десятилетий находящемся в центре внимания ведущих специалистов — Г. Зейца, М. Либека, Я. Саксла, А. Коэна, Д. Тестерман и многих других. Особенно бурно этот раздел теории конечных групп развивается после появления ставшей уже классической работы М. Ашбахера, где было доказано, что каждая максимальная подгруппа конечной линейной группы либо принадлежит одному из восьми описанных классов, либо является почти простой группой в некотором абсолютно неприводимом представлении. Для линейных групп над конечным полем, полностью эта проблема была решена П. Клейдманом и.

М.Либеком. Для бесконечных полей, а также для разных типов колец, вопросы, связанные с описанием решетки промежуточных подгрупп в контексте классов Ашбахс-ра, рассматривались во многих сотнях работ, авторами которых являются Ж. Тите, А. Борель, Д. Дьокович, В. П. Платонов, К. Судзукн, Ли Шанчжи, Н. С. Романовский, Р. А. Шмидт, А. В. Степанов, Ли Фуан и многие другие. Следует отметить проблему описания надгрупп расщепимого максимального тора. Один из основных результатов представляемой работы относится к этому направлению изучения линейных групп.

Для групп Шевалле над алгебраически замкнутым полем К описание промежуточных подгрупп рассматриваемого типа с использованием методов алгебраической геометрии было получено А. Борелем и Ж. Титсом: если Gq — расщепимый максимальный тор группы G = С (Ф, К), то для каждой подгруппы Н решетки Lat (G, Gq) существует такое единственное замкнутое подмножество S С Ф, что выполняются включения.

G (S) <�Н< N (5), где под G (S) понимается подгруппа, порожденная тором Gq и всеми корневыми элементами .г~а (?) при, а е S и ^ G К, а под N (5″) — нормализатор G (5') в группе G. Такая специфическая классификация весьма обычна при описании промежуточных подгрупп — удобно называть ее стандартной, говоря при этом, что подгруппы G (S") служат ее базисом.

При переносе теоремы Бореля-Титса на другие поля и кольца в работах разных авторов возник и далее стал общеупотребительным подход, связанный с рассмотрением особых матриц из идеалов и соответствующих им подгрупп — сетей идеалов и сетевых подгрупп, как они стали называться в работах З. И. Боревича и его учеников ленинградской-петербургской школы. Как частные случаи, работы большинства упомянутых ниже авторов включают в себя алгебраически замкнутые и конечные поля, но техника доказательства в них совершенно отличается от методов алгебраической геометрии и конечных групп. Отметим, что И. Р. Шафаревич изучал бесконечномерные линейные группы методами алгебраической геометрии [34]. З. П. Боревич доказал, что если К — произвольное поле, содержащее не менее 7 элементов, то решетка надгрупп диагональной группы К) в GL (п, К) допускает стандартное описание, базисом которого служат D-сетевые подгруппы G (cr) [4]. В дальнейшем З. П. Боревич и Н. А. Вавилов доказали, что решетка Lat (D (n, R), GL (n, R)) описывается стандартно и для большинства полулокальных колец R (не обязательно коммутативных) [6].

В представляемой диссертации мы обобщаем сразу несколько из упомянутых здесь результатов. Следует сказать, что техника, развитая для этих вопросов, позволяет получить соответствующие результаты и для других классических групп бесконечных матриц.

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, тесно связаны с общим развитием структурной теории бесконечномерных линейных групп. Это и определяет актуальность темы диссертации.

Основной целью работы является исследование структуры подгрупп бесконечных матриц над произвольным ассоциативным кольцом. В рамках этой задачи требуется разработать технику работы с бесконечными матрицами. В этом же контексте следует построить аналог теории сетевых подгрупп, выработать правильные определения и методы.

В работе используются аналоги традиционных методов теории линейных групп над кольцами, включая метод исследования подгрупп линейных групп при помощи сетей идеалов, применяемые в случае бесконечных матриц, выработаны новые понятия для работы с бесконечными матрицами (понятие роста), усовершенствованы методы работы с понятиями, раннее использованными в исследовании бесконечных матриц (стринги). Применяются также общие теоретико-групповые и теоретико-кольцевые методы.

В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• введено в рассмотрение новое понятие роста натуральнозначных функций, позволяющее классифицировать подгруппы бесконечных матриц и других счетно-мерных алгебраических структур, описаны свойства решетки ростов;

• обобщены на случай произвольного ассоциативного кольца результаты о порождении стрингами важных классов групп бесконечных матриц, вычислена ширина относительно стрингов некоторых подгрупп группы бесконечных матриц;

• описапы с использованием бесконечных аналогов сетей и сетевых подгрупп промежуточные подгруппы группы конечностолбцовых бесконечных матриц (содержащие клеточно-диагональные матрицы), треугольных матриц и группы Маклейна (содержащие диагональные матрицы), описаны параболические подгруппы группы Верншка—Керова;

• построено новое представление свободной группы бесконечными унитреуголь-ными матрицами над кольцом характеристики нуль и р > 2, упрощающее доказательства классических теорем о свободных группах;

• доказано, что в группе бесконечных унитреугольных матриц над конечным полем почти все /с-порожденнныне подгруппы являются свободными группами ранга к;

• доказано, что в полугруппе бесконечных треугольных матриц над конечным полем почти все fc-порождешшыне подполугруппы являются свободными полугруппами ранга к].

• описаны новые подгруппы группы автоморфизмов свободной группы счетного ранга и относительно свободных групп, определены естественные для них множества порождающих;

• охарактеризованы свойства двух классов подгрупп группы автоморфизмов корневого графа счетной валентности.

Диссертация носит теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты применимы при исследовании структуры групп бесконечных матриц над различными классами колец. Материал, изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по линейным группам.

Результаты, полученные в представляемой работе, докладывались на междуна-родныой алгебраической конференции, посвященной памяти З. И. Боревича (Санкт-Петербург 2002), на международной конференции по теории групп «Groups St. Andrews» (Сант Эндрюс, Великобритания, 2001 и Оксфорд 2005), на международных конференциях «Groups and Group Rings» (Ustron 2003, Bedlewo 2005), на конференции по геометрической теории групп (Хайфа 2000), на алгебраических конференциях в Украине (Ужгород 2001, Киев 2001, Львов 2003), на конференции посвященной памяти Д. А. Граве (Киев 2002). Результаты работы докладывались на алгебраических семинарах университетов Вирцбурга (2001), Эрланген (2001), Афин (2002), Барселоны (2003), Варшавы (20 026 20 046 2006), Вроцлава (2004), а также на петербургском городском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева.

Практически все результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах [1]" [12].

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих в общей сложности 19 параграфов, и списка литературы, насчитывающего 180 наименований. Общий объем работы 135 страниц текста.

1. С. В. Алёшин, Конечные автоматы и проблема Вернсайда о периодических группах Мат. заметки 11 No.3 (1972), 319−328.

2. С. В. Алёшин, Свободная группа конечного автомата Вестник Московского Унив. 38 No.4 (1983), 10−13.

3. Н. А. Вавилов, Разложение Брюа подгрупп содержащих группу диагональных матриц, Russian) Записки научн. семинаров. ЛОМИ 114, (1982), 50−61.

4. Н. А. Вавилов, О подгруппах расш, епимых класических групп, Труды Инст. Мат АН СССР 183 (1990) 29−42.

5. А. М. Вершик, С. В. Керов, Об одной бесконечномерной группе над конечным поле. м Функциональный анализ и приложения 32 (1998), No. 3, 3−10,.

6. Т. В. Головачева, О ленточной размерности конечнопорожденных ассоциативных алгебр над полем. Фундаментальная и прикладная математика 1, (1995), No 2, 385−391.

7. В. Голубовски, Подгруппы бесконечных унитреугольных матриц, Записки научных семинаров ПОМИ, том 338 (2006), 137−154.

8. В. Голубовски, Новая мера роста для групп и алгебр, Алгебра и Анализ, том 19 (2007), No 4, 69−91.

9. В. Голубовски, Автоморфизмы корневых деревьев счетной валентности, Записки научных семинаров ПОМИ, том 343 (2007), 199−205.

10. Р. И. Грнгорчук, О проблеме Милнора о групповом росте, Доклады АН СССР 271 (1983), по. 1, 30−33.

11. Р. И. Григорчук, Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних Известия АН СССР 48 (1984), по. 5, 939−985.

12. Р. И. Григорчук, В. В. Некрашевич, В. И. Сущанский, Автоматы, динамические системы и группы Труды Мат. Института им. Стеклова 231 (2000), 134−214.

13. Д. Ю. Григорьев Аналог разложения Брюа для замыкания конуса классических групп Шевалле Доклады АН СССР 257 (1981), по. 5, 1040−1044.

14. И. Д. Иванюта Силовские р-подгруппы группы ОЬ (д). Украинский Мат. Журнал 32 (1980), по. 6, 813−818.

15. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп. Третье издание. Наука, Москва 1982.

16. Е. А. Ковальчук, Группы ограниченно-растущих подстановок Проблемы теории групп и гомологической алгебры Математика, Ярославль (1988), 18−28.

17. Ю. И. Мерзляков, Еквиподгруппы унитреуголъной группы: критерия самонор-мализуемости Доклады АН России N0.6 339 (1994) 732−735.

18. А. Олийнык, Свободное произведе7ше групп С2 как группа конечных автоматных подстановок, Вопросы алгебры — Гомель 14 (1999), 158−165.

19. А. Олийнык, О свободных подполугруппах автоматных преобразований, Мат. Заметки 63 (1998), N0. 1−2, 215−224.

20. А. С. Олийник, В. И. Сущанский, Свободная группа бесконечных унитреуголь-ных матриц, Мат. заметки 67 (2000), N0. 3−4, 320−324.

21. D. G. Arrell, The normal subgroup structure of the infinite general linear group. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 24 (1981), no. 3, 197−202.

22. D. G. Arrell, The subnormal subgroup structure of the infinite general linear group. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 25 (1982), no. 1, 81−86.

23. D. G. Arrell, E. F. Robertson, Infinite dimensional linear groups. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 78 (1977/78), no. 3−4, 237−240.

24. C. M. Bang, A condition for two matrices to be inverses of each other. Amer. Math. Monthly (1974), 764−767.

25. A. J. Berrick, Group extensions and their trivialization. Enseign. Math. (2) 31 (1985), no.1−2, 151−172.

26. A. J. Berrick, Two functors from abelian groups to perfect groups. J. Pure Appl. Algebra 44 (1987), no. 1−3, 35−43.

27. A. J. Berrick, R. G. Downey, Perfect McLain groups are superperfect. Bull. Austral. Math. Soc. (2) 29 (1984) 249−257.

28. A. J. Berrick, M. E. Keating, Rectangular invertible matrices, Amer. Math. Monthly 104 (1997), no. 4, 297−302.

29. Y. Billig, A. Pianzola, Free Kac-Moody groups and their Lie algebras. Algebr. Represent. Theory 5 (2002), no. 2, 115−136.

30. M. Bhattacharjee, The ubiquity of free subgroups in certain inverse limits of groups, J. Algebra 172 (1995) 134−146.

31. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie, Chap. IV Groupes de Coxeter and systemes de Tits, Hermann Paris, 1968.

32. A. M. Brunner, S. Sidki, The generation of GL (n, Z) by finite state automata, Internat. J. Algebra Comp. 8 (1998) 127−139.

33. R. M. Bryant, D. Evans, Small index property for free groups and relatively free groups, J. London Math. Soc. (2) 55 (1997), 363−369.

34. R. M. Bryant, J. L. J. Groves, Automorphisms of free metabelian groups of infinite rank, Comm. Algebra 20 (1992), 783−814.

35. R. M. Bryant, C. K. Gupta, Automorphisms of free nilpotent-by-abelian groups, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 114 (1993), 143−147.

36. R. M. Bryant, 0. Macecloriska, Automorphisms of relatively free nilpotent groups of infinite rank, J. Algebra 121 (1989), 388−398.

37. R. G. Burns, I. H. Farouqi, Maximal normal subgroups of the integral linear group of countable degree, Bull. Austral. Math. Soc. 15 (1976), 439−451.

38. R. G. Burns, Lian Pi, Generators for the bounded automorphisms of infinite-rank free nilpotent groups, Bull. Austral. Math. Soc. 40 (1989), 175−187.

39. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A course in universal algebra, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.

40. V. Camillo, F. J. Costa-Cano, J. J. Simon, Relating properties of a ring and its ring of row and column finite matrices, J. Algebra 244 (2001), 433−449.

