Верификация. 
Вязкое затухание звуковых волн в сильных центробежных полях

Верификации данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения равную нулю и теплопроводность близкую к нулю (теплопроводность в программе нельзя задать нулевой, иначе уравнения вырождаются и Maple не понимает, как считать систему) и используем граничные условия свободного скольжения на стенках.

Построив теоретический график зависимости суммарной энергии системы от частоты возмущений, и сравнив его с полученным численно, легко понять, что на данном этапе метод даёт правильный результат.

Рис. 9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком газе

Ниже представлены теоретическая и интерполированная функции для данного случая:

Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими.

Рис. 10. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком теплопроводящем газе

Здесь представлены теоретическая и подобранная программой функции для данного случая:

Отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.

Убедившись в правильности вычисления резонансных кривых удостоверимся в правильности метода в целом. Для этого рассмотрим два случая, которые имеют аналитическое решение.

Первый случай — это покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом. Выше для этого случая выводилось:

(31).

здесь считаем, что член со второй вязкостью не внесёт существенной поправки.

Для наглядности преобразуем (31) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(32).

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис. 11. Графики зависимости дальности затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе. — экспериментальный график, — теоретический график

Видно, что зависимость имеет степенной характер. Более того отклонение от теоретического оказывается даже меньше, чем для предыдущих случаев и составляет 0,52%.

Далее рассмотрим второй случай — покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(33).

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Окончательно, зная, что формула (32) учитывает только поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, формула (33) учитывает поглощение за счёт трения о стенку, производим расчет, учитывающий оба этих явления.

И сравниваем результат с теоретическими предсказаниями, которые складываются из первого и второго эффекта по формуле:

(34).

на рис. 13 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид.

Рис. 13. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. — экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке, — теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность, — теоретический график учитывающий трение на внешней стенке, — теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (34)

Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости, учитывающую трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа.