Алгоритм решения плоской контактной задачи

Алгоритм решения плоской контактной задачи

Периодически в расчетной практике возникает ситуация, когда необходимо более точно определить зону приложения нагрузки — решить контактную задачу [1,2]. Решение этих задач возможно в аналитическом [3,4] и численном варианте [5,6]. Известные программные комплексы имеющие возможность анализа контактного взаимодействия не всегда применимы ввиду имеющихся каких-либо особенностей. В данной статье авторами рассматривается численное решение плоской контактной задачи методом конечных элементов (МКЭ) взаимодействия пряди каната 15К7 с телом бетонной оболочки (далее основной конструкции) при выполнении преднапряжения конструкции без последующего инъецирования каналообразователя. Тип контактного взаимодействия — узел-поверхность, тип конечных элементов (далее КЭ) — линейный трехузловой [7,8].

Постановка задачи заключается в следующем: в результате натяжения преднапрягаемой арматуры (канат 15К7) происходит надавливание прядей на стенку каналообразователя. При этом в теле основной конструкции возникают вертикальные и горизонтальные перемещения, и, соответственно, деформации е_xx, е_yy, е_xy и напряжения у_x, у_y, ф_xy. Перемещения по нормали к поверхности контакта совпадают из условия непроникновения одного из контактирующих тел (далее домена) в другое [5,9], по касательной к поверхности зоны контакта — из условия равновесия действия сил трения между контактирующими поверхностями, тогда для контактирующих поверхностей:

(1).

где, u_cont , v_cont — горизонтальное и вертикальное перемещение штампа соответственно, u_targ , v_targ — соответственно горизонтальное и вертикальное перемещение тела основной конструкции. Т. е. при выполнении расчета с применением МКЭ необходимо связать перемещения соответствующих узлов обоих доменов, а так как расчет проводится итерационным способом, то, соответственно, необходимо выполнять обновление связей между узлами на каждой итерации в соответствии с перемещениями, полученными на предыдущей итерации.

Определение контактирующих узлов можно рассмотреть на примере рис. 1. В данном случае контактирующие узлы штампа имеют номера 2.1−2.5, ответной поверхности — 1.1−1.4. Первоначально, для каждого узла штампа на основе текущих координат узлов обоих доменов производится поиск элемента, с которым он, предположительно, может взаимодействовать. В рассматриваемом примере: для узла 2.1 — элемент с узлами 1.1 и 1.2, для 2.2 и 2.3 — элемент с узлами 1.2 и 1.3, для 2.4 и 2.5 — элемент с узлами 1.3 и 1.4. Далее определяется расстояние между узлом поверхности штампа и соответствующей точкой на ответном элементе (+Y₁…+Y₅ соответственно), при сравнении которого с допустимой величиной отклонения в расстояниях — c_toll, определяется статус контактного взаимодействия: узел поверхности штампа контактирует с ответной поверхностью или нет, а так же коэффициент линейной интерполяции. Одним из вариантов взаимного расположения узлов может быть ситуация, когда переместившись, узел контактной поверхности штампа попадает в пространство во внутреннее пространство основной конструкции на расстояние, превышающее c_toll, т. е. описанный выше алгоритм покажет в качестве результата отсутствие контактного взаимодействия (см. рис. 1 узел 2.4). В этом случае существует два решения:

• — поиск токи пересечения элементов, содержащих данный узел с соседними элементами ответной поверхности;
• — сравнение знаков Y_i соседних узлов, в этом случае всем узлам контактирующей поверхности штампа, находящимся на расстоянии от ответной поверхности не превышающим c_toll, назначается фиксированное значение Y_i.

Второй вариант представляется более предпочтительным с точки зрения объемов вычислений.

Описанный выше алгоритм реализован в системе Mathcad [10] в виде функции, ее листинг приведен на рис. 2. Было принято, что исходя из соразмерности размеров КЭ контактирующих поверхностей обоих доменов, каждый узел любой из рассматриваемых поверхностей связан с двумя узлами ответной, а так же, что величина значения c_toll = 0,001мала для внесения в результат расчета ощутимой погрешности. Возвращаемый функцией массив имеет число строк, равное числу узлов, и 4 столбца — это 2 пары значений: узел ответной поверхности — к-нт линейной интерполяции.

Рис. 1 — схема определения статуса контактного взаимодействия узлов штампа и ответной поверхности

Рис. 2 — листинг функции определения контактного взаимодействия

На основании данных, возвращаемых функцией c_cnt (), строится глобальная матрица жесткости. Листинг данной функции приведен на рис. 3.

Рис. 3. — листинг функции формирования глобальной матрицы жесткости

Используемые массивы и переменные:

• 1. Ae — массив, содержащий площади КЭ;
• 2. В — массив, содержащий матрицы градиентов КЭ;
• 3. Е — вектор, содержащий значение модуля упругости КЭ
• 4. EL — массив с номерами узлов для элементов, участвующих в расчете;
• 5. н — вектор, содержащий значения к-нта Пуассона КЭ
• 6. S — вектор закреплений, значение 1 указывает на закрепление соответствующего номера узла по соответствующему направлению
• 7. ind₁ — переменная, указывающая на начало перечисления узлов в описании элемента (обычно равна 6).

Сетка КЭ рассматриваемой задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4. — Общий вид сетки КЭ рассматриваемого фрагмента конструкции.

Желтым цветом показан домен каната преднапряжения (штампа), зеленым — домен основной конструкции.

Имеет размеры 50×50мм, форма штампа, имитирующего канат преднапряжения упрощена с сохранением формы контактирующей поверхности. Характеристики материалов:

• — Е_b = 30 ГПа, н = 0,2;
• — E_s = 210 ГПа, н = 0,3.

Приложенное давление по верхней плоскости штампа 6,3 МПа. Граничные условия по наружным поверхностям рассматриваемого фрагмента — симметрия в направлении соответствующей оси. Расчет выполняется итерационно, состоит из 20 итераций.

Результаты расчета представлены ниже на рис. 5 а, б. Данные результаты совпадают с аналогичным численным экспериментом, проведенном в программном комплексе Autodesk Simulation Mechanical 2013.

Рис. 5. — Результаты расчета: а — напряжения по Мизесу, б — относительные деформации по Мизесу

алгоритм mathcad матрица жесткость.

• 1. Александров В. М., Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 302 с.
• 2. Джонсон К., Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 509 с.
• 3. Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. Springer-Verlag US, 248 p.
• 4. Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, 248 p.
• 5. Сабоннадьер Ж. К., Кулон Ж. Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. 190 с.
• 6. Singiresu, S.R., 2011. The Finite Element Method in Engineering. Elsevier UK, 726 p.
• 7. Александров В. М., Чебаков М. И.

  Введение

  в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР», 2007. 116 с.

• 8. Очков В. Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров русская версия. СПб.: БВХ-Петербург, 2009. 512 с.