41. R. Camina, Some natural subgroups of the Nottingham group, J. Algebra 196 (1997) 101−113.

42. K. Chiba, Free subgroups and free subsemigroups of division rings, J. Algebra 184 (1996), 570−574.

43. B. Chandler, W. Magnus, The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 9. Springer-Verlag, New York, 1982.

44. J. S. Clowes, K. A Hirsch, Simple groups of infinite matrices, Math. Zeitschr. Bd 58 (1953), 1−3. (MR 14,1060d).

45. J. M. Cohen, Aspherical 2-complexes, J. Pure Appl. Algebra 12 (1978), 101−110.

46. R. Cohen, Classes of automorphisms of free groups of infinite rank, Trans. Amer. Math. Soc. 177 (1973), 99−120.

47. P. M. Cohn, Some remarks on the invariant basis property, Topology No. 5, (1966), 215−228.

48. P. M. Cohn, Generalized rational identities, Proceedings of a Conference on ring theory at Park City, Utah 1971, New York-London 1972, 107−115.

49. R. G. Cooke, Infinite matrices and sequence spaces, MacMillan and Co., London, 1950.

50. R. O. Davies, M. F. Drazin, M. L. Roberts, Universal properties of infinite matrices, J. Algebra 180 (1996), 402−411.

51. J. Denes, C. Pasztor, Sur un probleme de substitution de P. Vermes. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutaty Int. Ki^zl. 7 (1962) 317−322.

52. L. E. Dickson, Linear groups, Teubner, Leipzig, 1901.

53. J. D. Dixon, Most finitely generated permutation groups are free, Bull. London Math. Soc. 22 (1990) 222−226.

54. J. D. Dixon, B. Mortimer, Permutation groups, Springer, New York 1996.

55. M. Droste, R. Gobel, McLain groups over arbitrary rings and orderings. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (3) 117 (1995) 439−467.

56. M. Droste, R. Gobel, The automorphism group of generalized McLain groups. In: Ordered groups and infinite permutation groups (ed. by W. C. Holland) Kluwer Academic Publ. New York (1995) 97−120.

57. M. Droste, R. Gobel, The automorphism groups of Hahn groups. In: Ordered algebraic structures (Curacao 1995) Kluwer Acad. Publ. Dordrecht (1997) 183−215.

58. D. B. A. Epstein, Almost all subgroups of a Lie group are free, J. Algebra 19 (1971) 261−262.

59. D. M. Evans, Subgroups of small index in infinite general linear groups. Bull. London Math. Soc. 18 (1986), no. 6, 587−590.

60. I. H. Farouqi, On an infinite integral linear group, Bull. Austral. Math. Soc., 4, (1971), 321−342.

61. P. Galanopoulos, A. G. Sisakis, Hausdorff matrices and composition operators Illinois J. Math. 45 (3) (2001), 757−773.

62. H. L. Garabedian, Hausdorff matrices. Amer. Math. Monthly 46, (1939). 390−410.

63. P. M. Gartside, R. W. Knight, Ubiquity of free subgroups, Bull. London Math. Soc. 35 (2003), no 5, 624−634.

64. E. Ghys, P. de la Harpe, Sur le groupe hyperbolique d’apres Gromov. Bikhauser, Boston, 1990.

65. K. R. Goodearl, P. Menal, J. Moncasi, Free and residually Artinian regular rings J. Algebra 156 (1993), No. 2, 407−432.

66. M. Gromov, Groups of polynomial growth and expanding maps, Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. No. 53 (1981), 53−73.

67. H. Gross, Quadratic forms in infinite-dimensional vector spaces. Progress in Mathematics, 1. Birkhauser, Boston, Mass., 1979.

68. С. K. Gupta, W. Holubowski, Automorphisms of a free group of infinite rank, Алгебра и Анализ, том 19 (2007), No 2, 74−85.

69. J. Haefner, A. del Rio, J. J. Simon, Isomorphisms of row and column finite matrix rings. Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), no. 6, 1651−1658.

70. A. J. Halm, О. T. O’Meara, The classical groups and /С-theory. With a foreword by J. Dieudonne. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

71. J.I. Hall, Locally finite simple groups of finitary linear transformations Finite and locally finite groups, Kluwer Acad. Publ. Dordrecht (1995), 147−188.

72. P. Hall, B. Hartley, The stability group of a series of subgroups. Proc. London Math. Soc. (3) 16 (1966), 1−39.

73. J. Hannah, К. C. O’Meara, A new measure of growth for countable-dimensional algebras, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 2, 223−227.

74. J. Hannah, К. C. O’Meara, A new measure of growth for countable-dimensional algebras. I, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), no. 1, 111−136.

75. F. Hausdorff, Summationsmethoden und momentfolgen I, Math. Zeitschrift, 9 (1921), 74−109.

76. J. Hausen, Infinite general linear groups over rings. Arch. Math. (Basel) 39 (1982), no. 6, 510−524.

77. W. Holubowski, Subgroups of infinite triangular matrices containing diagonal matrices, Publ. Math. Debrecen 59 (1−2), (2001) 45−50.

78. W. Holubowski, Parabolic subgroups of Vershik-Kerov's group, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), 2579−2582.

79. W. Holubowski, Most finitely generated subgroups of infinite unitriangular matrices are free, Bull. Austral. Math. Soc. 66 (2002), 419−423.

80. W. Holubowski, An inverse matrix of an upper triangular matrix can be lower triangular, Discuss. Math. Gen. Algebra Appl. 22 (2002), No. 2, 161−166.

81. E. P. Hupert, A. Leggeti, On the square roots of infinite matrices. Amer. Math. Monthly No. l (1989), 34−38.

82. Kaplansky, Rings of operators. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.

83. Kaplansky, Forms in infinite-dimensional spaces. Anais Acad. Brasil. Ci. 22, (1950). 1−17.J. L. Kelley, General topology. Van Nostrand, New York 1955.A. A. Klein, Free subsemigroups of domains, Proc. Amer. Math. Soc. 116 (1992), 339−341.

84. G. R. Krause, T. H. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

85. N. V. Kroshko, V. I. Sushchanskii, Direct limits of symmetric and alternating groups with strictly diagonal embedings Archiv Math. 71 (1998), 173−182.

86. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, On some infinite-dimensional linear groups. Comm. Algebra 29 (2001), no. 2, 519−527.

87. B. Laschinger, Automorphismengruppen freier Moduln von unendlichem Rang. J. Algebra 122 (1989), no. 1, 15−63.

88. V. M. Levchuk, Chevalley groups and their unipotent subgroups, Contemp. Math. 131 (1989), 227−242.

89. F. W. Levi, |textitThe commutator group of a free product J. Indian Math. Soc. 4 (1940) 136−144.

90. R. C. Lyndon, P. E. Schupp, Combinatorial group theory, Springer, Berlin 1977.

91. O. Macedoriska-Nosalska, Note on automorphisms of a free abelian group, Canad. Math. Bull. 23 (1980), 111−113.

92. O. Macedoriska-Nosalska, The abelian case of Solitar’s conjecture on infinite Nielsen transformations, Can. Math. Bull. 28 (1985), 223−230.

93. G. W. Mackey, Infinite-dimensional group representations. Bull. Amer. Math. Soc. 69 1963 628−686.

94. D. Macpherson, Maximal subgroups of infinite-dimensional general linear groups. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 53 (1992), no. 3, 338−351.

95. W. Magnus, Beziehungen zwishen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring, Math. Ann 111 (1935) 259−280.

96. W. Magnus, A. Karras and D. Solitar, Combinatorial group theory. John Wiley & Sons, Inc., New York 1966.

97. B. A. Magurn, An algebraic introduction to K—theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

98. L. Makar-Limanov, On free subsemigroups of skew fields, Proc. Amer. Math. Soc. 91 (1984), 189−191.

99. G. Maxwell, Infinite general linear groups over rings. Trans. AMS 151 (1970), 371 375.

100. D. H. McLain, A characteristically simple group, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 50 (1954), 641−642.

101. J. Milnor, Problem 5603, Amer. Math. Monthly, 75 (1968), 685−686.

102. R. G. Moller, The automorphism groups of regular trees, J. London Math Soc. 43, No. 2, (1991), 236−252.

103. Yu. A. Neretin, Categories of symmetries and infinite-dimensional groups. Translated from the Russian by G. G. Gould. London Math. Soc. Monographs. New Ser. 16, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1996.

104. Ii. Neumann, Varietes of groups, Springer, Berlin, 1967.

105. J. Nielsen, Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen, Math. Annalen 91 (1924), 169−209.

106. J. Okninski and A. Salwa, Generalised Tits alternative for linear semigroups, J. Pure Applied Algebra 103 (1995), 211−220.

107. A. Olijnyk and V. S. Sushchansky, Representation of free products by infinite unitringular matrices over finite field, Internat. J. Algebra Comput 14 (2004) 741 749.

108. K. C. O’Meara, A new measure of growth for countable-dimensional algebras. II. J. Algebra 172 (1995), no. 1, 214−240.

109. R. E. Phillips, D. J. S. Robinson, J. E. Roseblade, Maximal subgroups and chief factors of certain generalized soluble groups. Pac. J. Math. 37 (1971) 475−480.

110. L. Ribes and P. Zalesskii, Profinite groups. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2000.

111. E. F. Robertson, A remark on the derived group of Gh®. Bull. London Math. Soc. (1969) 160−162.

112. E. F. Robertson, On certain subgroups ofGL®. J. Algebra 15 1970 293−300.

113. D. J. S. Robinson, Finitness conditions on subnormal and ascendant Abelian subgroups. J. Algebra 10 (1968) 333−359.

114. D. J. S. Robinson, Finitness conditions and generalized soluble groups, Part II. Springer Verlag, New York-Berlin 1972.

115. D. J. S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer V., New York 1982.

116. J. E. Roseblade, The automorphism group of McLain’s characteristically simple group. Math. Z. 82 (1963) 267−282.

117. A. Rosenberg, The structure of the infinite general linear group, Ann. of Math. (2) 68 (1958) 278−294.

118. I. R. Shafarevitsh On some infinite dimensional groups. Sirnposio Internazionale di Geometria Algebrica, Roma (1967), 208−212.

119. J. D. Sharp, S. Thomas, Uniformization problems and the cofinality of the infinite symmetric group. Notre Dame J. Formal Logic 35 (1994), no. 3, 328−345.

120. R.W. Sharpe, On the structure of the unitary Steinberg group. Ann. of Math. (2) 96 (1972), 444−479.

121. R. W. Sharpe, Surgery and unitary K2. Algebraic K-theory, III: Hermitian A'-theory and geometric applications (Proc. Conf. Seattle Res. Center, Battelle Memorial Inst., 1972), pp. 464−470. Lecture Notes in Math, Vol. 343, Springer, Berlin, 1973.

122. R. W. Sharpe, On the structure of the Steinberg group St (A). J. Algebra 68 (1981), no. 2, 453−467.

123. W. Sierpiriski, Sur une decomposition d’ensembles. Monatsh. Math. 35 (1928), 239 248.

124. R. Steinberg, Lectures on Chevalley groups, Yale Univ. Press, Yale, 1967.

125. A. Stepanov, N. Vavilov Decomposition of transvections: a theme with variations. KTheory 19 (2000), 109−153.

126. A. Strojnowski, W. Wojas, Some remarks on O-groups Demonstratio-Math. 23 (1990), no. 3, 797−801.

127. J. Tits, Sur le groupe des automorphismes d’un arbre, Essays on topology and related topics (Memoires dedies a Georges de Rham), Springer, New York (1970), 188−211.

128. J. Tits, Free subgroups in linear groups. J. Algebra 20 (1972) 250−270.

129. S. Thomas, The cofinalities of the infinite-dimensional classical groups. J. Algebra 179 (1996), no. 3, 704−719.

130. D. V. Tjukavkin, Rings all of whose one-sided ideals are generated by idempotents, Comm. Algebra 17 (1989), no. 5, 1193−1198. '.

131. S. Wagon, The Banach-Tarski paradox. (Cambridge University Press, Cambridge 1993).

132. A. J. Weir, Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 454−464.

133. J. S. Wilson, On characteristically simple groups. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1) 80 (1976) 19−35.

134. J. S. Wilson, Groups with many characteristically simple subgroups. Math Proc. Camb. Phil. Soc. (2) 86 (1979) 193−197.

135. J. S. Wilson, Profinite groups, Oxford University Press, Oxford 1998.

136. P. Vermes, Some infinite systems of linear equations in statistics. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 10 1967 17−24.

137. P. Vermes, Linear independence in basic sets of polynomials. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 9 1966 15−18.

138. P. Vermes, The group of both rowand column-finite infinite matrices. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 7 1964 89−90.

139. P. Vermes, Multiplicative groups of rowand column-finite infinite matrices. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 5 1962 15−23.

140. P. Vermes, Matrix structure of basic sets of polynomials. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 3−4 1960/1961 383−387.

141. P. Vermes, Note on certain differential equations of infinite order. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55=Indagationes Math. 14, (1952). 28−31.

142. P. Vermes, Non-associative rings of infinite matrices. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55 = Indagationes Math. 14, (1952). 245−252.

143. P. Vermes, M. N. Mikhail, Generated basic sets of polynomials. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 57 = Indag. Math. 16, (1954). 556−559.

144. A. M. Vershik, Asymptotic aspects of the representation theory of symmetric groups, Selecta Math. Sovietica 11, No. 2 (1992), 159−180.